八年级数学 暑假同步讲义 第5讲 二次根式单元复习(解析版)

二次根式单元复习
内容分析
二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次根式的运算是重点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的性质包括二次根式的有理化因式和分母有理化以及最简二次根式和同类二次根式；二次根式的运算包括二次根式的加减和二次根式的乘除以及它们的混合运算．把二次根式化为最简二次根式，不仅是简明表达的需要，而且是研究那些表示形式不同但实质一样的二次根式的需要，明确了同类二次根式和有理化因式的意义，那么，实施二次根式的加减运算，归结为合并同类二次根式；实施二次根式的除法运算，归结为分母有理化，从二次根式运算的全过程来看，就是按照一定的法则，把二次根式的运算转化为类似于整式、分式的运算，体现了化归的数学思想．
知识结构
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1. 二次根式的概念
代数式a （0a ≥）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数． 2. 最简二次根式的概念：
（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 同类二次根式的概念：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类 二次根式． 4. 有理化因式：
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．
【例1】下列各式中15、3a 、21b --、244x x ++、220m +、144-、
3
8、2
1
(3)x +，
二次根式的个数是（ ）
A.4
B.3
C.6
D.5
【答案】B ．
【解析】二次根式的被开方数是非负数，∴二次根式有15，244x x ++，220m +，
共三个．
【总结】本题考查了二次根式的概念．
【例2】判断下列根式是否是最简二次根式．
模块一：二次根式的相关概念
例题解析
知识精讲
（1 （2 （3
（4
（5）
（6．
【答案】（1）不是；（2）是；（3）是；（4）不是；（5）是；（6）不是． 【解析】（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母． 同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，
所以（2）（3）（5）是最简二次根式．
【总结】本题考查了最简二次根式的概念．
【例3是同类二次根式，写出三个a 的可能值． 【答案】1a =，6a =，43
3
a =
等，答案不唯一． 【解析】由题意得325a +=，解得1a =；3220a +=，解得6a =；
3245a +=，解得43
3a =
． 【总结】本题考查了同类二次根式的概念．
【例4】求下列各式有意义的所有x 的取值范围：
（1 （2
（3
（4； （5．
【答案】（1）32x ≤；（2）1
2
x ≥；（3）2x ≥且5x ≠或2x ≤-且5x ≠-；
（4）1x ≥-且2x ≠；（5）1x ≥-且1x ≠．
【解析】（1）由题意得320x -≥，解得3
2x ≤；
（2）由题意得0210
x x ≥⎧⎨-≥⎩，解得1
2x ≥；
（3）由题意得2
40
50x x ⎧-≥⎪⎨-≠⎪⎩
，解得2x ≥且5x ≠或2x ≤-且5x ≠-；
（4）由题意得10
20x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且2x ≠；
（5）由题意得
10
10x +≥⎧⎪⎨+≠⎪⎩
，解得1x ≥-且1x ≠．
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【总结】本题考查了二次根式有意义的条件．
【例5】已知222112210x x y z z +++++-+=，求19971998x y z ++的值． 【答案】
12
． 【解析】由题意得2
2210120210
x x y z z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得1201x y z ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪
⎩
，
∴1997199811
0122
x y z +=++=+-．
【总结】本题考查了二次根式有意义的条件．
【例6】已知：x 、y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+． 【答案】1-．
【解析】由题意得10
10x x -≥⎧⎨-≥⎩
，解得1x =，∴3y <，
∴原式34341y y y y =---=-++-=-．
【总结】本题考查了二次根式的化简及有意义的条件．
知识精讲
师生总结
1、 二次根式有意义的条件是什么？
2、 如何判断同类二次根式与最简二次根式？
模块二：二次根式的性质
1、二次根式的性质： 性质 1
()20a a a =≥；2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪
===⎨⎪-<⎩
；
性质2 ()2()0a a a =≥； 性质3
ab a b =⋅ ()0,0a b ≥≥； 性质4
a a
b b
= ()0,0a b ≥>．
【例7】下列各式中一定成立的是（
）．
A ．22(3.7)( 3.7)-=；
B ．22()m m =；
C ．2442x x x -+=-；
D ．22x y x y
x y -=-+．
【答案】A ．
【解析】A 选项：2(3.7) 3.7-=，2( 3.7) 3.7=，故A 正确； B 选项：当0m <时，m 无意义，故B 错误； C 选项：当2x <时，式子不成立，故C 错误；
D 选项：当()()0x y x y -+<时，x y -与x y +无意义，故D 错误．
【总结】本题考查了二次根式的性质．
【例8】已知0a a +=，试化简22(1)a a -+． 【答案】12a -．
【解析】由0a a +=得a a =-，∴0a ≤，
∴22(1)1112a a a a a a a -+=-+=--=-．
【总结】本题考查了二次根式的化简和绝对值，解答此题的关键是由0a a +=得出0a ≤，
例题解析
在化简二次根式时，注意被开方数中底数的符号．
【例9】设a b c 、、分别是三角形三边的长，化简：
【答案】3a b c +-．
【解析】∵a b c 、、分别是三角形三边的长，∴0a b c --<，0b c a -+>，0c b a --<， ∴原式a b c b c a c b a =--+-++--
3a b c b c a c b a a b c =-+++-+-++=+-．
【总结】本题考查了二次根式的性质．
【例10】
化简二次根式：= ．
【答案】． 【解析】∵2
1
b b +-
≥，∴1b ≤-
，∴=
【总结】本题考查了二次根式的化简．
【例11】
化简．
（1
)00x y ≥，
≥；
（2
（3)0a ≥；
（4
)20x y >>
【答案】（1
）(2233x y xy +
；（2）
；（3）3
4 【解析】（1）原式
(
(22333xy x y x y xy =++
（2）原式()2
22
22222a b ab a b b b ab b ab a b b a b b
++==⋅
=++；
（3）原式()2222933333a b a b b a =+=+=+； （4）原式
()2
2
222222x y xy x y y
y y x y
xy xy xy x y
y x y y
x y y
---=
⋅=
⋅=---． 【总结】本题考查了二次根式的化简．
【例12】 m 是2的小数部分，求22
1
2m m +
-的值． 【答案】2．
【解析】由题意得21m =-，∴()
2
2
222
22
111
112m
m m m m m
m m
m m
---+-=
=
==-，
把21m =-代入得：原式(
)
121221
=
-
-=-．
【总结】本题考查了二次根式的化简．
【例13】 已知：22425a b a b ++-=-，求b a
a b
-
+-的值． 【答案】
32
2
． 【解析】由题意得()()2
2
210a b ++-=，∴2a =-，1b =，
∴132
222
b a a b -
+-=+=
． 【总结】本题考查了二次根式的化简．
师生总结
1、 二次根式有哪些性质？
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1、二次根式的加减法
实质为将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式． 2、最简二次根式的乘除法： （1）(0,0)a b a b a b ⋅=⋅≥≥；
（2）
(0,0)a a
a b b
b =
≥>． 3、分母有理化：
将分子分母同时乘以同一个适当的代数式，使分母不含根式；
()()a b a b a b +-=-(0,0)a b ≥≥．
4、二次根式的混合运算：
实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用．
【例14】 计算下列各式：
（1）11
(3276)(80.1256)212---；
（2）32394y x x xy x y y x x y ⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
（3）2224422222a a a a a a
++++++-． 【答案】（1）10352-；
知识精讲
模块三：二次根式的运算
例题解析
（2）当0x >，0y >时，原式0=；当0x <，0y <时，原式=
（3）当2a ≥时，原式=
02a <<时，原式
【解析】（1）原式=--=
（2）原式=-
当0x >，0y >时，原式((0=-=，
当0x <，0y <时，原式((=---=
（3）原式=
当2a ≥时，原式=
当02a <<时，原式=
【总结】本题考查了二次根式的化简和计算，注意对字母取值范围的讨论．
【例15】 计算下列各式：
（1⎛ ⎝；
（2）3⎛ ⎝．
【答案】（1）2）0．
【解析】（1）原式23226b b a ⎛=-⋅⋅== ⎝；
（2）原式3=31
3232xy x x y x
=⋅-⋅220x y x y =-=． 【总结】本题考查了二次根式的化简和计算．
【例16】 将下列式子分母有理化： （1
（2
（3
．
【答案】（1
）11+2
3）2x -．
【解析】（1
）原式
2
11
=
=
=+
；
（2
）原式
2
x +
===
；
（3）原式
=
2x x x =-
=-．
【总结】本题考查了二次根式的化简和计算．
【例
17】 计算下列各式：
（1）⎛⎫
÷
；
（2()
4a b
+
；
（3
）
+． 【答案】（1
+；（2
3）0．
【解析】（1
）原式
=
=
=
=
=；
（2
）原式
(
)2
1
=
+=
=
（3）原式
=
1=-+
1110=
-=-=
【总结】本题考查了二次根式的化简和计算．
【例18】
已知：
x y =
【解析】∵3
x =-，3y =
=-
∴x y +=-1xy =-，
∴=
=．
【总结】本题考查了二次根式的化简和代入求值．
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【习题1】 求下列二次根式中字母的取值范围
（1）134x x
++
-；
（2）2
(2)1
x x -+；
（3）
3
32
x
x -+； （4）22x x -+-．
【答案】（1）34x -≤<；（2）1x >-；（3）2x ≠-；（4）2x =． 【解析】（1）由题意得30
40x x +≥⎧⎨-<⎩
，解得34x -≤<；
（2）由题意得10x +>，解得1x >-； （3）由题意得20x +≠，解得2x ≠-；
（4）由题意得20
20
x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得2x =．
【总结】本题考查了二次函数有意义的条件． 【习题2】 满足等式
2
2
x
x x x =--成立的x 的取值范围是_______．
【答案】2x >．
【解析】由题意得0
20x x ≥⎧⎨->⎩
，解得2x >．
【总结】本题考查了二次函数有意义的性质． 【习题3】 已知
()
22
39
1
01
3x y x x y x -+-+=++，求
的值． 【答案】2．
【解析】由题意得：290
3030
x x y x ⎧-=⎪
-=⎨⎪+≠⎩
，解得31x y =⎧⎨=⎩，代入得1312111x y ++==++．
【总结】本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零列
式是解题的关键
【习题4】 若最简根式321a +与243a --是同类根式，则2a =_________． 【答案】2．
随堂检测
【解析】由题意得：2143a a +=-，解得2a =2． 【总结】本题考查了同类根式的概念．
【习题5】 化简二次根式：已知a =
【答案】3
【解析】原式221a a =-++3a =+
把a =3=+
【总结】本题考查了二次根式的化简及代入求值．
【习题6】 若224250a b a b +--+=
【答案】3．
【解析】由224250a b a b +--+=，得：()()2
2
210a b -+-=，∴2a =，1b =，
21
321
+=
=-． 【总结】本题考查了非负数的性质及代入求值． 【习题7】 化简：
（1
（2
【答案】（1）3-21．
【解析】（13=-
（21=
．
【总结】本题考查了二次根式的化简． 【习题8】 化简下列各式．
（1
（2）2-；
（3
）1(102(0)3m m >；
（4
()370,0a m ⎛<< ⎝． 【答案】（1
；（2
）3
）4
） 【解析】（1
）原式==
（2
）原式2⎛=-- ⎝⎝
=
= （3
）原式(22=
-=；
（4
）原式=
∵0a <，0m <
，∴原式=-
=
【总结】本题考查了二次根式的计算．
【习题9】 把下列各式分母有理化：
（1
)a b ≠；
（2
；
（3
-
．
【答案】（1
2
；（3
）．
【解析】（1
）原式
=
=
-；
（2）原式
2
=
=
；
（3）原式(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)(
)
(
)()
2
5
31
3
53
23
31
31
53
53
2323
-++=
-
-
+--+-+
()
155********-+=
--+17583
2
++=-
． 【总结】本题考查了二次根式的化简． 【习题10】 已知：2323
a -=+，2323
b +=
-，求225a ab b -+的值．
【答案】189． 【解析】由题意得2374323
a -=
=-+，2374323
b +=
=+-，∴14a b +=，1ab =，
∴()2
22257147189a ab b a b ab -+=+-=-=．
【总结】本题考查了二次根式的化简及代入求值．
【习题11】 已知1x a x
+
=，求1
x x
+
的值． 【答案】22a -．
【解析】∵1x a x +=，两边同时平方得212x a x ++=，∴21
2x a x +=-．
【总结】本题考查了二次根式的化简及代入求值．
【作业1】 若710a b -++=，则2a b +=_____________． 【答案】43．
【解析】∵710a b -++=，∴70
10
a b -=⎧⎨+=⎩，
课后作业
∴71
a b =⎧⎨=-⎩
= 【总结】本题考查了非负数的性质，根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零列 式是解题的关键．
【作业2】
若最简根式2a
____；b =_____．
1．
【解析】由题意得2234326a b a b a b +=+⎧⎨+=-+⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩
，
∴=1b =．
【总结】本题考查了同类根式的概念．
【作业3】 下列结论正确的是( )
A
是最简二次根式；
B
1=-
C
；
D ．不等式(21
x >的解集是(2x >-+．
【答案】A ． 【解析】B
1=，所以错误；
C
D 选项不等式(21x
->的解集是(2x <-+，所以错误．
【总结】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简及计算．
【作业4】 已知a 、b 分别为等腰三角形的两条边长，且a
、b 满足
4b =
【答案】10．
【解析】由题意得：360a -≥且20a -≥，解得：2a ≥且2a ≤，则2a =，∴4b =，
∵224+=，∴2、2、4不能组成三角形，
∴此三角形的周长为24410++=．
【总结】本题考查了二次根式有意义的条件、三角形三边关系和等腰三角形的性质，掌握二
次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
【作业5】 计算．
（1）3
（2）-．
【答案】（1）当0x >，0y >时，原式(4x y =-+
当0x <，0y <时，原式(4x y =-+-
（2）．
【解析】（1）原式=由题意得0xy >同号，
当0x >，0y >时，原式=(4x y =-+
当0x <，0y <时，原式=-(4x y =-+-
（2）原式⎛=- ⎝==． 【总结】本题考查了二次根式的计算． 【作业6】 计算．
（1
（2⎛ ⎝．
【答案】（1）2）
【解析】（1）原式=3122⎛=⨯ ⎝34=⨯=
（2）原式22362b b a ⎛=-⋅⋅ ⎝== 【总结】本题考查了二次根式的计算．
【作业7】 计算．
（1
+
；
（2
4-÷． 【答案】（1
）2-；（2）1． 【解析】（1
）原式
2
413
+-=
(
2
21
3
=
--+
2=--
2
=-；
（2
）原式=
234
2
+
-=
32=-+1=．
【总结】本题考查了二次根式的化简及计算．
【作业8】 化简求值：2222
2a
ab b a b ++-，其中
a =
，
b = 【答案】
【解析】1a =
=，1b ，
()()()2
2222
2a b a ab b
a b
a b a b a b a b
+
+++==-+--，把1a =，1b
=+代入得
原式=
=
【总结】本题考查了二次根式的化简及代入求值．。