2022年四川省绵阳市中考数学试卷(含答案与解析)

2022年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求．
1．−√7的绝对值是（ ） A ．−√7 B ．√7
C ．−
√7
7
D ．
√77
2．如图所示几何体是由7个完全相同的正方体组合而成，它的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．中国共产主义青年团是中国青年的先锋队，是中国共产党的忠实助手和可靠后备军．截至2021年12月31日，全国共有共青团员7371.5万名，将7371.5万用科学记数法表示为（ ） A ．0.73715×108 B ．7.3715×108 C ．7.3715×107 D ．73.715×106
4．下列关于等边三角形的描述不正确的是（ ） A ．是轴对称图形 B ．对称轴的交点是其重心 C ．是中心对称图形
D ．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
5．某中学青年志愿者协会的10名志愿者，一周的社区志愿服务时间如表所示：
时间/h 2 3 4 5 6 人数
1
3
2
3
1
关于志愿者服务时间的描述正确的是（ ） A ．众数是6 B ．平均数是4
C ．中位数是3
D ．方差是1
6．在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，将“雪花”图案（边长为4的正六边形ABCDEF ）放在平面直角坐标系中，若AB 与x 轴垂直，顶点A 的坐标为（2，﹣3），则顶点C 的坐标为（ ）
A ．（2﹣2√3，3）
B ．（0，1+2√3）
C ．（2−√3，3）
D ．（2﹣2√3，2+√3）
7．正整数a 、b 分别满足√533
＜a ＜√983
、√2＜b ＜√7，则b a ＝（ ）
A ．4
B ．8
C ．9
D ．16
8．某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环保小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验．甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ） A ．1
4
B ．1
6
C ．1
8
D ．
1
16
9．如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间
是圆柱（单位：mm ）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要多少千克锌？（π的值取3.14）（ ）
A ．282.6
B ．282600000
C ．357.96
D ．357960000
10．如图1，在菱形ABCD 中，∠C ＝120°，M 是AB 的中点，N 是对角线BD 上一动点，设DN 长为x ，线段MN 与AN 长度的和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，图象右端点F 的坐标为（2√3，3），则图象最低点E 的坐标为（ ）
A ．（2√3
3
，2） B ．（
2√3
3
，√3） C ．（
4√3
3
，√3） D ．（√3，2）
11．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象关于直线x ＝1对称，与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点．若﹣2＜x 1＜﹣1，则下列四个结论：①3＜x 2＜4；②3a +2b ＞0；③b 2＞a +c +4ac ；④a ＞c ＞b ，正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°，若AH＝2，AD＝5+√3，则四边形EFGH的周长为（）
A．4（2+√6）B．4（√2+√3+1）C．8（√2+√3）D．4（√2+√6+2）
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．因式分解：3x3﹣12xy2＝＿＿＿＿＿＿．
14．方程x
x−3=
x+1
x−1
的解是＿＿＿＿＿＿．
15．两个三角形如图摆放，其中∠BAC＝90°，∠EDF＝100°，∠B＝60°，∠F＝40°，DE与AC交于点M，若BC∥EF，则∠DMC的大小为＿＿＿＿＿＿．
16．如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A处测得海岛上观测点D位于北偏东15°方向上，观测点C位于北偏东45°方向上．航行半个小时到达B点，这时测得海岛上观测点C位于北偏西45°方向上，若CD与AB平行，
则CD ＝＿＿＿＿＿＿海里（计算结果不取近似值）．
17．已知关于x 的不等式组{2x +3≥x +m
2x+5
3
−3＜2−x
无解，则1
m
的取值范围是＿＿＿＿＿＿．
18．如图，四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，AC ⊥BC ，∠ABC ＝45°，AC 与BD 交于点E ，若AB ＝2√10，CD ＝2，则△ABE 的面积为＿＿＿＿＿＿．
三、解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（1）计算：2tan60°+|√3−2|+（12022
）﹣
1−
√12
2
；
（2）先化简，再求值：（x−y x
−
x−3y x−y
）÷x+y
x−y ，其中x ＝1，y ＝100．
20．目前，全球淡水资源分布不均、总量不足是人类面临的共同问题．某市在实施居民用水定额管理前，通过简单随机抽样对居民生活用水情况进行了调查，获得了若干个家庭去年的月均用水量数据（单位：t ），整理出了频数分布表，频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下：
月均用水量（t ） 2≤x ＜3.5 3.5≤x ＜5 5≤x ＜6.5 6.5≤x ＜8 8≤x ＜9.5
频数 7 6 对应的扇形区
域
A
B
C
D
E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图，并求出扇形图中扇形E 对应的圆心角的度数；
（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使该市60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？并说明理由．
21．某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
水果品种 梨子 菠萝 苹果 车厘子 批发价格（元
/kg ） 4
5
6
40
零售价格（元
/kg ） 5 6 8 50
请解答下列问题：
（1）第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg ，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
（2）第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg ，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
22．如图，一次函数y ＝k 1x +b 与反比例函数y =k
2x 在第一象限交于M （2，8）、N 两点，NA
垂直x 轴于点A ，O 为坐标原点，四边形OANM 的面积为38． （1）求反比例函数及一次函数的解析式；
（2）点P 是反比例函数第三象限内的图象上一动点，请简要描述使△PMN 的面积最小时点P 的位置（不需证明），并求出点P 的坐标和△PMN 面积的最小值．
̂的中点，过点D作⊙O的切线23．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧BC
与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：BC∥PF；
（2）若⊙O的半径为√5，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求△DCP的面积．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶
点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
25．如图，平行四边形ABCD 中，DB ＝2√3，AB ＝4，AD ＝2，动点E 、F 同时从A 点出发，点E 沿着A →D →B 的路线匀速运动，点F 沿着A →B →D 的路线匀速运动，当点E ，F 相遇时停止运动．
（1）如图1，设点E 的速度为1个单位每秒，点F 的速度为4个单位每秒，当运动时间为2
3秒时，设CE 与DF 交于点P ，求线段EP 与CP 长度的比值；
（2）如图2，设点E 的速度为1个单位每秒，点F 的速度为√3个单位每秒，运动时间为x 秒，△AEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并指出当x 为何值时，y 的值最大，最大值为多少？
（3）如图3，H 在线段AB 上且AH =1
3HB ，M 为DF 的中点，当点E 、F 分别在线段AD 、AB 上运动时，探究点E 、F 在什么位置能使EM ＝HM ，并说明理由．
参考答案与解析
1. B
【解析】−√7的绝对值是√7， 故选：B ． 2. D
【解析】从上向下看，可得如图：
故选：D ． 3. C
【解析】7371.5万＝7371.5×104＝7.3715×107； 故选：C ． 4. C
【解析】A ：等边三角形是轴对称图形，正确，不符合题意 B ：等边三角形的对称轴的交点是其重心，正确，不符合题意 C ：等边三角形不是中心对称图形，符合题意
D ：等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，正确，不符合题意 故选：C ． 5. B
【解析】这组数据出现次数最多的是3和5，分别出现3次，所以众数是3和5，因此选项A 不符合题意； 这组数据的平均数为
2×1+3×3+4×2+5×3+6×1
10
=4，因此选项B 正确，符合题意；
将这10个数据从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为4+42
=4，因此选项C 不
符合题意； 这组数据的方差为
110
×[（2﹣4）2+（3﹣4）2×3+（4﹣4）2×2+（5﹣4）2×3+（6﹣4）2]＝
1.4，因此选项D 不符合题意； 故选：B ． 6. A
【解析】如图，连接BD 交CF 于点M ，则点B （2，1），
在Rt △BCM 中，BC ＝4，∠BCM =1
2
×120°＝60°， ∴CM =1
2
BC ＝2，BM =
√3
2
BC ＝2√3，
∴点C 的横坐标为﹣（2√3−2）＝2﹣2√3，纵坐标为1+2＝3， ∴点C 的坐标为（2﹣2√3，3）， 故选：A ． 7. D
【解析】∵√533
＜√643
＜√983
，√2＜√4＜√7， ∴a ＝4，b ＝2． ∴24＝16． 故选：D ． 8. A
【解析】根据题意画树状图如图所示，
由树状图可知，共有16种等可能的情况，其中甲乙两名同学恰好在同一岗位体验的情况共有4种，
∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为4
16=
1
4
．
故选：A．
9. A
【解析】由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.3m，
圆锥的高为0.4m，
则圆锥的母线长为：√0.32+0.42=0.5m．
∴圆锥的侧面积S1＝π×0.3×0.5＝0.15π（m2），
∵圆柱的高为1m．
圆柱的侧面积S2＝2π×0.3×1＝0.6π（m2），
∴浮筒的表面积＝2S1+S2＝0.9π（m2），
∵每平方米用锌0.1kg，
∴一个浮筒需用锌：0.9π×0.1kg，
∴1000个这样的锚标浮筒需用锌：1000×0.9π×0.1＝90π≈282.6（kg）．故选：A．
10. C
【解析】如图，连接AC，NC，
∵四边形ABCD 是菱形，∠BCD ＝120°，
∴AB ＝BC ，AC 垂直平分BD ，∠ABC ＝60°，∠ABD ＝∠DBC ＝30°，
∴AN ＝CN ，△ABC 是等边三角形，
∴AN +MN ＝CN +MN ，
∴当点N 在线段CM 上时，AN +MN 有最小值为CM 的长，
∵点F 的坐标为（2√3，3），
∴DB ＝2√3，AB +BM ＝3，
∵点M 是AB 的中点，
∴AM ＝BM ，CM ⊥AB ，
∴2BM +BM ＝3，
∴BM ＝1，
∵tan ∠ABC ＝tan60°=CM BM =√3，
∴CM =√3，
∵cos ∠ABD ＝cos30°=
BM BN′=√32， ∴BN '=2√33
， ∴DN '=4√33，
∴点E 的坐标为：（
4√33，√3），
故选：C ．
11. B
【解析】∵对称轴为直线x ＝1，﹣2＜x 1＜﹣1，
∴3＜x2＜4，①正确，
∵−b
2a
=1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+2b＝3a﹣4a＝﹣a，
∵a＞0，
∴3a+2b＜0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
由题意可知x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴a+c＜0，
∴b2﹣4ac＞a+c，
∴b2＞a+c+4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c＜0，
∴a＞c，
∵a﹣b+c＜0，b＝﹣2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，
∴b＝﹣2a，
∴b＞c，
所以④错误；
故选：B．
12. A
【解析】如图1，
Rt△PMN中，∠P＝15°，NQ＝PQ，∠MQN＝30°，
设MN＝1，则PQ＝NQ＝2，MQ=√3，PN=√6+√2，
∴cos15°=√6+√2
4，tan15°＝2−√3，
如图2，
作EK⊥FH于K，作∠AHR＝∠BFT＝15°，分别交直线AB于R和T，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C，
在△AEH与△CGF中，
{AE=CG ∠A=∠C AH=CF
，
∴△AEH≌△CGF（SAS），
∴EH＝GF，
同理证得△EBF≌△GDH，则EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形，
设HK＝a，则EH＝2a，EK=√3a，
∴EF=√2EK=√6a，
∵∠EAH＝∠EBF＝90°，
∴∠R＝∠T＝75°，
∴∠R＝∠T＝∠HEF＝75°，
可得：FT=
BF
cos15°
=3+√3
√6+√2
4
=2√6，AR＝AH•tan15°＝4﹣2√3，△FTE∽△ERH，
∴FT
ER =
EF
EH
，
∴2√6ER =√62
， ∴ER ＝4，
∴AE ＝ER ﹣AR ＝2√3，
∴tan ∠AEH =2√3=√3
3， ∴∠AEH ＝30°，
∴HG ＝2AH ＝4，
∵∠BEF ＝180°﹣∠AEH ﹣∠HEF ＝75°，
∴∠BEF ＝∠T ，
∴EF ＝FT ＝2√6，
∴EH +EF ＝4+2√6=2（2+√6），
∴2（EH +EF ）＝4（2+√6），
∴四边形EFGH 的周长为：4（2+√6），
故答案为：A ．
13. 3x （x +2y ）（x ﹣2y ）
【解析】原式＝3x （x 2﹣4y 2）
＝3x （x +2y ）（x ﹣2y ）．
故答案为：3x （x +2y ）（x ﹣2y ）．
14. x ＝﹣3
【解析】x x−3=x+1
x−1，
方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得
x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），
解得x ＝﹣3，
检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，
∴方程的解为x ＝﹣3．
故答案为：x ＝﹣3．
15. 110°
【解析】延长ED交CB的延长线于点G，
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵∠EDF＝100°，∠F＝40°，
∴∠E＝180°﹣∠F﹣∠EDF＝40°，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠G＝40°，
∴∠DMC＝180°﹣∠C﹣∠G＝110°，
故答案为：110°．
16.（5√3−5）
【解析】如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
由题意得：
AB＝20×1
2
=10（海里），∠F AD＝15°，∠F AC＝45°，∠F AB＝90°，∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠DAC＝∠F AC﹣∠F AD＝30°，
∠CAB＝∠F AB﹣∠F AC＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA＝90°，
在Rt△ACB中，AC＝AB•sin45°＝10×√2
2
=5√2（海里），
设DE＝x海里，
在Rt△ADE中，AE=
DE
tan30°
=
√3
3
=√3x（海里），
∵DC∥AB，
∴∠DCA ＝∠CAB ＝45°，
在Rt △DEC 中，CE =DE tan45°=x （海里），
DC =DE sin45°=√22=√2x （海里）， ∵AE +EC ＝AC ，
∴√3x +x ＝5√2， ∴x =5√6−5√22
， ∴DC =√2x ＝（5√3−5）海里，
故答案为：（5√3−5）．
17. 0＜1m ≤15
【解析】解不等式2x+3≥x+m ，得：x≥m ﹣3，
解不等式2x+5
3−3＜2﹣x ，得：x ＜2，
∵不等式组无解，
∴m ﹣3≥2，
∴m ≥5，
∴0＜1m ≤15，
故答案为：0＜1m ≤15．
18. 60
7
【解析】过点D 作DF ⊥AC 于点F ，
∵AC ⊥BC ，∠ABC ＝45°，
∴AC ＝BC =√22AB ＝2√5，
∵∠ADC ＝90°，CD ＝2，
∴AD =√AC 2−CD 2=4，
∵S △ACD =12AC ⋅DF =12AD ⋅CD ，
∴DF =45
√5， ∴AF =√AD 2−DF 2=85√5，
∴CF =25
√5， ∵DF ∥BC ，
∴△DEF ∽△BEC ，
∴EF EC =DF BC ，即25√5−EF =45
√52√5， ∴EF =4√535， ∴AE =127√5，
∴S △ABE =12AE ⋅BC =
12×127√5×2√5=607． 故答案为：
607．
19.（1）2024
（2）y
x ；100 【解析】（1）原式＝2×√3+2−√3+2022−
2√32 ＝2√3+2−√3+2022−√3
＝2024；
（2）原式＝[(x−y)(x−y)
x(x−y)−x(x−3y)
x(x−y)]÷x+y x−y
=x 2−2xy+y 2−x 2+3xy x(x−y)×x−y x+y
=xy+y 2x(x−y)×x−y x+y
=y(x+y)
x(x−y)×x−y x+y =y x ．
当x ＝1，y ＝100时．
原式＝100．
20.（1）频数分布直方图见解析；圆心角的度数为14.4°
（2）家庭月均用水量应该定为5吨；理由见解析
【解析】（1）抽取的总数为：7÷14%＝50，
B 的频数为：50×46%＝23，
C 的频数为：50×24%＝12，
频数分布直方图如下：
扇形图中扇形E 对应的圆心角的度数为：360°×250
=14.4°； （2）要使60%的家庭收费不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下： 因为月平均用水量不超过5吨的有7+23＝30（户），30÷50＝60%．
21.（1）500元
（2）方案1：购进88kg 菠萝，210kg 苹果；
方案2：购进94kg 菠萝，205kg 苹果．
【解析】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg ，苹果ykg ，
依题意得：{x +y =3005x +6y =1700
， 解得：{x =100y =200
， ∴（6﹣5）x +（8﹣6）y ＝（6﹣5）×100+（8﹣6）×200＝500（元）．
答：这两种水果获得的总利润为500元．
（2）设购进mkg 菠萝，则购进1700−5m 6kg 苹果，
依题意得：{m ≥88(6−5)m +(8−6)×1700−5m 6
＞500， 解得：88≤m ＜100．
又∵m ，1700−5m 6均为正整数，
∴m 可以为88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案， 方案1：购进88kg 菠萝，210kg 苹果；
方案2：购进94kg 菠萝，205kg 苹果．
22.（1）反比例函数的解析式为y =
16x ；一次函数的解析式为y ＝﹣x +10 （2）见解析
【解析】（1）∵反比例函数y =k
2x 过点M （2，8）， ∴k 2＝2×8＝16，
∴反比例函数的解析式为y =16x ，
设N （m ，16m ），
∵M （2，8），
∴S △OMB =12
×2×8=8， ∵四边形OANM 的面积为38，
∴四边形ABMN 的面积为30，
∴12（8+16m ）•（m ﹣2）＝30， 解得m 1＝8，m 2=−12（舍去），
∴N （8，2），
∵一次函数y ＝k 1x +b 的图象经过点M 、N ， ∴{2k 1+b =88k 1+b =2，解得{k 1=−1b =10
， ∴一次函数的解析式为y ＝﹣x +10；
（2）与直线MN 平行，且在第三象限与反比例函数y =16x 有唯一公共点P 时，△PMN 的面积最小，
设与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x+n，当与y=16
x在第三象限有唯一公共点时，
有方程﹣x+n=16
x（x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有两个相等的实数根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴与直线MN平行的直线的关系式为y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8=16
x的解为x＝﹣4，
经检验，x＝﹣4是原方程的解，
当x＝﹣4时，y=16
−4
=−4，
∴点P（﹣4，﹣4），
如图，过点P作AN的垂线，交NA的延长线于点Q，交y轴于点D，延长MB交PQ于点C，由题意得，
PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN＝S△MPC+S梯形MCQN﹣S△PNQ
=12×6×12+12（12+6）×6−12×12×6
＝36+54﹣36
＝54
答：点P（﹣4，﹣4），△PMN面积的最小值为54．
23.（1）证明见解析
（2）AE=3
（3）△DCP 的面积为45 【解析】（1）证明：连接OD ，如图，
∵D 为劣弧BC
̂的中点， ∴CD
̂=BD ̂， ∴OD ⊥BC ．
∵PF 是⊙O 的切线，
∴OD ⊥PF ，
∴BC ∥PF ；
（2）连接OD ，BD ，如图，
设AE ＝x ，则AD ＝1+x ．
∵D 为劣弧BC
̂的中点， ∴CD
̂=BD ̂， ∴CD ＝BD ，∠DCB ＝∠CAD ．
∵∠CDE ＝∠ADC ，
∴△CDE ∽△ADC ，
∴CD DE =AD CD ，
∴CD 2＝DE •AD ＝1×（1+x ）＝1+x ．
∴BD 2＝1+x ．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD2+BD2＝AB2．
∵⊙O的半径为√5，
∴AB＝2√5．
∴(1+x)2+(1+x)=(2√5)2，
解得：x＝3或x＝﹣6（不合题意，舍去），
∴AE＝3．
（3）连接OD，BD，设OD与BC交于点H，如图，
由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB=√1+3=2，∵∠ADB＝90°，
∴cos∠DAB=AD
AB
=4
2√5
=2√55．
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴cos∠ADO＝cos∠DAB=2√5 5．
∵OH⊥BC，
∴BH＝CH，cos∠ADO=DH DE，
∴DH＝DE×2√5
5
=2√55．
∴OH＝OD﹣DH=√5−2√5
5
=3√55．
∴BH=√OB2−OH2=4√5 5，
∴CH＝BH=4√5 5．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，∴四边形CHDP为矩形，
∴∠P＝90°，CP＝DH=2√5
5，DP＝CH=
4√5
5，
∴△DCP的面积=1
2
×CP•DP=45．
24.（1）y＝﹣x2+2x+3 （2）存在，P（0，﹣1）
（3）存在，M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（−1
3，
20
9
）
【解析】（1）∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入抛物线的解析式，
则﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠CAP+∠CBP＝180°，
∴点A ，C ，B ，P 四点共圆，如图所示，
由（1）知，OB ＝OC ＝3，
∴∠OCB ＝∠OBC ＝45°，
∴∠APC ＝∠ABC ＝45°，
∴△AOP 是等腰直角三角形，
∴OP ＝OA ＝1，
∴P （0，﹣1）．
（3）存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3，
∴D （1，4），
由抛物线的对称性可知，E （2，3），
∵A （﹣1，0），
∴AD ＝2√5，DE =√2，AE ＝3√2．
∴AD 2＝DE 2+AE 2，
∴△ADE 是直角三角形，且∠AED ＝90°，DE ：AE ＝1：3．
∵点M 在直线l 下方的抛物线上，
∴设M （t ，﹣t 2+2t +3），则t ＞2或t ＜0．
∴EF ＝|t ﹣2|，MF ＝3﹣（﹣t 2+2t +3）＝t 2﹣2t ，
若△MEF 与△ADE 相似，则EF ：MF ＝1：3或MF ：EF ＝1：3，
∴|t ﹣2|：（t 2﹣2t ）＝1：3或（t 2﹣2t ）：|t ﹣2|＝1：3，
解得t ＝2（舍）或t ＝3或﹣3或13（舍）或−13，
∴M 的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（−13，209）．
综上，存在点M ，使以M ，F ，E 三点为顶点的三角形与△ADE 相似，此时点M 的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（−13，
209）．
25.（1）49
（2）见解析
（3）见解析
【解析】（1）延长DF 交CB 的延长线于G ，
∵平行四边形ABCD 中，
∴CG ∥AD ，
∴∠A ＝∠GBF ，
∴△AFD ∽△BFG ，
∴AF FB =AD BG ，
∵运动时间为23秒，
∴AF =83，
∵AB ＝4，
∴BF =43，
∵AD ＝2，
∴BG ＝1，
∴CG ＝3，
∵AD ∥CG ，
∴EP PC =ED GC ，
∵AE =23，
∴ED =43，
∴EP PC =49； （2）当0≤x ≤2时，E 点在AD 上，F 点在AB 上，
由题意可知，AE ＝x ，AF =√3x ，
∵DB ＝2√3，AB ＝4，AD ＝2，
∴△ABD 是直角三角形，且∠A ＝60°，
过点E 作EH ⊥AB 交于H ，
∴EH ＝AE •sin60°=√32x ，
∴y =12×AF ×EH =12×√3x ×√32x =34x 2； 此时当x ＝2时，y 有最大值3；
当2≤x ≤4√33
时，E 点在BD 上，F 点在AB 上， 过点E 作EN ⊥AB 交于N ，过点D 作DM ⊥AB 交于M ， ∵AD +DE ＝x ，AD ＝2，
∴DE ＝x ﹣2，
∵BD ＝2√3，
∴BE ＝2√3−x +2，
在Rt △ABD 中，DM =√3，
∵EN ∥DM ，
∴
EN DM =BE BD ， ∴√3=√3−x 2√3
， ∴EN ＝1+√3−12x ，
∴y =12×AF ×EN =12×（√3x ）×（1+√3−12x ）=−√34x 2+32x +√32x ； 此时当x =
4√33时，y 有最大值2+2√33； 当4√33
≤x ≤2√3时，过点E 作EQ ⊥AB 交于Q ，过点F 作FP ⊥AB 交于P ， ∴AB +BF =√3x ，DA +DE ＝x ，
∵AB ＝4，AD ＝2，
∴BE ＝2√3−x +2，BF =√3x ﹣4，
∵PF ∥DM ，
∴BF BD =PF
DM ，即√3x−42√3=√3
，
∴PF=√3
2x﹣2，
∵EQ∥DM，
∴BE
BD =
EQ
DM
，即
√3+2−x
2√3
=
√3
，
∴EQ=√3+1−1
2x，
∴y=1
2
×AB×（EQ﹣PF）=12×4×（√3+1−12x−√32x+2）＝6+2√3−x−√3x；
此时当x=4√3
3时，y有最大值2+
2
3√3；
综上所述：当0≤x≤2时，y=3
4x
2；当2≤x≤4√3
3时，y=−
√3
4x
2+3
2x+
√3
2x；当
4√3
3
≤x≤2√3时，
y＝6+2√3−x−√3x；y的最大值为2+2
3√3；
（3）连接DH，
∵AH=1
3HB，AB＝4，
∴AH＝1，
∴DH⊥AB，
∵M是DF的中点，∴HM＝DM＝MF，∵EM＝HM，
∴EM=1
2DF，
∴△EDF是直角三角形，∴EF⊥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF∥BD．。