高高考数学三峡名校联盟高级考前诊断性试题参考答案(文史类).docx

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三峡名校联盟高2014级考前诊断性试题
数学（文史类）参考答案
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1---5：CDBAC 6---10：CADBA
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11、1- 12、 23π 13、112π 14、4- 15、13
三、解答题:本大题共6小题，共75分.解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
解：（1）111a S ==，2n ≥时，2n n S a =-，112n n S a --=-，∴111
(22
n n n n n a a a a a n --=-+⇒=≥且*)n N ∈，∵11a =，∴{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，则1
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
……………………………6分 （2）11122112log 12log ()212
n n n b b n -=+=+=- ……………………………………8分 令111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===-⋅-⋅+-+， ……………………………………10分 则111111[(1)()()]23352121n T n n =-+-++--+111(1)2212
n =-<+…………………………13分 17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）
解：（1）分数在[100,110)的频率为0.005100.05⨯=，由茎叶图知：分数在[100,110)
之间的频数为1，所以全班人数为1200.05
=， ………………………………3分 ∴分数在[120,130)之间的人数为20155-=人. ………………………………4分
所以[100,130)之间的人数为8人，则中位数必在[130,140)之间，恰为133134133.52
+= ………6分 （2）将[120,130)之间的5个分数编号为1,2,3,4,5， [100,110]之间的2个分数编号为6,7，在[110,130]之间的试卷中任取两份的基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7) ，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7),(4,5),(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)共21个． 其中，至少有一份在[110,120]之间的基本事件有11个。

…………………………………………11分 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是1121
． ………………………………………………13分 18、（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分） 解：（Ⅰ）()2cos(2)(sin cos )(sin cos )3
f x a b m x x x x x m π
=⋅-=+-+-+- cos2cos sin2sin cos2233x x x m ππ=+-+-31sin2cos2222x x m =-+-sin(2)26
x m π=-+- ……………4分 因为5,2412x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则22463x πππ-≤-≤，函数()f x 在264x ππ-=-时取得最小值 22222
m -+-=-解得2m =。

……………………………………………………6分 (2)由()1f A =且A 为锐角解得3
A π
= ……………………………………………………8分 又因为sin 2sin B C =,由正弦定理得2b c =， ……………………………………………………9分
又因为△ABC 的面积为3，所以1sin 32
ABC S bc A ∆==即4bc = ………………………10分 由①②解得22,2b c == ……………………………………………………………12分
又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得6a =
……………………………………………13分 19、（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
解：（1） PA ⊥底面ABCD ∴ PA ⊥AB ，PA ⊥CD
又AB AD ⊥，所以AB ⊥面PAD ，即AB ⊥PD ……………2分
又AC CD ⊥，所以CD ⊥面PAC ，即CD ⊥AE ……………3分
PA AB BC AC ===,E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC
∴AE ⊥面PCD ,即AE ⊥PD ………………………4分
∴PD ABE ⊥面 …………………………………………5分 (2)在底面ABCD 中过点C 作//CM AB 交AD 与点M,在三角形PAD 中过点M 作//MF PA 交PD 于点F ， 连接CF ∴//CMF PAB 面面 ∴ //
CF PAB 面 ……………………………………7分
在底面ABCD 中，30,90,CAD ACD CM AD ∠=︒∠=︒⊥,故DM 1124
CD DA ==，∴14DF DP = ………8分 所以在线段PD 上存在点F 满足14
DF DP =，使//CF PAB 面 ………………………………9分 因此，点F 是线段DP 靠近点D 的一个四等分点，则11312
D ACF F ACD ACD F ACD V V S h S PA --∆∆==⋅=
⋅……10分 因为△ABC 中，33AB BC ==且60ABC ∠=︒，所以33AC = 又在Rt △ACD 中，30,90,CAD ACD ∠=︒∠=︒33AC =,则3DC =， ………………………11分 所以19322
ACD S AC CD ∆=⋅=,则11932733121228D ACF F ACD ACD V V S PA --∆==⋅=⨯⨯= ……12分 20. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，/221()a x a f x x x x
-=-=…………………………………1分 ①当0a ≤时，/
()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增。

…………………………………………2分
②当0a >时，由/()0f x >得x a >，由/()0f x <得x a < 即()f x 在(,)a +∞上单调递增，(0,)a 上单调递减。

……………………………………………4分 （2）由（1）知/2()x a f x x
-=，又()f x 在2x =处取得极值，所以/(2)0f =，即2a =。

……5分 经检验知，2a =时，()f x 在2x =处取得极值。

……………………………………………………………………6分 则2()()4ln 5ln 2g x f x ax x x x x
=-+=-+
，/2252(21)(2)()2x x g x x x x --=--=-……………………………7分 令()0g x =得12x =或2x =，当1(0,)2x ∈时，/()0g x <；当1(,2)2x ∈时，/()0g x >； 当(2,)x ∈+∞时，/()0g x <。

则当(1,3)x ∈时，max ()(2)35ln 2g x g ==-+。

……………………………9分
对任意[]11,2x ∈，总存在2(1,3)x ∈，使得12()()h x g x ≤成立，，等价于max max ()()g x h x ≥………10分 而()h x 在[]1,2x ∈上的最大值为max{(1),(2)}h h ，则有
85ln 2(2)(1)35ln 2585ln 21(2)(2)35ln 282(115ln 2)2
m g h m m g h m m ≥-⎧≥-+≥-⎧⎧⎪⇒⇒⇒≥-⎨⎨⎨≥-+≥-≥-⎩⎩⎪⎩ ……………………11分 综上述，满足条件的m 的取值范围为85ln2m ≥-。

………………………………12分
21. （本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
解：（1）由题意知抛物线243y x =的焦点为(3,0)，则椭圆中3c =，
又由24a =且222
a b c =+，则2a =，1b =故椭圆方程是2
214
x y += …………………………4分 （2）因为0CD AB ⋅=，所以直线AB 垂直直线CD ，显然直线AB 斜率存在。

①当直线AB 斜率为0时，即//AB x 轴，此时23,2AB CD ==，1232
ABC S AB CD ∆=
⋅= ……5分 ②当直线AB 斜率不为0时，设直线:AB 1y kx =+，则直线CD ：11y x k =-+，所以圆心O (0,0)到直线AB 的距离21
1d k =+，所以直线AB 被圆2C 所截得的弦222243
241k AB d k +=-=+……7分 由2
21411x y y x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
得22(4)80k x kx +-=，所以△2640(0)k k =>≠恒成立，284C D k x x k +=+， ……8分 则22221811()()44
C D C D k CD x x x x k k +=++-=+ ………………………………9分 所以222211243812241
ABC k k S AB CD k k ∆++=⋅=⨯⨯++228434k k +=+ ………………………………10分 令243t k =+，则2234
t k -=，23t > 2283232321613133131321344
ABC t t S t t t t ∆===≤=-+++ ………………………………11分 当1313t t t
=⇒=，即21043132k k +=⇒=±时，等号成立。

综上述，△ABC 面积最大值为161313，此时直线AB 的方程为1012y x =±+ …………………12分。