湛江市名校联考2019-2020学年中考数学模拟试卷

湛江市名校联考2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PD⊥OA，垂足为点D，PD＝2，M为OP的中点，则点M到射线OB的距离为（）
A．1
2
B．1 C
D．2
2．如图，正方形ABCD边长为6，E是BC的中点，连接AE，以AE
为边在正方形内部作∠EAF=45°，边
交于点，连接，则下列说法中：①；②；③tan∠AFE=3；④.正确的有
( )
A.①②③
B.②④
C.①④
D.②③④
3．如图所示的几何体的主视图是（）
A
．B
．C ．D ．
4．如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则DE的长为（）
A．1
3
πB．
2
3
πC．
7
6
πD．
4
3
π
5．关于x的不等式组
23(3)1
32
4
x x
x
x a
<-+
⎧
⎪
⎨+
>+
⎪⎩
有三个整数解，则a的取值范围是( )
A．
59
24
a
-<-
…B．
59
24
a
-<<-
C．
59
24
a
--
剟D．
59
24
a
-<-
…
6．我们知道，如果一个矩形的宽与长之比为
12，那么这个矩形就称为黄金矩形．如图，已知A 、B 两点都在反比例函数y ＝k x
（k ＞0）位于第一象限内的图像上，过A 、B 两点分别作坐标轴的垂线，垂足分别为C 、D 和E 、F ，设AC 与BF 交于点G ，已知四边形OCAD 和CEBG 都是正方形．设FG 、OC 的中点分别为P 、Q ，连接PQ ．给出以下结论：①四边形ADFG 为黄金矩形；②四边形OCGF 为黄金矩形；③四边形OQPF 为黄金矩形．以上结论中，正确的是 （ ）
A ．①
B ．②
C ．②③
D ．①②③ 7．已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2x =，且经过点()3,0，则a b c ++的值（ ）
A ．等于0
B ．等于1
C ．等于1-
D ．不能确定
8．如图，AB 是⊙O 的直径，M 是⊙O 上一点，MN AB ⊥，垂足为N 、P 、Q 分别是·AM 、·BM
上一点（不与端点重合），如果MNP MNQ ∠=∠，下面结论：①12∠=∠；②180P Q ∠+∠=；③Q PMN ∠=∠；④PM QM =；⑤2MN PN QN =⋅．其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③⑤
C ．④⑤
D ．①②⑤
9．如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A （-2,4），B （4,2），直线y=kx-2与线段AB 有交点，则K 的值不可能是（ ）
A ．-5
B ．-2
C ．3
D ．5 10．下列计算正确的是（ ）
A.a 2⋅a 3＝a 6
B.a 6÷a 3＝a 2
C.（ab ）2＝ab 2
D.（﹣a 2）3＝﹣a 6
11．如图，在矩形ABCD 中，，点M 在边AD 上，连接BM ，BD 平分∠MBC ，则AM MD
的值为（ ）
A.1
2
B.2
C.
5
3
D.
3
5
12．下列计算结果为a2的是（）
A．a8÷a4（a≠0）B．a2•a
C．﹣3a2+（﹣2a）2D．a4﹣a2
二、填空题
13．如图，飞机于空中A处观测其正前方地面控制点C的俯角为30°，若飞机航向不变，继续向前飞行1000米至B处时，观测到其正前方地面控制点C的俯角为45°，那么该飞机与地面的高度是___米（保留根号）．
14．每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000105m，该数值用科学记数法表示为_______m．
15．三角形三边长分别为4，a，7，则a的取值范围是______________
16．81的算术平方根是_____．
17．如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B 随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是______；若将△ABP的PA边长改为
P到原点的最大距离变为______．
18．如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是_____．
三、解答题
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，分别交AC，AB的延长线于点E，F．
(1)求证：EF是⊙O的切线．
(2)①当∠BAC的度数为_____时，四边形ACDO为菱形；
②若⊙O的半径为5，AC=3CE，则BC的长为______．
20．《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空二人共车，九人步，问人与车各何？”译文大意为：令有若干人乘车，每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？
请解答上述问题．
21．为了掌握我区中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩(得分为整数，满分为130分)分为5组：第一组55∼70；第二组70∼85；第三组85∼100；第四组100∼115；第五组115∼130，统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含最大值)和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)本次调查共随机抽取了__ _名学生；
(2)补全频数分布直方图；
(3)将得分转化为等级，规定：得分低于70分评为“D”，70∼100分评为“C”，100∼11评为“B”，115∼130分评为“A”，根据目前的统计，请你估计全区该年级4500名考生中，考试成绩评为“B”级及其以上的学生大约有多少名?
22．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE是⊙O的切线，DF⊥AB于F，点G 是AB的中点
（1）求证：△ADE≌△ADF；
（2）若OF＝3，AB＝10，求图中阴影部分的面积．
23．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE．
（1）若∠D＝78°，求∠EAC的度数．
（2）若∠EAC＝α，则∠B的度数为（直接用含α的式子表示）
24．有一科技小组进行了机器人行走性能试验，在试验场地有A 、B 、C 三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A 、B 两点同时同向出发，历时7min 同时到达C 点，甲机器人前3分钟以a m/min 的速度行走，乙机器人始终以60m/min 的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y(m)与他们的行走时间x(min)之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
(1)A 、B 两点之间的距离是____m ，A 、C 两点之间的距离是____m ，a=____m/min ；
(2)求线段EF 所在直线的函数解析式；
(3)设线段FG ∥x 轴.
①当3≤x≤4时，甲机器人的速度为____m/min ；
②直接写出两机器人出发多长时间相距28m.
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线AC 解析为：122y x =
+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212
y x bx c =-++经过AC 两点，与x 轴的另一交点为点B 。

（1）求抛物线的函数解析式。

（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，过点D 作DM x ⊥轴，交AC 于点M 。

求DM 的长是多少
（3）连接BD 交AC 于点E ，求DE BE
的最大值。

【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．()
500
14．05×10－5
15．3<a<11
16．9
17．
18．16
三、解答题
19．（1）详见解析；（2）①60°；②8．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由等腰三角形的性质可得∠OAD＝∠ODA，由AD是角平分线可得∠DAE＝∠DAO，即可证明∠DAE＝∠ADO，可得OD//AE，根据AE⊥EF即可证明OD⊥EF，可得EF是⊙O的切线；（2）由菱形的性
质可得AC=OA，由AB是直径可得AB=2OA，∠ACB=90°，即可得出AC=1
2
AB，可得∠ABC=30°，进而可得
∠BAC=60°，可得答案；（3）由AB是直径可得∠ACB=90°，由DE⊥AC，OD⊥EF可证明四边形CEDG是矩形，DG＝CE，根据垂径定理及平行线分线段成比例定理可得OG=1.5CE，即可的OD=2.5CE，可求出CE 的长，进而可得AC的长，利用勾股定理求出BC的长即可.
【详解】
（1）如图，连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠EAF，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵AE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线.
（2）①连接CD
∵四边形ACDO为菱形；
∴AC=OA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，AB=2OA，
∴AC=1
2 AB，
∴∠ABC=30°，∴∠BAC=60°，
②设OD与BC交于G，∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵DE⊥AC，OD⊥EF，
∴四边形CEDG是矩形，∴DG＝CE，
∵OG⊥BC，
∴BG=CG，OG//AC，
∴OG＝1
2
AC
∵AC＝3CE，
∴OG＝1
2
AC＝1.5CE，
∴OD＝2.5CE＝5，
∴CE＝2，
∴AC＝6，
∵AB＝2×5＝10，
∴BC8．
故答案为：60°，8．
【点睛】
本题考查切线的判定、圆周角定理的讨论、垂径定理及菱形的性质，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；直径所对的圆周角等于90°；90°角所对的弦是直径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握相关性质和定理是解题关键.
20．有39人，15辆车
【解析】
【分析】
找准等量关系：人数是定值，列一元一次方程可解此题．
【详解】
解：设有x辆车，则有3（x﹣2）人，根据题意得：
2x+9＝3（x﹣2）
解的：x＝15
3（x﹣2）＝39
答：有39人，15辆车．
【点睛】
本题运用了列一元一次方程解应用题的知识点，找准等量关系是解此题的关键．
21．(1) 50；(2)见解析;(3) 1620.
【解析】
【分析】
（1）根据第三组的数据，用人数除以百分数得出结论即可；
（2）根据抽取的总人数减去前4组的人数，即可得到第五组的频数，并画图；
（3）用样本中考试成绩评为“B”级及其以上的学生数占抽取的总人数的百分比，乘上全区该年级4500名考生数，即可得出结论．
【详解】
解：（1）20÷40%=50名，
故答案为：50；
（2）50-4-8-20-14=4，
画图如下：
(3)(4+14)÷50×4500=1620.
答：估计全区该年级4500名考生中，考试成绩评为“B”级及其以上的学生大约有1620名．
【点睛】
本题主要考查了直方图和扇形图以及用样本估计总体的知识，根据直方图和扇形图中都有的数据求出抽取的学生总数是解决此题的关键．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
22．（1）详见解析；（2）2517
42
π+．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，证明DE∥BC，进而得∠E＝∠DFA＝∠ACB＝90°，由D是BC的中点得∠DAE＝∠DAF，再结合公共边，由AAS定理得结论；
（2）连接OD，OG，过O作OH⊥AC于H，过C作CK⊥OA于点K，由勾股定理求得 DF，便可得OH，再求AH，AK，再由相似三角形求得OM，最后求出扇形OAG，△OGM和△ACM的面积便可．
【详解】
（1）证明：连接OD，如图1，
∵点D是BC的中点，
∴∠DAF＝∠DAE，OD⊥BC，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE∥BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∵AD＝AD，
∴：△ADE≌△ADF（AAS）；
（2）连接OD，OG，过O作OH⊥AC于H，过C作CK⊥OA于点K，如图2，
则AH＝CH，∠GOA＝∠GOB＝90°，OA＝OB＝OD＝5，
∴OH＝DE＝DF
4
==，
∴CH＝AH
3 =，
∴BC
8 =，
∵
11
22
ABC
S AC BC AB CK
∆
==，
∴CK＝
24
5
AC BC
AB
=，
∴AK 18 5
∴OK＝OA﹣AK＝7
5
，
∵OG∥CK，
∴△OGM∽△KCM，
∴OG OM
CK KM
=，
即5
247
55
OM
OM
=
-
，
∴OM＝7
5
，
∴AM＝5﹣530
77 =，
∴
1302472
2757
ACM
S∆=⨯⨯=，
1525
5
2714
OGM
S∆=⨯⨯=，
∴
2525722517 =
414742
OGM ACM
OAG
S S S Sππ
∆∆
-+=-+=+
阴影扇形
【点睛】
本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，相似三角形的性质与判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．求阴影部分的面积常把阴影部分面积转化为易求图形面积的和差进行计算．
23．（1）∠EAC＝27°；（2）
180+2
3
α
．
【解析】
【分析】
（1）根据菱形的性质、圆内接四边形的性质以及三角形内角和定理计算即可；（2）设∠B的度数为x，仿照（1）的做法计算即可．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝51°，
∵AD∥BC，
∴∠ACE＝∠DAC＝51°，
∵四边形AECD是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC＝180°﹣78°＝102°，
∴∠EAC＝180°﹣102°﹣51°＝27°；
（2）设∠B的度数为x，
则∠DAC＝∠DCA＝180
2
x
︒-
，∠AEC＝180°﹣x，
则（180°﹣x）+180
2
x
︒-
+α＝180°，
解得，x＝180+2
3
α
︒
，
故答案为：180+2
3
α
︒
．
【点睛】
本题考查的是菱形的性质、圆周角定理，掌握菱形的四条边相等、对角相等以及圆周角定理是解题的关键．
24．(1)70；490；95；(2)y=35x-70；(3)①60；②两机器人出发1.2min、2.8min或4.6min时相距28m. 【解析】
【分析】
(1)根据图象可直接读出A、B两点间的距离；A、C两点间的距离=A、B两点间的距离+B、C两点间的距离，代入计算即得；先求出甲在2分钟所走的路程=70+60×2，根据速度=路程÷时间，即可求出a. (2)结合(1)中数据，计算1×(95-60)=35，所以可得点F(3，35)，设线段EF所在直线的函数解析式为
y=kx+b，然后将点E、F坐标代入解析式中，解出k 、b的值即得.
(3)①由线段FG∥x轴，可得在FG这段时间内甲、乙的速度相等，即得3≤x≤4时的速度.
②分三种情况讨论：当0≤x≤2时，根据70-甲行路程+乙行路程=28列出方程，解出即得；当2<x≤3时，甲行路程-70-乙行路程=28列出方程，解出即得；当4<x≤7时，先求出直线EF的解析式，然后令y=28，解出x即得.
【详解】
解：(1)由图象，得A、B两点之间的距离是70m，A、C两点间的距离为70+60×7=490(m)，
a=(70+60×2)÷2=95(m/min).
故答案为：70；490；95.
(2)解：由题意，得点F 的坐标为(3，35)，设线段EF 所在直线的函数解析式为y=kx+b ，把E 、F 的坐标
代入解析式，可得 20335
k b k b +=⎧⎨+=⎩ ， 解得 3570
k b =⎧⎨=-⎩ ， 即线段EF 所在直线的函数解析式是y=35x-70.
(3)①线段FG ∥x 轴，
∴在FG 这段时间内甲、乙的速度相等，
∴当3≤x≤4时，甲机器人的速度为60m/min.
②当0≤x≤2时，则70-(95-60)x=28，得x=1.2；
当2<x≤3时，则95x-70-60x=28，得x=2.8；
当4<x≤7时，设甲、乙两机器人之间的距离y(m)与他们的行走时间x(min)之间函数关系式为y=mx+n ，
354353,702453m m n m n n ⎧=-⎪+=⎧⎪⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩
解得， 即y=-3
35x+2453， 令y=28，得28=-
335x+2453，解得x=4.6， 答：两机器人出发1.2min 、2.8min 或4.6min 时相距28m.
【点睛】
此题考查二元一次方程的解和函数图象，解题关键在于看懂图中数据
25．（1）213222y x x =-
-+； （2）DM 的长为2； （3）当2a =-时，DE BE 的值最大，最大值是45 【解析】
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）先设21
3(,2)22D a a a --+，则得到21312(2)222
DM a a a =--+-+，再用求根公式，结合二次函数的性质，即可解答；
（3）由相似三角形的性质得到DE DM BE BN
=，再结合题意即可得到答案. 【详解】
（1）根据题意，得(40),(0,2)A -，
∵抛物线212
y x bx c =-++经过点AC 两点 ∴1164022
b c c ⎧-⨯-+=⎪⎨⎪=⎩ 解得：322
b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
∴抛物线的函数解析式为213222
y x x =-
-+； （2）如图
设213(,2)22
D a a a --
+ 则1(,2)2
M a a + ∴21312(2)222
DM a a a =--+-+ 2122
a a =-- 2212()2
a -=-=-⨯- ∵40<a<-
∴当2a=-时，DM 最大，
22112(2)2(2)22
DM a a =--=-⨯--⨯- 1442422=-⨯+=-+= ∴DM 的长为2；
（3）过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，
则DM BN ∥，易证DME BNE ∆∆∽ ∴
DE DM BE BN
= 易得1,0B （） ∴5
1,2N （），∴52
BN = ∴2212142(2)555
2
a a DE DM a BE BN --===-++ ∴当2a =-时，DE BE 的值最大，最大值是45， 【点睛】
本题考查求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判断与性质，解题的关键是熟练掌握求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判断与性质.。