解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等单元过关检测卷(一)带答案人教版高中数学高考真题汇编
高中数学 专题10解析几何直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线 试题
2021届专题十数学考试范围：解析几何〔直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线〕一、选择题〔本大题一一共10小题；每一小题5分，一共50分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1．直线07tan =+y x π的倾斜角是〔 〕 A ．7π-B ．7π C ．75π D ．76π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 〔 〕 A ．012=--y xB ．072=-+y xC ．042=--y xD ．05=-+y x3．“2-=a 〞是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 〔 〕 A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或者相切5．点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，假设PQ 的最小值为122-，那么k = 〔 〕 A ．1B ．1-C ．0D ．26．假设椭圆122=+my x 的离心率⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，那么m 的取值范围是〔 〕 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21B ．()2,1C ．()2,132,21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛D ．⎪⎭⎫⎝⎛2,217．中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，那么该双曲线的离心率为 〔 〕 A ．332 B ．3 C ．2或者332 D ．332或者3 8．M 是抛物线x y 42=上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最小的角为60°，那么=FM〔 〕 A ．2B ．3C ．4D ．69．设抛物线x y 82=的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为21的椭圆的一个顶点，那么此椭圆的方程为 〔 〕A ．1161222=+y x 或者1121622=+y xB ．1644822=+y x 或者1486422=+y xC ．1121622=+y x 或者1431622=+x y D ．13422=+y x 或者1431622=+x y10．定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 1=〔O 为坐标原点〕，NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=⋅PN M F ，那么点P 的轨迹是〔 〕 A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆二、填空题〔本大题一一共5小题；每一小题5分，一共25分.将答案填在题中的横线上〕 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的HY 方程是 ． 12．圆064422=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的间隔 等于22的点有个．13．假设点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:22=+-y x C 只有一个公一共点M ，且PM 的最小值为4，那么=m ．14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆12222=+b y a x (a ＞b ＞0)的离心率为22，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，再过⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a P 作圆M 的两条切线PA 、PB ，那么APB ∠= ．15．以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角的范围是⎪⎭⎫⎝⎛2,3ππ那么双曲线的离心率的范围是 ．三、解答题〔本大题一一共6小题；一共75分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕16．〔此题满分是12分〕圆O 的方程为1622=+y x ． 〔1〕求过点()8,4-M 的圆O 的切线方程；〔2〕过点()0,3N 作直线与圆O 交于A 、B 两点，求OAB △的最大面积以及此时直线AB 的斜率．17．〔此题满分是12分〕将抛物线y x 222-=向上平移2个单位长度后，抛物线过椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞0)的上顶点和左右焦点．〔1〕求椭圆方程；〔2〕假设点()0,m P 满足如下条件：过点P 且倾斜角为π65的直线l 与椭圆相交于C 、D 两点，使右焦点F 在以CD 线段为直径的圆外，试求m 的取值范围．18．〔此题满分是12分〕双曲线,12222=-by ax (a ＞0，b ＞0)左右两焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212F F PF ⊥，1PF OH ⊥于H ，1OF OH λ=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,91λ．〔1〕当31=λ时，求双曲线的渐近线方程； 〔2〕求双曲线的离心率e 的取值范围；〔3〕当e 取最大值时，过1F ，2F ，P 的y 轴的线段长为8，求该圆的方程．19．〔此题满分是13分〕在平面直角坐标系xOy中，过定点()0,pC作直线m与抛物线2=(p＞0)相交于A、B两点．y2px〔1〕设()0,pNA⋅的最小值；N-，求NB〔2〕是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？假设存在，求出l的方程；假设不存在，请说明理由．20．〔此题满分是13分〕椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21,它的一个顶点恰好是抛物线y x 382=的焦点． 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕()3,2P 、()3,2-Q 是椭圆上两点，A 、B 是椭圆位于直线PQ 两侧的两动点，①假设直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②当A 、B 运动时，满足BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．21．〔此题满分是13分〕在平面直角坐标系中，向量()2,-=y x a ，()()R k y kx b ∈+=2,，假b a b a =．〔1〕求动点()y x M ,的轨迹T 的方程,并说明该方程表示的曲线的形状； 〔2〕当34=k 时，()1,01-F 、()1,02F ，点P 是轨迹T 在第一象限的一点，121=PF PF ，假设点Q 是轨迹T 上不同于点P 的另一点，问是否存在以PQ 为直径的圆G 过点2F ，假设存在，求出圆G 的方程，假设不存在，请说明理由．2021届同心圆梦专题卷数学专题十答案与解析1．【命题立意】此题考察直线的一般方程形式、斜率和倾斜角的关系以及正切函数的诱导公式．【思路点拨】抓住直线方程y=kx+b 中斜率为k ，α为倾斜角，其中[)πα,0∈，当2πα≠时αtan =k ．【答案】D 【解析】7tan πx y -=，斜率76tan 7tan 7tan ππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=k ．2．【命题立意】此题考察直线的对称和直线方程的求解以及直线上点确实定．【思路点拨】求出直线1l 与x 轴、与l 的交点坐标，再确定对称点的坐标，最后由两点式得到2l 的直线方程．【答案】D 【解析】画出图形，容易求得直线1l 与x 轴的交点()0,1-A ，它关于直线l 的对称点为()0,5B ，又1l 与l 的交点()3,2P ，从而对称直线2l 经过B 、P 两点，于是由两点式求得2l 的方程为05=-+y x ．3．【命题立意】此题考察两条直线的位置关系和充要条件：0212121=+⇔⊥B B A A l l .【思路点拨】判断直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的位置关系时，抓住两点，一是1l ∥2l 时，212121C C B B A A ≠=，为了防止讨论系数为零的情况，转化为积式1221B A B A =且1221C A C A ≠；二是21l l ⊥，即斜率的乘积为1-，假如一条直线的斜率为零，那么另一条直线的斜率不存在，也就是02121=+B B A A ．充分必要条件的断定，关键是看哪个推出哪个． 【答案】A 【解析】1023221-=⇔=++⇔⊥a a a l l 或者2-=a ，应选答案A ．4．【命题立意】此题考察直线与圆的位置关系和点到直线的间隔 公式以及根本不等式． 【思路点拨】直线与圆的位置关系有三种，由圆心到直线的间隔 d 与半径r 的大小关系决定，当d ＞r 时，相离；当d =r 时相切；当d ＜r 时相交． 【答案】D 【解析】圆心()0,0到直线0=+++b a by ax 的间隔 22ba b a d ++=，半径2=r ．由于()221222222≤++=++=b a ab ba b a d，所以r d ≤，从而直线与圆相交或者相切．5．【命题立意】此题考察直线与圆的位置关系和点到直线的间隔 ．【思路点拨】圆上的点到直线上的点，这两个动点之间的间隔 的最小值，可以转化为直线上的点到圆心的间隔 的最小值来解决，圆上的点到直线的间隔 的最大值等于圆心到直线的间隔 加上半径，最小值等于圆心到直线的间隔 减去半径；当直线与圆相交时，圆上的点到直线的间隔 的最大值等于圆心到直线的间隔 加上半径，最小值等于0． 【答案】B 【解析】由题意可知，直线与圆相离，074422=+--+y x y x 即()()12222=-+-y x ，圆心()2,2到直线kx y =的间隔 1222+-=k k d ，∴12211222-=-+-=-k k r d ，解得1-=k ．6．【命题立意】考察椭圆的HY 方程和椭圆中的根本量及其关系以及分类讨论的思想． 【思路点拨】可建立m 关于e 的函数，从而可根据e 的范围求得m 的范围． 【答案】C 【解析】化椭圆的方程为HY方程1122=+my x ，当m 1＜1，即m ＞1时，椭圆焦点在x 轴上，此时12=a ，mb 12=，mc 112-=，me 112-=∴，211e m -=∴，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，∴23＜m ＜2，又m ＞1，∴1＜m ＜2．当m1＞1，即m ＜1时，椭圆焦点在y 轴上，此时ma 12=，12=b ，112-=m c ，∴m ac e -==1222，即21e m -=，又⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈22,33e ，∴21＜m ＜32．综上，m 的范围范围是()2,132,21 ⎪⎭⎫⎝⎛．选择C ． 7．【命题立意】考察双曲线的HY 方程，离心率的概念．【思路点拨】根据渐近线方程可以得到双曲线系方程，再分两种情况讨论焦点位置，从而求得离心率．【答案】C 【解析】由于一条渐近线方程为03=-y x ，所以可设双曲线方程为λ=-223y x ．当焦点在x 轴上时，方程为1322=-λλy x 〔λ＞0〕，此时32λ=a ，λ=2b ，于是34222λ=+=b a c ，所以离心率2==ace ；当焦点在y 轴上时，方程为1322=---λλxy 〔λ＜0〕，此时λ-=2a ，32λ-=b ，于是34222λ-=+=b a c ，所以离心率332==a c e ．应选择C ．8．【命题立意】考察抛物线的定义和HY 方程以及直角三角形的性质．【思路点拨】画出图形，利用抛物线的定义找出点M 的横坐标与|FM |的关系即可求得． 【答案】C 【解析】画出图形，知()0,1F ，设FM=a 2，由点M 向x 轴作垂线，垂足为N ，那么FN=a ，于是点M 的横坐标a x +=10．利用抛物线的定义，那么M 向准线作垂线，有FM=10+x ，即112++=a a ，所以2=a ，从而FM=4．9．【命题立意】考察椭圆与抛物线的HY 方程，根本量的关系以及分类讨论问题． 【思路点拨】由抛物线的HY 方程求得准线方程，从而求得椭圆一个顶点的坐标，这个值是a 还是b ，就必须分两种情况讨论．【答案】D 【解析】由抛物线x y 82=，得到准线方程为2-=x ，又21=a c ，即c a 2=．当椭圆的焦点在x 轴上时，2=a ，1=c ，3222=-=c a b ，此时椭圆的HY 方程为13422=+y x ；当椭圆的焦点在y 轴上时，2=b ，332=c ，334=a ，此时椭圆的HY 方程为1431622=+x y ．应选择D ．10．【命题立意】考察对向量含义的理解，线段垂直平分线的性质、三角形中位线性质和双曲线定义．【思路点拨】画出图形，将向量问题转化为实数中线段关系问题，利用线段垂直平分线的性质和三角形中位线的性质，得到线段的差是常数，符合双曲线的定义．【答案】B 【解析】1说明点N 在圆122=+y x 上，NM M F 21=说明N 是线段M F 1的中点，2MF MP λ=〔x ∈R 〕说明P 在2MF 上，01=⋅PN M F 说明PN 是线段M F 1的垂直平分线，于是有PM PF =1，221MF ON=，从而有ONMF PF PM PF PF 22221==-=-=2＜21F F =4，所以点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的右支．从而选择B ． 11．【命题立意】考察圆的方程，直线与圆相切问题．【思路点拨】圆心，故只需求得其半径即可，而半径为圆心〔-1,2〕到直线的间隔 ，根据点到直线的间隔 可求其半径，从而可求得圆的HY 方程． 【答案】()()82122=-++y x 【解析】圆的半径()221112122=-+---=r ，所以圆的方程为()()()2222221=-++y x ，即()()82122=-++y x ．12．【命题立意】考察圆的HY 方程，点到直线的间隔 ．【思路点拨】先化圆的方程为HY 方程，求出圆心到直线的间隔 ，再来与半径比拟． 【答案】3【解析】圆的方程为()()22222=++-y x ，圆心()2,2-到直线05=--y x 的间隔 222522=-+=d ，圆的半径2=r ，所以圆上到直线的间隔 等于22的点有3个．13．【命题立意】考察圆心到直线的间隔 、圆的切线长定理和直线与圆相切问题． 【思路点拨】画出图形，PM 是切线，切线长最小，即|PC |最小，也就是C 到1l 的间隔 ．【答案】1±【解析】画出图形，由题意l 2与圆C 只一个交点，说明l 2是圆C 的切线，由于162222-=-=PC CMPC PM ，所以要|PM|最小，只需|PC |最小，即点C 到l 1的间隔22181305mm+=+++，所以|PM|的最小值为4161822=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+m ，解得1±=m ． 14．【命题立意】考察椭圆的HY 方程，椭圆离心率的概念和圆的切线问题． 【思路点拨】画出图形，由椭圆的离心率为22得到a c =22，再利用圆的切线的性质得到直角三角形，在直角三角形中求解角度． 【答案】2π【解析】如图，连结OA ，那么OA ⊥PA ，22sin 2===∠a c ca a APO ，所以4π=∠APO ，从而2π=∠APB ．15．【命题立意】考察双曲线中由a 、b 、c 构成的直角三角形的几何意义及离心率与a 、b 、c 的关系．【思路点拨】可根据四边形的特征，以“有一个内角小于60°〞为桥梁确定离心率的范围． 【答案】⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,26【解析】设双曲线的方程为12222=-b y a x =1〔a ＞0，b ＞0〕,如下图，由于在双曲线c ＞b ，所以只能是211B F B ∠＜90°,故由题意可知60°＜211B F B ∠＜90°，∴在11B OF Rt ∆中，30°＜11B OF ∠＜45°，∴33＜c b ＜22，∴31＜222c a c-＜21，即31＜1－21e＜21，∴23＜e 2＜2，∴26＜e ＜2．16．【命题立意】考察圆的HY 方程，直线与圆的位置关系，以及弦长问题． 【思路点拨】〔1〕过圆外一点的圆的切线方程，一般设斜率，利用圆心到直线的间隔 等于半径来求出斜率，但一定要注意斜率存在与否；〔2〕将弦长AB看成底边，那么三角形的高就是圆心到直线的间隔 ．【解析】〔1〕圆心为()0,0O ，半径4=r ，当切线的斜率存在时，设过点()8,4-M 的切线方程为()48+=-x k y ，即084=++-k y kx 〔1分〕．那么41|84|2=++k k ，解得43-=k ，〔3分〕，于是切线方程为02043=-+y x 〔5分〕．当斜率不存在时，4-=x 也符合题意．故过点()11,5-M 的圆O 的切线方程为02043=-+y x 或者4-=x ．〔6分〕 〔2〕当直线AB 的斜率不存在时，73=∆ABC S ，〔7分〕，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()3-=x k y ，即03=--k y kx ，圆心()0,0O 到直线AB 的间隔 132+=k k d ，〔9分〕线段AB 的长度2162d AB -=，所以()()821616162122222=-+≤-=-==∆d d d d d d d AB S ABC ，〔11分〕当且仅当82=d 时取等号，此时81922=+k k ，解得22±=k ，所以OAB △的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为22±．〔12分〕17．【命题立意】此题考察椭圆方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系以及存在性问题． 【思路点拨】〔1〕可根据抛物线平移后与坐标轴的交点求得b 、c 的值，从而可得a 的值，故可求椭圆方程；〔2〕可利用向量法解决． 【解析】〔1〕抛物线y x 222-=的图象向上平移2个单位长度后其解析式为()2222--=y x ，其与x 、y 轴的交点坐标分别为()0,2±、()2,0，∴2=b ，2=c ，〔2分〕∴62=a ，故椭圆的方程为12622=+y x ．〔4分〕〔2〕由题意可得直线l 的方程为()m x y --=33，代入椭圆方程消去y 得，062222=-+-m mx x ，〔6分〕又()68422--=m m △＞0，∴32-＜m ＜32．〔7分〕设C 、D 分别为()11,y x ，()22,y x ，那么m x x =+21，26221-=m x x ，∴()()()33313333221212121m x x m x x m x m x y y ++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=，∵()11,2y x FC -=，()22,2y x FD -=，∴()()()()33243363422221212121-=++++-=+--=⋅m m mx x m x x y y x x FD FC ，〔10分〕∵点F 在圆的外部，∴FD FC ⋅＞0，即()332-m m ＞0，解得m ＜0或者m ＞3，又∵32-＜m ＜32，∴32-＜m＜0或者3＜m ＜32．〔12分〕18．【命题立意】考察双曲线的定义和HY 方程，渐近线和离心率计算公式．【思路点拨】〔1〕求渐近线方程的目的就是求ab ，可根据条件建立a 、b 的数量关系来求得；〔2〕可建立e 关于λ的函数，从而可根据λ的范围求得e 的范围；〔3〕可根据离心率确定a 、b 的数量关系，再结合图形确定圆的圆心与半径．【解析】由于()0,2c F ，所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛±a b c P 2,，于是ab PF 22=，a ab a PF PF 22221+=+=，〔1分〕由相似三角形知，112PF OF PF OH =，即121PF PF OF OH =，即ab a a b 222+=λ，〔2分〕∴2222b b a =+λλ，()λλ-=1222b a ，λλ-=1222a b ．〔1〕当31=λ时，122=ab ，∴b a =．〔3分〕所以双曲线的渐近线方程为x y ±=．〔4分〕〔2〕()[]12111211121121122222---=--=---+=-+=+==λλλλλλab ac e ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,91上为单调递增函数．〔5分〕∴当21=λ时，2e 获得最大值3〔6分〕；当91=λ时，2e 获得最小值45．〔7分〕∴3452≤≤e ，∴325≤≤e ．〔8分〕〔3〕当3=e 时，3=ac，∴a c 3=，∴222a b =．〔9分〕∵212F F PF ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点，∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴81=PF ．〔10分〕又a aaa ab a PF 4222221=+=+=，∴84=a ，2=a ，32=c ，22=b ．〔11分〕∴4222===a ab PF ，圆心()2,0C ，半径为4，故圆的方程为()16222=-+y x ．〔12分〕19．【命题立意】考察抛物线的HY 方程，直线与抛物线的位置关系．【思路点拨】设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理来解决；存在性问题一般是假设存在，利用垂径定理推导求解来解决．【解析】〔1〕依题意，可设()11,y x A 、()22,y x B ，直线AB 的方程为p my x +=， 由0222222=--⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=p pmy y pxy pmy x ，〔2分〕得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+2212122py y pmy y ，〔3分〕∴NB NA ⋅=()()2211,,y p x y p x ++()()2121y y p x p x +++=()()212122y y p my p my +++=()()221212421p y y pm y y m ++++=22222p m p +=〔6分〕当0=m 时，NB NA ⋅获得最小值22p .〔7分〕〔2〕假设满足条件的直线l 存在，其方程为a x =，AC 的中点为O '，l 与以AC 为直径的圆相交于P 、Q ，PQ 的中点为H ，那么PQ H O ⊥'，O '的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,211y p x ．()2212121212121p x y p x AC P O +=+-==' 〔9分〕，()()()a p a x p a p x a p x HO P O PH -+⎪⎭⎫⎝⎛-=---+='-'=∴1212212222124141，2PQ =()22PH =()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫⎝⎛-a p a x p a 1214〔11分〕，令021=-p a 得p a 21=．此时p PQ =为定值．故满足条件的直线l 存在，其方程为p x 21=．〔13分〕20．【命题立意】考察椭圆与抛物线的HY 方程，直线与椭圆的位置关系．【思路点拨】〔1〕利用抛物线的HY 方程，求出焦点坐标，从而得到椭圆中的b ，再由离心率建立方程，可求得椭圆的HY 方程；〔2〕抓住直线PQ ⊥x 轴，BPQ APQ ∠=∠即直线PA 、PB 的斜率互为相反数，联络方程利用韦达定理来解决． 【解析】〔1〕设C 方程为12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕，那么32=b ．由21=ac，222b c a +=，得a =4∴椭圆C 的方程为1121622=+y x．〔4分〕〔2〕①设()11,y x A ，()22,y x B ，直线AB 的方程为t x y +=21，代入1121622=+y x ，得01222=-++t tx x ，由∆＞0，解得4-＜t ＜4．〔6分〕由韦达定理得t x x -=+21，12221-=t x x ．四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，∴当0=t 时312max=S ．〔8分〕②当BPQ APQ ∠=∠，那么PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，那么PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为()23-=-x k y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-)2(11216)1(2322y x x k y ．将〔1〕代入〔2〕整理得()()()04823423843222=--+-++k kx k xk ，有()21433282k k k x +-=+．〔10分〕同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得()()22243328433282k k k k k k x ++=+---=+，∴2221431216kk x x +-=+，2214348k k x x +-=-．〔12分〕从而AB k =2121x x y y --=()()21213232x x x k x k ---++-=()21214x x k x x k --+=21，所以AB 的斜率为定值21．〔13分〕21．【命题立意】考察圆锥曲线的HY 方程，椭圆与双曲线的定义，向量垂直问题． 【思路点拨】〔1〕利用向量的数量积的坐标运算来求出轨迹方程，但一定要注意对参数的讨论；〔2〕利用椭圆或者双曲线的定义确定点P 的位置，以PQ 为直径的圆G 过点2F ，即022=⋅QF PF ，利用向量垂直的坐标运算来解决．【解析】〔1〕∵b a ⊥，∴()()02,2,=+⋅-=⋅y kx y x b a ，得0422=-+y kx ，即422=+y kx ．〔1分〕 当0=k 时，方程表示两条与x 轴平行的直线；〔2分〕当1=k 时，方程表示以原点为圆心，以2为半径的圆；〔3分〕当0＜k ＜1时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆；〔4分〕当k ＞1时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；〔5分〕当k ＜0时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．〔6分〕 〔2〕由〔1〕知，轨迹T 是椭圆13422=+x y ，那么1F 、2F 为椭圆的两焦点．解法一：由椭圆定义得421=+PF PF ,联立121=-PF PF 解得251=PF，232=PF ，又221=F F ，有2212221F F PF PF +=,∴212F F PF ⊥，∴P 的纵坐标为1，把1=y 代入13422=+x y 得23=x 或者23-=x 〔舍去〕，∴⎪⎭⎫⎝⎛1,23P ．〔9分〕设存在满足条件的圆，那么22QF PF ⊥，设()t s Q ,，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,232PF ，()t s QF --=1,2,∴022=⋅QF PF ，即()01023=-⨯+t s ,∴0=s ．又13422=+s t ，∴2±=t ,∴()2,0Q 或者()2,0-Q ．〔12分〕所以圆G 的方程：1613234322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 或者1645214322=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．〔13分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等单元过关检测卷(三)带答案人教版高中数学高考真题汇编艺考生专用
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编陕西文数）9.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为（ ） （A ）12（B ）1（C ）2（D ）4第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是▲ .3．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2－bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)________． ①必在圆x 2＋y 2＝2上 ②必在圆x 2＋y 2＝2外 ③必在圆x 2＋y 2＝2内解析：由e ＝12＝ca ，得a ＝2c ，b ＝3c .所以x 1＋x 2＝b a ＝32，x 1x 2＝－c a ＝－12.于是，点P (x 1，x 2)到圆心(0,0)的距离为x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2， 所以点P 在圆x 2＋y 2＝2内． 评卷人得分三、解答题4．.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212PF F F ⊥，1OH PF ⊥于H ，111,[,]92OH OF λλ=∈（1）当13λ=时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当离心率最大时，过1F 、2F ，P 的圆截y 轴线段长为8，求该圆的方程．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等单元过关检测卷(四)带答案人教版高中数学辅导班专用
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0 C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(汇编福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线22y x =-+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为 ▲评卷人得分三、解答题4．（汇编年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.5．.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212PF F F ⊥，1OH PF ⊥于H ，111,[,]92OH OF λλ=∈（1）当13λ=时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当离心率最大时，过1F 、2F ，P 的圆截y 轴线段长为8，求该圆的方程．6．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除，再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在12,l l 之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为22(2)1x y ±+=，求椭圆段的方程；(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程； (Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，求PM PN的取值范围.分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a ，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M 点的坐标，易得直线方程；关注PM PN 的实质，涉及分类讨论. 解答：(Ⅰ）由题意：22222,21(22)14c a ==++=，则2222b a c =-=；则椭圆段的方程：221(22)42x y x +=-≤≤； (Ⅱ）由题意：1||1NF =，则1||2MF =，设00(,)M x y ，则0(22)2e x +=，00x ∴=，则(0,2)M ±，则直线l 的方程是：(2)y x =±+； (Ⅲ）211111111111()()P M P NP F F M P F F N P F P FF NP FF M=++=+++（1）P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，则N 必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则11||1,||1PF F N ==， P11110PF F N PF FM ==， 所以：11111||PM PN F M F NF M =+=-，设00(,)M x y (1）0[2,2]x ∈-时，M 在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则102||2[1,3]2F M x =+∈ 则11||[2,0]PM PN FM =-∈-； (2）0[2,21]x ∈+时，M 在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分， 则2200(2)1x y -+=，且1||F M =22000(2)142[3,122]x y x ++=+∈+则11||[22,2]PM PN FM =-∈--； 综上可知：PM PN 的取值范围是11||[22,0]PM PN FM =-∈-. 说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8．已知：“过圆222:C x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程是200x x y y r +=.”(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程（不要求证明）；(Ⅱ）过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B两点，求过,A B 两点的直线方程；(Ⅲ）若过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，且AB 恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M 在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：(Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b '+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程是00221x x y y a b+=；(Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .由（Ⅰ）可知：过点11(,)A x y 的椭圆的切线1l 的方程是：11221x x y ya b+=； 过点22(,)B x y 的椭圆的切线2l 的方程是：22221x x y ya b+=； 因为12,l l 都过点00(,)M x y ，则10102210102211x x y y a b x x y y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+= (Ⅲ）由（Ⅱ）知过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+=，由题意：(,0)F c -在直线AB 上，则02()1x c a-=，则20a x c =- ∴点00(,)M x y 在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.7．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （汇编全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y x y x x x R R由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即xyy P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程图8—25①③（x －1）2+322y =1（x ＞0）.所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．D 抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。
圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线单元过关检测卷(一)含答案人教版新高考分类汇编
高中数学专题复习《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、选择题1．（汇编年高考浙江卷（文））如图F1.F2是椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点（）A．B分别是C1.C2在第二.四象限的公共点,若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是（）A． 2 B． 3 C．32D．622．1 ．（汇编年高考课标Ⅱ卷（文））设椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右焦（第9题图）点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ⊥∠=︒,则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．2 ．（汇编年高考江西卷（理））过点(2,0)引直线l 与曲线21y x =+相交于A,B 两点,O 为坐标原点,当∆AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 （ ） A ．y EB BC CD=++33B ．33-C ．33±D ．3-4．3 ．（汇编福建理）已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 （ ）A ．5B ．42C ．3D ．55．（汇编全国文6理8）双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是（ ）A ．y =±3xB ．y ＝±31x C ．y ＝±3x D ．y ＝±x 33 6．（汇编北京安徽春季3）双曲线2222ay b x -＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．237．（汇编全国卷Ⅱ理）已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于A B 、两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k =( )A.13B.23C.23D. 223【解析】设抛物线2:8C y x =的准线为:2l x =-直线 ()()20y k x k =+>恒过定点P ()2,0- .如图过A B 、分 别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , 由||2||FA FB =,则||2||AM BN =,点B 为AP 的中点.连结OB ,则1||||2OB AF =, ||||OB BF ∴= 点B 的横坐标为1, 故点B 的坐标为22022(1,22)1(2)3k -∴==--, 故选D.8．（汇编全国3理7）设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ） A. 5B. 5C.52D.549．（汇编广东河南10）对于抛物线y 2=4x 上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ |≥|a |，则a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，0）B ．（－∞，2]C ．［0，2］D ．（0，2）10．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45 (B)35 (C)35- (D )45- (汇编年高考全国卷理科10)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题11．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为____________12．一个动点到两个定点A ，B 的距离的差为定值(小于两个定点A ，B 的距离)，则动点的轨迹 为________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知3y x =是双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ．14．在平面直角坐标系xOy 中，直线 (44)x t t =-<<与椭圆221169y x +=交于两点11( )P t y ，、22( )P t y ，， 且10y >、20y <，12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，则直线12A P 与21A P 的交点所在的曲线方程为 ▲ ．15．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，离心率为22。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等单元过关检测卷(二)带答案新高考高中数学艺考生专用
高中数学专题复习
《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》
单元过关检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分 一、选择题
1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A ．22x +y +2x=0
B ．22x +y +x=0
C ．22x +y -x=0
D ．22x +y -2x=0(汇编福建理） 第II 卷（非选择题）
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得分 二、填空题
2． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等章节综合检测提升试卷(五)带答案人教版高中数学
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0 C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(汇编福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a by ax 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是▲ .3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．评卷人得分三、解答题4．如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ， 过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点. ⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；[来源:Z|xx|] ⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点，当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. (江苏省苏州市汇编年1月高三调研) （本小题满分16分）5．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>左右两焦点为12,F F ，P 是右支上一点，2121,PF F F OH PF ⊥⊥于H ， 111,,92OH OF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.(1)当13λ=时，求双曲线的渐近线方程； (2）求双曲线的离心率e 的取值范围；(3）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆的截y 轴的线段长为8，求该圆的方程. 17－16．如图，过椭圆的左右焦点12,F F 分别作长轴的垂线12,l l 交椭圆于1122,,,A B A B ，将12,l l 两侧的椭圆弧删除，再分别以12,F F 为圆心，线段1122,F A F A 的长度为半径作半圆，这样得到的图形称为“椭圆帽”，夹在12,l l 之间的部分称为“椭圆帽”的椭圆段，夹在12,l l 两侧的部分称为“椭圆帽”的圆弧段.(Ⅰ）若已知两个圆弧段所在的圆方程分别为22(2)1x y ±+=，求椭圆段的方程；(Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，若1120FM F N +=，求直线l 的方程； (Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，如图，已知l 为过1F 的一条直线，l 与“椭圆帽”的两个交点为,M N ，P 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，求PM PN的取值范围.分析：利用椭圆的第一定义不难求出长轴长2a ，从而求出椭圆方程；利用椭圆的第二定义，可求出M 点的坐标，易得直线方程；关注PM PN 的实质，涉及分类讨论. 解答：(Ⅰ）由题意：22222,21(22)14c a ==++=，则2222b a c =-=；则椭圆段的方程：221(22)42x y x +=-≤≤； (Ⅱ）由题意：1||1NF =，则1||2MF =，设00(,)M x y ，则0(22)2e x +=，00x ∴=，则(0,2)M ±，则直线l 的方程是：(2)y x =±+； (Ⅲ）211111111111()()P M P NP F F M P FF N P F P FF NP FF M=++=+++（1）PP 为“椭圆帽”的左侧圆弧段上半部分的一点，且满足10F P MN =，则N 必在“椭圆帽”的左侧圆弧段下半部分，则11||1,||1PF F N ==， 11110PF F N PF FM ==， 所以：11111||PM PN F M F NF M =+=-，设00(,)M x y (1）0[2,2]x ∈-时，M 在“椭圆帽”的椭圆段的上方部分，则102||2[1,3]2F M x =+∈ 则11||[2,0]PM PN FM =-∈-； (2）0[2,21]x ∈+时，M 在“椭圆帽”的右侧圆弧段的上方部分， 则2200(2)1x y -+=，且1||F M =22000(2)142[3,122]x y x ++=+∈+则11||[22,2]PM PN FM =-∈--； 综上可知：PM PN 的取值范围是11||[22,0]PM PN FM =-∈-. 说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，将其他的数学知识和数学思想方法与圆锥曲线综合，从一个更新颖的角度来考察圆锥曲线.8．已知：“过圆222:C x y r +=上一点00(,)M x y 的切线方程是200x x y y r +=.”(Ⅰ）类比上述结论，猜想过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程（不要求证明）；(Ⅱ）过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B两点，求过,A B 两点的直线方程；(Ⅲ）若过椭圆2222:1(0)x y C a b a b'+=>>外一点00(,)M x y 作两直线与椭圆切于,A B 两点，且AB 恰好通过椭圆的左焦点，证明：点M 在一条定直线上.分析：利用圆方程与椭圆方程结构的一致性，不难得出（Ⅰ）的结论，而（Ⅱ）的解决则体现了方法的类比. 解答：(Ⅰ）椭圆2222:1(0)x y C a b a b '+=>>上一点00(,)M x y 的切线方程是00221x x y y a b+=；(Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y .由（Ⅰ）可知：过点11(,)A x y 的椭圆的切线1l 的方程是：11221x x y ya b+=； 过点22(,)B x y 的椭圆的切线2l 的方程是：22221x x y ya b+=； 因为12,l l 都过点00(,)M x y ，则10102210102211x x y y a bx x y y a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+=(Ⅲ）由（Ⅱ）知过,A B 两点的直线方程是：00221x x y ya b+=， 由题意：(,0)F c -在直线AB 上，则02()1x c a-=，则20a x c =- ∴点00(,)M x y 在椭圆的左准线上.说明：根据08考试说明，利用方程组的方法讨论直线与圆锥曲线的位置关系不再是圆锥曲线的考试重点.那么，利用类比或其他的数学思想方法，从一个更新颖的角度来关注圆锥曲线的命题方向.7．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （汇编全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+xy x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x y x y x x x R R由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即xyy P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.图8—25①③将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程（x －1）2+322y =1（x ＞0）.所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．D 抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等章节综合检测提升试卷(三)带答案人教版新高考分类汇编
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋O A 1A 2B 1B 2xy (第17n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点． 3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线22y x =-+与曲线x x m+1y yn =的交点个数为评卷人得分三、解答题4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA •AB = MB •BA ，M 点的轨迹为曲线C 。
（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
(汇编年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。
5．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．6．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1，椭圆的离心率为45，以原点为圆心、短轴长为直径作圆O ，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线,PA PB 。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等单元过关检测卷(三)附答案新人教版高中数学名师一点通辅导班专用
因为 ， ，故 .
不妨设双曲线方程为 （ ），由 代入得
则有 ,
因为 ，故当 时，方程 无解；
当 时，要使不动点存在，则需 ，
因为 ，故当 时，双曲线 在变换 下一定有2个不动点，否则不存 在不动点.
进一步分类可知：
（i）当 ， 时，即双曲线的焦点在 轴上时，
又由条件得 …②，故由①、②可解得 ， .
即椭圆 的标准方程为 .
且椭圆 两个焦点的坐标分别为 和 .
对于变换 ： ，当 时，可得
设 和 分别是由 和 的坐标由变换公式 变换得到.于是， ，即 的坐标为 ；
又 即 的坐标为 .
（2）设 是椭圆 在变换 下的不动点，则当 时，
有 ，由点 ，即 ，得：
， 因而椭圆 的不动点共有两个，分别为 和 .
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
2．设椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的右准线与x轴的交点为M，以椭圆的长轴为直径作圆O，过点M引圆O的切线，切点为N，若△OMN为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．
3．已知 当mn取得最小值时，直线 与曲线 的交点个数为
评卷人
得分
三、解答题
4．设A为椭圆 上任一点，B为圆 上任一点，求 的最大值及最小值．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA，MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。(汇编年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）
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高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．以抛物线24y x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ） A ．22x +y +2x=0 B ．22x +y +x=0 C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0(汇编福建理）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．3． 已知直线l 的方程为2x =-，圆22:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 . 评卷人得分三、解答题4．.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212PF F F ⊥，1OH PF ⊥于H ，111,[,]92OH OF λλ=∈（1）当13λ=时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当离心率最大时，过1F 、2F ，P 的圆截y 轴线段长为8，求该圆的方程．5．如图，椭圆0C ：22221(0x y a b a b +=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<。
点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点。
(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于////,,,A B C D 四点，其中2b t a <<， 12t t ≠。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等章节综合检测专题练习(三)带答案新高考高中数学
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．（汇编福建理2）以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )A ．22x +y +2x=0B ．22x +y +x=0C ．22x +y -x=0D ．22x +y -2x=0 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题2．圆心在抛物线y x 42=上，并且和抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为 ▲ ．3．已知121(0,0),m n m n+=>>当mn 取得最小值时，直线22y x =-+与曲线x x m +1y y n =的交点个数为 评卷人得分 三、解答题4．设A 为椭圆221259x y +=上任一点，B 为圆22(1)1x y -+=上任一点，求AB 的最大值及最小值．5．已知椭圆()22220y x C a b a b：+＝1＞＞的离心率为63，过右顶点A 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且(13)B --，.（1）求椭圆C 和直线l 的方程；（2）记曲线C 在直线l 下方的部分与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．若曲线2222440x mx y y m-+++-=与D 有公共点，试求实数m 的最小值．6．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为32，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ．(1)求椭圆的离心率；(2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21 2ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；(3)设点(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于62，求椭圆C 的短轴长的取值范围．7．已知椭圆162422y x +=1，直线l ：x =12.P 是直线l 上一点，射线OP 交椭圆于点R .又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |=|OR |2.当点P 在直线l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. （汇编全国文，26）94.如图8—25，设点P 、Q 、R 的坐标分别为（12，y P ），（x ，y ），（x R ，y R ），由题设知x R ＞0，x ＞0.由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+x y x y y x R R R R 1162422 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=2222222232483248y x yx y x x x R R 图8—25① ③由点O 、Q 、R 共线，得x y y P =12,即x y y P 12= ③由题设|OQ |·|OP |=|OR |2，得2222222)(12R R P y x y y x +=+⋅+.将①、②、③代入上式，整理得点Q 的轨迹方程 （x －1）2+322y =1（x ＞0）. 所以，点Q 的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和36且长轴在x 轴上的椭圆，去掉坐标原点. 评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、选择题1．DD【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。
椭圆、双曲线、抛物线试题(一)
椭圆、双曲线、抛物线试题（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为A. B. C. D.2.已知椭圆C：的左、右顶点分别为,，且以线段为直径的圆与直线相切，则C的离心率为( )A. B. C. D.3.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A. +=1B. +y2=1C. +=1D. +=14.椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（）A. B. C. D.5.设F1，F2分别是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为（）A. B. C. D.6.已知P是椭圆+y2=1上的动点，则P点到直线l：x+y-=0的距离的最小值为（）A. B. C. D.7.若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A. 2B.C.D.8.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A. -3＜m＜0B. -3＜m＜2C. -3＜m＜4D. -1＜m＜39.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A. -=1B. -=1C. -=1D. -=110.已知方程-=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）A. （-1，3）B. （-1，）C. （0，3）D. （0，）11.已知双曲线-=1（a＞b，b＞0）的离心率为，则椭圆+=1的离心率为（）A. B. C. D.12.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. 3 C. 5 D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，则a= ______ ．14.双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-）2+y2=1相切，则此双曲线的离心率为______．15.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则+=______．16.已知抛物线的一条弦AB恰好以为中点，则弦AB所在直线方程是．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）17.已知椭圆C：的焦距为，长轴长为4．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C交于A，B两点.设，，直线AB的方程为，试求m的值18.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为,且焦距为4,已知点求双曲线的标准方程；已知点,过点A的直线L交双曲线于M,N两点,点A为线段MN的中点,求直线l方程．19.已知抛物线的标准方程是，（1）求它的焦点坐标和准线方程，（2）直线过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为、，求的长度.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：（a>b>0），直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，设直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，又,化简得：,∴e==，故选B．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、涉及直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．根据直线与圆相切的条件，利用点到直线的距离公式得到a,b的关系，进而求得离心率．【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e===．故选A．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题.利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，且△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=，∵离心率为，∴，解得c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选A．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，考查直线的斜率，考查分析与计算能力，属于中档题.在解决弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，·先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.【解答】解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆得，两式相减得+=0，即=，∴=，又M（1，2）为弦AB的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∴=，即=，∴弦所在的直线的斜率为，故选D.5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了椭圆的定义，椭圆的标准方程及其性质、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设|BF1|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF2B=，利用余弦定理，可得a=3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．解：设|BF1|=k（k＞0），则|AF1|=3k，|AB|=4k，∴|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k，∵cos∠AF2B=，在△ABF2中，由余弦定理得：|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，∴（4k）2=（2a-3k）2+（2a-k）2-（2a-3k）（2a-k），化简可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，∴|AF2|=|AF1|=3k，|BF2|=5k，|AB|=4k，∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，且=3k,∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=a，∴椭圆的离心率e==，故选D．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出与直线x+y-=0平行，且与椭圆相切的直线方程，属于中档题．设与直线x+y-=0平行的直线方程是x+y+c=0，与椭圆方程联立，消元，令=0，可得c的值，求出两条平行线的距离，即可求得椭圆+y2=1上的动点P到直线l：x+y-2=0的距离的最小值.【解答】解：设与直线x+y-=0平行的直线方程是x+y+c=0，与椭圆方程联立，消元可得,令=,可得c=.故与直线x+y-=0平行的直线方程是x+y=0，∴x+y=0与x+y-=0之间的距离为,x+y=0与x+y-=0之间的距离为,∴椭圆+y2=1上的动点P到直线l：x+y-=0的距离的最小值是.故选A.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力，为基础题．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx-ay=0，圆（x-2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为2，由双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为h==，解得：，可得e2=4，即e=2．故选A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的概念及标准方程，充分条件、必要条件的判定，考查运算求解能力，属于基础题．根据题意，由方程表示双曲线，可得m的取值范围，进而由充分条件和必要条件的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，方程表示双曲线，则有(m-2)(m+3)＜0，解得-3＜m＜2，要求方程表示双曲线的一个充分不必要条件，则所给集合必须是{m|-3＜m＜2}的非空真子集，依次分析选项，只有A符合条件，故选:A．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，属于中档题．求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．【解答】解：椭圆+=1的焦点坐标为（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，可得，即，可得=，解得a=2，则b=，故所求的双曲线方程为：-=1．故选B．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的性质及其集合意义，考查了不等式的解法，题目比较基础. 由已知可得c=2，讨论焦点在x轴上，利用4=（m2+n）+（3m2-n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2-n）＞0，从而可求n的取值范围，若焦点在y轴上，可得无解．【解答】解：∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2，当焦点在x轴上时，可得4=（m2+n）+（3m2-n），解得：m2=1，∵方程-=1表示双曲线，∴（m2+n）（3m2-n）＞0，可得（n+1）（3-n）＞0，解得-1＜n＜3，即n的取值范围是（-1，3）．当焦点在y轴上时，可得-4=（m2+n）+（3m2-n），解得m2=-1，故无解.故选A.11.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查双曲线和椭圆离心率的计算，根据条件建立方程求出a，c的关系是解决本题的关键，注意椭圆和双曲线a，c关系的不同，属于基础题.根据双曲线的离心率建立方程关系求出a，b的关系，然后结合椭圆离心率的定义进行求解即可．【解答】解：在双曲线中c2=a2+b2，∵双曲线的离心率为，∴==，即4a2+4b2=5a2，即a2=4b2，则椭圆中c2=a2-b2=4b2-b2=3b2，则e2===，即e=，故椭圆的离心率是，故选C．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质，求得a2的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题．由双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，先求出a2，再求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，由此能求出结果．【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0），双曲线的右焦点为(c,0),其中c2=a2+5,∵这两焦点重合，∴5+a2=9，∴a2=4．则双曲线的方程为：=1，∴双曲线的渐近线方程为：y=±x，则双曲线的一个焦点F（3，0）到其渐近线的距离等于d==．故选A．13.【答案】5【解析】【分析】本题考查双曲线的渐近线方程，考查计算能力．利用双曲线方程，求出渐近线方程，求解a即可．【解答】解：双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y=x，可得，解得a=5．故答案为5．14.【答案】【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题.求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到a、b关系，然后求解双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，圆（x-）2+y2=1的圆心（，0），半径为1，由双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-）2+y2=1相切，可得：=1，可得a2=b2，c=a，∴e=．故答案为．15.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义，属于中档题.对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决，根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入+答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0），准线方程为x=-1．设过F点直线方程为y=k（x-1）代入抛物线方程，得k2（x-1）2=4x．化简后为：k2x2-（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1.根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴+=.故答案为1.16.【答案】2x-y-1=0【解析】【分析】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．涉及曲线弦的中点和斜率时，一般可采用点差法，属于一般题.设出A，B坐标，分别代入抛物线方程，两式相减整理，利用中点的纵坐标求得直线AB 的斜率，再由点斜式方程即可得到所求直线方程．【解析】解:设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得=4x1，①，=4x2，②，①-②整理得k===2，则弦AB所在直线方程为y-1=2(x-1)，即为2x-y-1=0．故答案为2x-y-1=0．17.【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4，∴c=，a=2，∴b=1，∴椭圆C的标准方程为=1；（Ⅱ）直线AB的方程为y=-2x+m（m＞0），代入椭圆方程得17x2-16mx+4m2-4=0，则x1+x2=，x1x2=，①由OA⊥OB，知x1x2+y1y2=x1x2+（-2x1+m）（-2x2+m）=5x1x2-2m（x1+x2）+m2=0，将①代入，得5×-2m×+m2=0，∵m＞0，∴m=2．【解析】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系，设而不求的代数思想及向量垂直关系的转化，考查代数运算能力，属于中档题．（Ⅰ）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4，求出椭圆的几何量，可得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线AB、联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，化简整理即可求m的值．18.【答案】解：（1）设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），∵双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，∴，c=2，∵c2=a2+b2，∴a=1，b=，∴双曲线的标准方程为.（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），代入双曲线方程可得，，两式相减，结合点A（1，）为线段MN的中点，可得，∴=，∴直线l方程为，即4x-6y-1=0．【解析】本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．（1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．19.【答案】解：（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，∴=，∴焦点为F（，0），准线方程：x=-；（2）∵直线l过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，∴直线l的方程为y=x-，代入抛物线y2=6x化简得x2-9x+=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．故所求的弦长为12．【解析】本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，因为是过焦点的弦长问题，所以利用了焦半径公式．属于基础题．（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程；（2）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等课后限时作业(三)附答案新人教版高中数学名师一点通
的方程为
（II）设椭圆方程为 ，半焦距为c，则
椭圆与圆O恰有两个不同的公共点，则 或
当 时， 所求椭圆方程为 ；
当 时， 所求椭圆方程为
（III）设切点为N，则由题意得，椭圆方程为
在 中， ，则 ，
的方程为 ，代入椭圆 中，整理得
设 ，则
解得 ．所以，圆 的方程为 ．…………………14分
6．解：（1）直线l的方程为b x+c y– ( – )c=0…………2分
因为直线l与圆C2:x2+ (y– 3)2= 1相切，所以d= =1…………4分
可得2c2=a2，从而e= …………7分
(2）设P(x,y)，则
=x2+ (y– 3)2– 1 = – (y+ 3)2+2c2+ 17, ( –c≤y≤c)………10分
7．已知直线l的方程为 ，且直线l与x轴交于点M，圆 与x轴交于 两点（如图）．
（I）过M点的直线 交圆于 两点，且圆孤 恰为圆周的 ，求直线 的方程；
（II）求以l为准线，中心在原点，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（III）过M点的圆的切线 交（II）中的一个椭圆于 两点，其中 两点在x轴上方，求线段CD的长．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由；
（3）若圆 的面积为 ，求圆 的方程．
6．已知椭圆 的右焦点为 ,上顶点为 , 为 上任一点, 是圆 的一条直径.若与 平行且在 轴上的截距为 的直线 恰好与圆 相切.
(Ⅰ）求椭圆 的离心率；(7分)
(Ⅱ）若 的最大值为49，求椭圆 的方程.(8分)
(或者设M(x1,y1), N(x2,y2), P(x,y)，因为x1+x2=0,y1+y2=6,x12+y12– 6y1+ 8=0，所以 =(x1–x2)(x2–x1)+(y1–y2)(y2–y1)
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进一步分类可知：
（i）当 ， 时，即双曲线的焦点在 轴上时，
；
此时双曲线在变换 下一定有2个不动点；
（ii）当 ， 时，即双曲线的焦点在 轴上时，
.
此时双曲线在变换 下一定有2个不动点.
7．（1）设椭圆的标准方程为
依题意得： ，得 ∴
以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.
(2)设∠ECF＝2α，则 · ＝| |·| |·cos 2α＝16cos 2α＝32cos2α－16.
在Rt△PCE中，cosα＝ ＝ .由圆的几何性质得
PC≤MC＋1＝7＋1＝8，
PC≥MC－1＝7－1＝6.
所以 ≤cosα≤ ，由此可得－8≤ · ≤－ .
5．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标
原点，设圆C是△OAB的外接圆(点C为圆心)．
(1)求圆C的方程；
(2)设圆M的方程为(x－4－7cosθ)2＋(y－7sinθ)2＝1，过圆M上任意一点P分别作圆C
的两条切线PE、PF，切点为E、F，求 · 的最大值和最小值．
6．定义变换 ： 可把平面直角坐标系上的点 变换到这一平面上的点 .特别地，若曲线 上一点 经变换公式 变换后得到的点 与点 重合，则称点 是曲线 在变换 下的不动点.
（1）若椭圆 的中心为坐标原点，焦点在 轴上，且焦距为 ，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求该椭圆 的标准方程.并求出当 时，其两个焦点 、 经变换公式 变换后得到的点 和 的坐标；
（2）当 时，求（1）中的椭圆 在变换 下的所有不动点的坐标；
（3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分 一、选择题
1．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为（ ）
A ．22x +y +2x=0
B ．22x +y +x=0
C ．22x +y -x=0
D ．22x +y -2x=0(汇编福建理） 第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分 二、填空题
2．已知椭圆2
21:12
x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且。
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等单元过关检测卷(五)附答案人教版高中数学考点大全
（2）圆 的半径为 ，圆 的半径为 ，
则 （ ＜ ＜ ）
显然 时， 最小， .……………15分
7．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设F、B、C的坐标分别为（－c，0），（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂线
分别为 ， ．……………………………………………………2分
7．已知椭圆 的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、B、
C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
(Ⅰ）当m＋n>0时，求椭圆离心率的范围；
(Ⅱ）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．B
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
联立方程组，解出 ……………………………………………………………4分
，即 ，即（1＋b）（b－c）>0，
∴b>c．……………………………………………………………………………………6分
从而 即有 ，∴ ．……………………………………………………7分
又 ，∴ ．…………………………………………………………………8分
6．解：（1）由题意： 可得： ，
故所求椭圆方程为： 1………………………3分
（2）易得A的坐标(－2，0)，B的坐标(2,0)，M的坐标 ，N的坐标 ，
线段AM的中点P ，
直线AM的斜率 ………………………………………5分
又 , 直线 的斜率
直线 的方程 ，
的坐标为 同理 的坐标为 …………………………8分
评卷人
得分
二、填空题
解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等单元过关检测卷(二)带答案人教版高中数学艺考生专用
高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a bya x 的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________ 3．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 24＝1的交点个数为________． 解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点． 评卷人得分三、解答题4．.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，212PF F F ⊥，1OH PF ⊥于H ，111,[,]92OH OF λλ=∈（1）当13λ=时，求双曲线的渐近线方程； （2）求双曲线的离心率的取值范围；（3）当离心率最大时，过1F 、2F ，P 的圆截y 轴线段长为8，求该圆的方程．5．定义变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩可把平面直角坐标系上的点(,)P x y 变换到这一平面上的点(,)P x y '''.特别地，若曲线M 上一点P 经变换公式T 变换后得到的点P '与点P 重合，则称点P 是曲线M 在变换T 下的不动点.（1）若椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，且焦距为22，长轴顶点和短轴顶点间的距离为 2. 求该椭圆C 的标准方程. 并求出当3arctan 4θ=时，其两个焦点1F 、2F 经变换公式T 变换后得到的点1F '和2F '的坐标；（2）当3arctan 4θ=时，求（1）中的椭圆C 在变换T 下的所有不动点的坐标； （3）试探究：中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换T ：cos sin ,sin cos ,x y x x y y θθθθ'⋅+⋅=⎧⎨'⋅-⋅=⎩（2k πθ≠，k Z ∈）下的不动点的存在情况和个数.6．平面直角坐标系xOy 中，已知⊙M 经过点F 1（0，－c ），F 2（0，c ），A （3c ，0）三点，其中c ＞0．（1）求⊙M 的标准方程（用含c 的式子表示）；（2）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>（其中222a b c -=）的左、右顶点分别为D 、B ，⊙M 与x 轴的两个交点分别为A 、C ，且A 点在B 点右侧，C 点在D 点右侧． ①求椭圆离心率的取值范围；②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．7．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1，椭圆的离心率为45，以原点为圆心、短轴长为直径作圆O ，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线,PA PB 。
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高中数学专题复习《解析几何综合问题圆与椭圆双曲线抛物线等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分一、选择题1．(汇编四川理)已知两定点()()2,0,1,0A B -，如果动点P 满足2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（A ）9π （B ）8π （C ）4π （D ）π第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a by ax 的离心率，右焦点F （c,0），方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2，则点P （x 1,x 2）在与圆222=+y x 的位置关系是▲ .O A 1A 2B 1 B 2xy (第173．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线相切，则p =_____.（汇编全国理，16）评卷人得分三、解答题4．（汇编年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C .(Ⅰ)求C 的方程;(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.5．已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心率为5的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（本小题满分14分）6．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11A B 对称．（1）求椭圆E 的离心率；（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．7．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>左右两焦点为12,F F ，P 是右支上一点，2121,PF F F OH PF ⊥⊥于H ， 111,,92OH OF λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.(1)当13λ=时，求双曲线的渐近线方程； (2）求双曲线的离心率e 的取值范围；(3）当e 取最大值时，过12,,F F P 的圆的截y 轴的线段长为8，求该圆的方程. 17－1【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、选择题1．B第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分二、填空题2．点P （x1,x2）在圆内3．2解析：已知圆的方程为（x －3）2+y2=42，∴圆心为（3，0），半径r=4.∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x=－1，x=7（舍）而y2=2px （p ＞0）的准线方程是x=－.∴由－=－1，得 解析：2解析：已知圆的方程为（x －3）2+y 2=42，∴圆心为（3，0），半径r =4. ∴与圆相切且垂直于x 轴的两条切线是x =－1，x =7（舍） 而y 2=2px （p ＞0）的准线方程是x =－2p . ∴由－2p=－1，得p =2，∴p =2. 评卷人得分三、解答题4．解:由已知得圆M 的圆心为M(-1,0),半径11r =;圆N 的圆心为N(1,0),半径23r =.设知P 的圆心为P(x,y),半径为R. (I)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以1212()()4PM PN R r r R r r +=++-=+=.有椭圆的定义可知,曲线C 是以M,N 为左.右焦点,长半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左定点除外),其方程为221(2)43x y x +=≠-. (II) 对于曲线C 上任意一点(,)P x y ,由于222PM PN R -=-≤,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P 的半径最长时,其方程为22(2)4x y -+=;若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得23AB =.若l 的倾斜角不为90°,则1r R ≠知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q,则1QP R QM r =,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).由l 于圆M 相切得2311k k=+,解得k=±24. 当k=24时,将y=24x+2代入22143x y +=,并整理得27880x x +-=, 解得21,22146218.=1+k 77x AB x x -±=-=所以. 当k=218=47AB -时，有图形的对称性可知. 综上,=23AB 或187AB =. 5．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．……………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，因为双曲线的离心率为5，所以2151b +=，即2b =． 所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩…………………………………………………5分整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．……………………………………6分 同理可得，21244k x k +=-．……………………………………………………………7分所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………8分 证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分因为A P A T k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………6分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．…………………………………7分 所以121x x ⋅=．………………………………………………………………………8分证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，……………………4分联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．………………………10分 因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．…………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=， 当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．………………………12分当2t =，即12x =时，()()2212max21S S f -==．……………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．…………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．6．（1）设椭圆E 的焦距为2c （c >0）， 因为直线11A B 的倾斜角的正弦值为13，所以2213b a b =+，于是228a b =，即228()a a c =-，所以椭圆E的离心率22147.84c e a=== …………4分 （2）由144e =可设()40a k k =>，14c k =，则2b k =， 于是11A B 的方程为：2240x y k -+=， 故2OA 的中点()20k ,到11A B 的距离d =2423k kk +=， …………………………6分 又以2OA 为直径的圆的半径2r k =，即有d r =，所以直线11A B 与圆C 相切． …………………………8分 （3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而12k =， …………………………10分设2OA 的中点()10,关于直线11A B ：2220x y -+=的对称点为()m n , ， 则21,141222022n m m n ⎧⋅=-⎪-⎨+⎪-⋅+=⎩． …………………………12分 解得42133m n ==, ．所以，圆C 的方程为()()22421133x y -+=-．…………………14分7．由相似三角形知，121OF OH PF PF =，222b a b a aλ=+，∴()222222,21a b b a b λλλλ+==- ，2221b a λλ=-．(1）当13λ=时，221b a =，∴,a b y x ==±.(2）()22222211211111c b e a a λλλλ--⎡⎤⎣⎦==+=+=+--=221111λλ-=----，在11,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增函数. ∴12λ=时，2e 最大3，19λ=时，2e 最小54， ∴2534e ≤≤，∴532e ≤≤. (3）当3e =时，3ca=，∴3c =，∴222b a =. ∵212PF F F ⊥，∴1PF 是圆的直径，圆心是1PF 的中点， ∴在y 轴上截得的弦长就是直径，∴1PF =8.又2212224b a PF a a a a a =+=+=，∴48,2,23,22a a c b ====. ∴2224b PF a a===，圆心()0,2C ，半径为4，()22216x y +-=.。