浙江省杭州市中考数学模拟命题比赛试卷(4)(含解析)

2016年浙江省杭州市中考数学模拟命题比赛试卷（4）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数的相反数是（）
A．﹣5 B．C．﹣ D．5
2．函数中自变量x的取值范围是（）
A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＜2 D．x＜﹣2
3．如图是由相同小正方体组成的立体图形，它的左视图为（）
A．B．C．D．
4．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7，从中随机摸出一个小球，其标号大于3的概率为（）
A．B．C．D．
6．小兰画了一个函数y=的图象如图，那么关于x的分式方程=2的解是（）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O、C的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点B的坐标是（）
A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）
8．一个正奇数的算术平方根是a，那么与这个正奇数相邻的下一个正奇数的算术平方根是（）
A．a+2 B．a2+2 C． D．
9．如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，则∠ACB和∠AEB之和为（）
A．45° B．90° C．60° D．75°
10．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．分解因式x（x+4）+4的结果．
12．一个等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个角应该为．
13．关于x的一元二次方程﹣x2+（2k+1）x+2﹣k2=0有实数根，则k的取值范围是．14．一个数值转换器如左图所示，根据要求回答问题：要使输出值y大于100，输入的最小正整数x为．
15．具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作，已知+
=，如下图所示：如果=， =，则=+，若D为AB的中点， =，若BE
为AC上的中线，则用，表示为．
16．如图，A、M是反比例函数图象上的两点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．BM：DM=8：9，当四边形OADM的面积为
时，k= ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简代数式，再从﹣4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
18．在△ABC中，已知AB=1，AC=，∠ABC=45°，求△ACB的面积．
19．2010年春季以来，我国西南地区遭受了严重的旱情，某校学生会自发组织了“保护水资源从我做起”的活动．同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况．以下是根据调查结果作出的统计图的一部分．
请根据以上信息解答问题：
（1）补全图1和图2；
（2）如果全校学生家庭总人数约为3000人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量．
20．用尺规作图的方法（作垂线可用三角板）找出符合下列要求的点．（保留作图痕迹）（1）在图1中的直线m上找出所有能与A，B两点构成等腰三角形的点P，并用P1，P2…等表示；
（2）在图2中的直线m上找出所有能与A，B两点构成直角三角形的点Q，并用Q1，Q2…等表示；
21．如图，矩形OABC中，点A，点C分别在x轴，y轴上，D为边BC上的一动点，现把△OCD沿OD对折，C点落在点P处．已知点B的坐标为（2，2）．
（1）当D点坐标为（2，2）时，求P点的坐标；
（2）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，设点P经过的路径长度为l，求l的值；（3）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，若点P落在同一条直线y=kx+4上的次数为2次，请直接写出k的取值范围．
22．某公司开发了一种新型的家电产品，又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资40万元用于该产品的广告促销，已知该产品的本地销售量y1（万台）与本地的广告费用x（万元）
之间的函数关系满足y1=．该产品的外地销售量y2（万台）与外地广
告费用t（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB来表示．其中点A为抛物线的顶点．
（1）结合图象，求出y2（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系式；
（2）求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；
（3）如何安排广告费用才能使销售总量最大？
23．如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
2016年浙江省杭州市中考数学模拟命题比赛试卷（4）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．的倒数的相反数是（）
A．﹣5 B．C．﹣ D．5
【考点】倒数；相反数．
【分析】先根据倒数的定义得到﹣的倒数为﹣5，再根据相反数的定义求﹣5的相反数即可．
【解答】解：∵﹣的倒数为﹣5，﹣5的相反数为5，
∴的倒数的相反数是5．
故选D．
2．函数中自变量x的取值范围是（）
A．x≥2 B．x≥﹣2 C．x＜2 D．x＜﹣2
【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【解答】解：依题意，得x+2≥0，
解得x≥﹣2，
故选B．
3．如图是由相同小正方体组成的立体图形，它的左视图为（）
A．B．C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从左面看可得到左边第一竖列为3个正方形，第二竖列为2个正方形，故选A．4．如图，已知⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E是弧AD上任意一点，则∠BEC的度数为（）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【考点】圆周角定理．
【分析】首先连接OB，OC，由⊙O是正方形ABCD的外接圆，即可求得∠BOC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BEC 的度数．
【解答】解：连接OB，OC，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠BOC=90°，
∴∠BEC=∠BOC=45°．
故选B．
5．在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7，从中随机摸出一个小球，其标号大于3的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】由在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有7个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，6，7，
∴从中随机摸出一个小球，其标号大于3的概率为：．
故选C．
6．小兰画了一个函数y=的图象如图，那么关于x的分式方程=2的解是（）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【考点】反比例函数的图象．
【分析】关于x的分式方程=2的解就是函数y=中，纵坐标y=2时的横坐标x
的值，据此即可求解．
【解答】解：由图可知当x=3时，y=0，即=0，
解得a=3，
当=2时，
解得x=1．
故选A．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形OACB的顶点O、C的坐标分别是（0，0），（2，0），则顶点B的坐标是（）
A．（1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）
【考点】坐标与图形性质；正方形的性质．
【分析】此题根据坐标符号即可解答．
【解答】解：由图中可知，点B在第四象限．各选项中在第四象限的只有C．故选C．
8．一个正奇数的算术平方根是a，那么与这个正奇数相邻的下一个正奇数的算术平方根是（）
A．a+2 B．a2+2 C． D．
【考点】算术平方根．
【分析】先依据算术平方根的定义求得这个正奇数，然后再求得它相邻的下一个正奇数，最后再求其算术平方根即可．
【解答】解：∵一个正奇数的算术平方根是a，
∴这正奇数=a2．
∴它相邻的下一个正奇数为a2+2．
∴这个正奇数相邻的下一个正奇数的算术平方根是．
故选：C．
9．如图，在△ABC中，AC=BC，CD是AB边上的高线，且有2CD=3AB，又E，F为CD的三等分点，则∠ACB和∠AEB之和为（）
A．45° B．90° C．60° D．75°
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．
【分析】先设AD=x，由于AC=BC，CD是AB边上的高线，可知BD=x，且CD是AB的垂直平分线，利用2CD=3AB，易求CD=3x，再利用垂直平分线的定理易求∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，而E、F是三等分点，那么CE=EF=DF=x，易证△DBF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可
求BF=x，可求=，而夹角相等易证△EFB∽△BFC，那么有∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠
FBC，结合三角形外角的性质易证∠ACB+∠AEB=90°．
【解答】解：如右图所示，先设AD=x，
∵AC=BC，CD是AB边上的高线，
∴BD=AD=x，CD是AB的垂直平分线，
又∵2CD=3AB，AE=BE，AF=BF，
∴CD=3x，∠ACB=2∠BCE，∠AEB=2∠BEF，
又∵E、F是三等分点，
∴CE=EF=DF=x，
∴DF=DB，
又∵∠CDB=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴∠DFB=45°，BF=x，
∴=， ==，
∴=，
又∵∠EFB=∠BFC，
∴△EFB∽△BFC，
∴∠FBE=∠BCF，∠FEB=∠FBC，
又∵∠DFB=∠FBE+∠FEB=∠FCB+∠FBC，
∴45°=∠FBE+∠FEB，
∴90°=2∠FBE+2∠FEB=2∠BCF+2∠FBC，
∴∠ACB+∠AEB=90°．
故选B．
10．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则b=（）
A．B．C．D．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为（a+b），右图是一个长方形，长宽分别为（b+a+b）、b，并且它们的面积相等，由此即可列出等式（a+b）2=b（b+a+b），而a=1，代入即可得到关于b的方程，解方程即可求出b．
【解答】解：依题意得（a+b）2=b（b+a+b），
而a=1，
∴b2﹣b﹣1=0，
∴b=，而b不能为负，
∴b=．
故选B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．分解因式x（x+4）+4的结果（x+2）2．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】先将多项式展开，再利用完全平方公式进行因式分解．
【解答】解：x（x+4）+4，
=x2+4x+4，
=（x+2）2．
12．一个等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个角应该为80°，80°，20°或80°，50°，50°．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】先求出与这个外角相邻的内角的度数，再根据等腰三角形两底角相等分情况讨论求解．
【解答】解：∵一个外角等于100°，
∴与这个外角相邻的内角是180°﹣100°=80°，
①80°角是顶角时，底角是=50°，
三角形的三个角是50°，50°，80°；
②80°角是底角时，顶角是180°﹣80°×2=20°，
三角形的三个角是80°，80°，20°，
综上所述，这个三角形的三个内角分别是：50°，50°，80°或80°，80°，20°．
故答案为：80°，80°，20°或80°，50°，50°．
13．关于x的一元二次方程﹣x2+（2k+1）x+2﹣k2=0有实数根，则k的取值范围是k≥．
【考点】根的判别式．
【分析】由于已知方程有实数根，则△≥0，由此可以建立关于k的不等式，解不等式就可以求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知△=（2k+1）2+4（2﹣k2）=4k+9≥0，∴k≥．
14．一个数值转换器如左图所示，根据要求回答问题：要使输出值y大于100，输入的最小正整数x为21 ．
【考点】代数式求值．
【分析】根据数值转换器的运算顺序，分两种情况讨论：x是奇数或x是偶数，综合得出结果．
【解答】解：根据程序，可知：设x是奇数，则y=5x＞100
解得x＞20，即x的最小正整数是21
设x是偶数，则y=3x+35＞100
解得x＞，即x的最小正整数是22
综合两种情况，x的最小值是21．
15．具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作，已知+
=，如下图所示：如果=， =，则=+，若D为AB的中点， =，若BE 为AC上的中线，则用，表示为+．
【考点】*平面向量．
【分析】根据向量减法的三角形法则可知=﹣，即可用，表示．
【解答】解：∵=﹣，
∴=+﹣=+．
故答案为： +．
16．如图，A、M是反比例函数图象上的两点，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．BM：DM=8：9，当四边形OADM的面积为
时，k= 6 ．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】首先根据四边形OADM的面积为，BM：DM=8：9，及反比例系数k的几何意义求
出△OBM的面积，从而得出k的值．
【解答】解：∵MB∥x轴，AC∥y轴，
∴OBDC是矩形．
∵BM：DM=8：9，
∴BM：BD=8：17，
∴△OBM的面积：矩形OBDC的面积=4：17．
∵△OBM的面积=△OAC的面积
∴△OBM的面积：[矩形OBDC的面积﹣（△OBM的面积+△OAC的面积）]
=△OBM的面积：四边形OADM的面积
=4：9
∵四边形OADM的面积为．
∴△OBM的面积=3
根据反比例系数k的几何意义可知k=6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．先化简代数式，再从﹣4＜x＜4的范围内选取一个合适的整
数x代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x的取值范围内选取一数值代入即可．
【解答】解：原式=
=
=
令x=0（x≠±1且x≠2），则原式=
18．在△ABC中，已知AB=1，AC=，∠ABC=45°，求△ACB的面积．
【考点】解直角三角形．
【分析】过A作AD⊥BC，交BC（或BC延长线）于点D，利用勾股定理和三角形的面积公式分别求出S△ABD和S△ACD，再分∠C为锐角和钝角两种情况求出S△ACB即可．
【解答】解：过A作AD⊥BC，交BC（或BC延长线）于点D，如图所示．
在Rt△ABD中，AD=BD=AB=，
在Rt△ACD中，AC=，AD=，
∴CD==，
∴S△ABD=××=，S△ACD=××=．
∴当∠C为锐角时，S△ACB=S△ABD+S△ACD=；当∠C为钝角时，S△ACB=S△ABD﹣S△ACD=．
19．2010年春季以来，我国西南地区遭受了严重的旱情，某校学生会自发组织了“保护水资源从我做起”的活动．同学们采取问卷调查的方式，随机调查了本校150名同学家庭月人均用水量和节水措施情况．以下是根据调查结果作出的统计图的一部分．
请根据以上信息解答问题：
（1）补全图1和图2；
（2）如果全校学生家庭总人数约为3000人，根据这150名同学家庭月人均用水量，估计全校学生家庭月用水总量．
【考点】加权平均数；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）用水为3吨的家庭数=150﹣10﹣42﹣32﹣16=50户，淘米水浇花占的比例=1﹣30%﹣44%11%=15%；
（2）全校学生家庭月用水总量=3000×150户用水的平均用水量．
【解答】解：（1）
（2）全体学生家庭月人均用水量为=9040
（吨）．
答：全校学生家庭月用水量约为9040吨．
20．用尺规作图的方法（作垂线可用三角板）找出符合下列要求的点．（保留作图痕迹）（1）在图1中的直线m上找出所有能与A，B两点构成等腰三角形的点P，并用P1，P2…等表示；
（2）在图2中的直线m上找出所有能与A，B两点构成直角三角形的点Q，并用Q1，Q2…等表示；
【考点】作图—复杂作图．
【分析】（1）本题的作图思路是：分别以A，B为圆心，AB为半径，所作的圆与m的交点以及AB垂直平分线与m的交点均是符合条件的点；
（2）本题作图思路是：以AB为直径作圆，圆与m的交点以及过A，B所作的圆的切线与m 的交点均属符合条件的点．
【解答】解：
21．如图，矩形OABC中，点A，点C分别在x轴，y轴上，D为边BC上的一动点，现把△OCD沿OD对折，C点落在点P处．已知点B的坐标为（2，2）．
（1）当D点坐标为（2，2）时，求P点的坐标；
（2）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，设点P经过的路径长度为l，求l的值；（3）在点D沿BC从点C运动至点B的过程中，若点P落在同一条直线y=kx+4上的次数为2次，请直接写出k的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）依照题意画出图形，根据点D的坐标结合矩形的性质即可得出四边形OCDP是正方形，由此即可得出点P的坐标；
（2）由OP的长度为定值，可知点P的运动轨迹为以2为半径的圆弧，结合点B的坐标借助于特殊角的三角函数值得出∠COP=120°，再套用弧长公式即可得出结论；
（3）取点E（0，4），过点E作⊙O（弧CP段）的切线EP′，切点为P′，连接PP′，找出点P、P′的坐标，利用待定系数法求出k的值，再结合图形即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，当D点坐标为（2，2）时，CD=2，
∵OC=2，且四边形OABC为矩形，
∴四边形OCDP是正方形，
∴OP=2，
∴点P的坐标为（2，0）．
（2）如图2，∵在运动过程中，OP=OC始终成立，
∴OP=2为定长，
∴点P在以点O为圆心，以2为半径的圆上．
∵点B的坐标为（2，2），
∴tan∠COB==，
∴∠COB=60°，∠COP=120°，
∴l=×2π×2=π．
（3）在图2的基础上，取点E（0，4），过点E作⊙O（弧CP段）的切线EP′，切点为P′，连接PP′，如图3所示．
∵OE=4，OP′=2，
∴sin∠OEP′==，
∴∠OEP′=30°，
∴∠EOP′=60°．
∵∠COP=120°，
∴∠POP′=60°．
∵OP=OP′=60°，
∴△OPP′为等边三角形，
∵OP=2，
∴P（，﹣1），P′（，1）．
当点P在直线y=kx+4上时，有﹣1=k+4，
∴k=﹣；
当点P′在直线y=kx+4上时，有1=k+4，
∴k=﹣．
综上可知：若点P落在同一条直线y=kx+4上的次数为2次，则k的取值范围为﹣≤k ＜﹣．
22．某公司开发了一种新型的家电产品，又适逢“家电下乡”的优惠政策．现投资40万元用于该产品的广告促销，已知该产品的本地销售量y1（万台）与本地的广告费用x（万元）
之间的函数关系满足y1=．该产品的外地销售量y2（万台）与外地广
告费用t（万元）之间的函数关系可用如图所示的抛物线和线段AB来表示．其中点A为抛物线的顶点．
（1）结合图象，求出y2（万台）与外地广告费用t（万元）之间的函数关系式；
（2）求该产品的销售总量y（万台）与本地广告费用x（万元）之间的函数关系式；（3）如何安排广告费用才能使销售总量最大？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）此函数为分段函数，第一段为抛物线，可设出顶点坐标式，代入（0，60）即可求解；第二段为常函数，直接可以写出．
（2）由于总投资为40万元，本地广告费用为t万元，则外地广告费用为（40﹣t）万元，分段列出函数关系式．
（3）由（2）求得的函数关系式求得销售总量最大时广告费用的安排情况．
【解答】解：（1）由函数图象可知，
当0≤t≤25时，函数图象为抛物线的一部分，
设解析式为y=a（t﹣25）2+122.5，
把（0，60）代入解析式得，
y2=﹣0.1（t﹣25）2+122.5；
当25＜t≤40时，
y2=122.5；
（2）∵本地广告费用为x万元，
∴0≤x≤15时，y=3x+122.5；
15＜x≤25时，y=﹣0.1x2+6x+100；
25＜x≤40时，y=﹣0.1x2+5x+125．
（3）外地广告费用为15万元，本地广告费用25万元．
23．如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由已知可得OP=x，OE=y，则PA=4﹣x，AB=3．利用互余关系可证Rt△POE∽Rt △BPA，由相似比可得y关于x的函数关系式；
（2）此时，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，BD=BA=3，CD=4﹣3=1，故P（1，0），E（0，1），B（4，3），代入抛物线解析式的一般式即可；
（3）以PE为直角边，则点P可以作为直角顶点，此时∠EPB=90°，B点符合；点E也可以作为直角顶点，采用将直线PB向上平移过E点的方法，确定此时的直线EQ解析式，再与抛物线解析式联立，可求点Q坐标．
【解答】解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90度．∴∠OPE+∠APB=90°．
又∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴．
即．
∴y=x（4﹣x）=﹣x2+x（0＜x＜4）．
且当x=2时，y有最大值．
（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．设过此三点的抛物线为y=ax2+bx+c，则
∴
y=x2﹣x+1．
（3）由（2）知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x﹣1，与y轴交于点（0，﹣1）．
将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），
∴该直线为y=x+1．
由
得
∴Q（5，6）．
故该抛物线上存在两点Q（4，3）、（5，6）满足条件．。