9-2二重积分的计算

D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
x y2
解 两曲线的交点
y x2

x

y2
(0,0)
, (1,1),
y x2
( x2

y)dxdy

1
dx
0
x
x
2
(
x
2

y)dy
D

1
[
x
2
(
x x2 ) 1 ( x x4 )]dx 33 .
0
2
D


d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.

1 ( )
r 2()
A
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
D
,
0 r ( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
D

( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
故2I
1
1
f ( x)dx f ( y)dy
1
f ( x)dx
x
f ( y)dy
0
x
0
0
1
x
1
f ( x)dx[( ) f ( y)dy]
0
0
x

1
f ( x)dx
1
f
(
y)dy

A2 .
0
0
一、填空题:
练习题1
1、 ( x 3 3x 2 y y 3 )d ________________.其中
e2
ln y
1 2
2
dy
f ( x, y)dx 改换积分次序,
1
( y1)2
应为__________________________.
二、画出积分区域,并计算下列二重积分:
1、 e x yd ,其中D是由 x y 1所确定的闭区域.
D
2、 ( x 2 y 2 x)d 其中 D是由直线
D
D : 0 x 1,0 y 1.
2、 x cos( x y)d _______________.其中D是顶
D
点分别为 (0,0)，( ,0)，( , )的三角形闭区域 .
3、将二重积分 f ( x, y)d ,其中D是由 x轴及半圆周
D
x 2 y 2 r 2 ( y 0)所围成的闭区域,化为先对 y
例 7 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分
D
形式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x

y

r cos r sin
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos

1 ( )

( )
d f (r cos ,r sin )rdr.


0
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
思考题
设 f ( x)在[0,1]上连续，并设
1
f ( x)dx

A，
0
求
后对 x 的二次积分,应为_____________________.
4、将二重积分 f ( x, y)d ,其中D是由直线
D
y x, x 2及双曲线 y 1 ( x 0)所围成的闭区 x
域,化为先对 x后对 y 的二次积分,应为
__________________________.
140
例 5、求 x2e y2dxdy，其中 D 是以(0,0),(1,1),
D
(0,1)为顶点的三角形.
解 e y2dy 无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
x2e y2dxdy
1
dy
y x2e y2 dx
00
D

e1 y2

y3 dy

e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
S {(x, y) | 0 x R,0 y R}
R 2R
{x 0, y 0} 显然有 D1 S D2
e x2 y2 0,
ex2 y2dxdy ex2 y2 dxdy ex2 y2dxdy.
D1
S
D2
又 I ex2 y2 dxdy
5、将二次积分
2
dx
2 x x2 f ( x, y)dy 改换积分次序,
1
2 x
应为_________________________.
6、将二次积分

dx
0
sin x sin x
f ( x, y)dy 改换积分次序,
2
应为_________________________.
7、将二次积分 1 dy 2 f ( x, y)dx
00
例 2 改变积分
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
解 积分区域如图
y2 x y 2x x2
原式
1
2 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx.
例 3
改变积分
2a
dx
0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为：c y d , 1( y) x 2( y). ［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
S
R ex2dx R e y2dy ( R e x2dx)2;
0
0
0
I1 e x2 y2dxdy
D1


2 d
R e r2 rdr
(1 eR2 );
0
0
4
同理I2

D2
ex2 y2 dxdy
(1 e2R2 ); 4
D
y 2, y x及y 2x所围成的闭区域.

x
3、 f ( x, y)d 2 dx
cos y
dy 。
D
0 0 ( x)( x y)
2
4、 y x 2 dxdy,其中D : 1 x 1,0 y 2 .
D
三、设平面薄片所占的闭区域D由直线 x y 2, y x

.
0
2
例 10- 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x

0
2


3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y

0
1
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f ( x, y) 为曲顶柱体的体积．
z
z f (x, y)
应用计算“平行截
面面积为已知的立 体求体积”的方法, y
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx.
D
c
1( y)
例 1
改变积分
1
dx
ห้องสมุดไป่ตู้1x f ( x, y)dy的次序.
00
解 积分区域如图
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
0
3
0
6
6e
例 6
1
计算积分 I 2 dy
yy
1
e xdx dy
yy
e xdx.
1
1
4
2
1 2
y
y
解 e xdx不能用初等函数表示
先改变积分次序.
y x
1
xy
原式 I dx e xdy
1 2
x2
1 x(e e x )dx 3 e 1 e.
1
dx
1
f ( x) f ( y)dy .
0x
思考题解答
1 f ( y)dy不能直接积出, 改变积分次序. x
令I
11
dx f ( x) f ( y)dy ,
0x
y
1y
则原式 dy f ( x) f ( y)dx . 00
1
x
o
x
f ( x)dx f ( y)dy,
I1 I I2,
(1 eR2 ) ( R ex2 dx)2 (1 e2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1

4
,
I2

4
,
故当R 时, I ,
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
ex2 dx
和 x轴所围成,它的面密度 ( x, y) x 2 y 2,求该
薄片的质量 .
四、求由曲面z x 2 2 y 2及 z 6 2x 2 y 2,所围成的 立体的体积 .
一、填空题:
练习题2
1、将 f ( x, y)dxdy ,D 为 x 2 y 2 2 x ,表示为极坐

0
r ( ) A
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
r ( ) D
0 2, 0 r ( ).
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
极坐标系下区域的面积 rdrd . D
第二节 二重积分的计算
• 一、利用直角坐标计算二重积分 • 二、利用极坐标计算二重积分 • 三、小结 练习题
一、利用直角坐标系计算二重积分
1、直角坐标系下二重积分的计算
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
1 2
82
y x2
二、极坐标形式下二重积分的计算
i

1 2 (ri

ri )2
i

1 2
ri
2

i

1 2
(2ri

ri
)ri

i
r ri ri r ri

ri

(ri 2
ri
)
ri


i
D
ri ri i ,
o
i i


6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy

3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
三、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. ［X－型］
D
a
1( x)
f ( x, y)d
d
dy
2 ( y) f ( x, y)dx［. Y－型］
D
c
1( y)
（在积分中要正确选择积分次序）
二重积分在极坐标下的计算公式
f (r cos ,r sin )rdrd
D


d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
的次序.
解
2a
y 2ax
a
y 2ax x2 x a a2 y2
a
2a
= 原式
a
a a2 y2
dy
0
y2
f ( x, y)dx

2a
a
2a
dy
0
a
a2 y2
f ( x, y)dx

2a
dy
a
2a
y2 f ( x, y)dx.
2a
例 4 求 ( x2 y)dxdy，其中 D是由抛物线
x2 y2 1 x y1
f ( x, y)dxdy

2 d
0
1
1
f (r cos ,r sin )rdr.
D
sin cos
例 8 计算 ex2 y2dxdy，其中 D 是由中心在
D
原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.
解 在极坐标系下
D：0 r a ，0 2.
i
i
A
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r 1()
,
D
1( ) r 2( ).
o
f (r cos ,r sin )rdrd
ex2 y2dxdy
2
d
a e r2 rdr
D
0
0
(1 ea2 ).
例 9 求广义积分 ex2dx. 0
解 D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2