2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+二十 任意角和弧度制及任意角的三角函数

核心素养测评二十
任意角和弧度制及任意角的三角函数
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.若sin α<0且tan α<0,则α是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选D.由sin α<0,得α的终边在第三或第四象限或在y轴非正半轴上;由tan α<0,得α在第二或第四象限,所以α是第四象限角.
2.sin 2cos 3tan 4的值( )
A.小于0
B.大于0
C.等于0
D.不存在
【解析】选A.因为sin 2>0,cos 3<0,tan 4>0,
所以sin 2cos 3tan 4<0.
3.若角α=45°+k·180°,k∈Z,则角α的终边落在( )
A.第一或第三象限
B.第一或第二象限
C.第二或第四象限
D.第三或第四象限
【解析】选A.当k为偶数时,令k=2n,α=45°+n·360°,此时α为第一象限角,排除C,D;当k为奇数时,令k=2n+1,α=225°+n·360°,此时α是第三象限角,排除B;所以角α的终边落在第一或第三象限.
4.已知扇形的半径为12 cm,弧长为18 cm,则扇形圆心角的弧度数是
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.l=|α|r,所以|α|===.
5.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,3]
B.(-2,3)
C.[-2,3)
D.[-2,3]
【解析】选A.由cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以解得-2<a≤3.
6.已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为
( ) A. B.
C. D.
【解析】选D.点P,
即P,点P落在角θ的终边上,
且θ∈[0,2π),所以θ=.
7.(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标
为(sin 150°,cos150°),则α=( )
A.150°
B.135°
C.300°
D.60°
【解析】选C.由sin 150°=>0,cos 150°=-<0,可知角α终边上一点的坐标为,所以该点在第四象限,由三角函数的定义得sin α=-,因为0°≤α<360°,所以角α为300°.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是________. 【解析】一个周角是2π,因此分针10分钟转过的角的弧度数为×2π=.
答案:
9.(2020·扬州模拟)在平面直角坐标系xOy中,60°角终边上一点P 的坐标为(1,m),则实数m的值为________.
【解析】因为60°角终边上一点P的坐标为(1,m),所以tan 60°=, 因为tan 60°=,所以m=.
答案:
10.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为________.
【解析】设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以r=αr,
所以α=.
答案:
(15分钟35分)
1.(5分)已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为
( ) A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】选C.设扇形的半径为r(r>0),弧长为l,则由扇形面积公式可得2=lr=|α|r2=×4×r2,解得r=1,l=|α|r=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.
2.(5分)(2019·南昌模拟)已知角α终边上一点P的坐标是(2sin 2,-2cos 2),则sin α等于( )
A.sin 2
B.-sin 2
C.cos 2
D.-cos 2
【解析】选D.因为r==2,
由任意角的三角函数的定义,sin α==-cos 2.
3.(5分)函数y=的定义域为________.
【解析】因为2sin x-1≥0,所以sin x≥.
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示). 所以x∈(k∈Z).
答案:(k∈Z)
4.(10分)已知角α的顶点在坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边上有一点P(3a,4a),其中a≠0,求sin α,cosα,tanα.
【解析】设r=|OP|==5|a|.
①当a>0时,r=5a,所以sin α==,cos α==,tan α==;②当a<0时,r=-5a,所以sin α=-,cos α=-,tan α=.
综上,sin α=,cos α=,tan α=,
或sin α=-,cos α=-,tan α=.
5.(10分)已知角α终边经过点P(x,-)(x≠0),且cos α=x.求sin α+的值.
【解析】因为P(x,-)(x≠0),所以点P到原点的距离r=.又cos α=x,
所以cos α==x.因为x≠0,
所以x=±,r=2.
当x=时,P点坐标为(,-),
由三角函数的定义,sin α=-,=-,
所以sin α+=--=-;
当x=-时,同理可得sin α+=.
【变式备选】
在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点是坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边与单位圆O交于点A(x1,y1),α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转,交单位圆于点B(x2,y2).
(1)若x1=,求x2.
(2)过A,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,记△AOC及△BOD的面积分别为S1,S2,且S1=S2,求tan α的值.
【解析】(1)因为x1=,y1>0,
所以y1==,sin α=,cos α=,
所以x2=cos
=cos αcos-sin αsin=-.
(2)S1=sin αcos α=sin 2α.
因为α∈,
所以α+∈,
S2=-sin cos
=-sin=-cos 2α.
因为S1=S2,
所以sin 2α=-cos 2α,即tan 2α=-,
所以=-,
解得tan α=2或tan α=-.
因为α∈,所以tan α=2.
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