弦切角-1

C
2
∴∠BAC=90 °+∠1,
∠APC=90 °+∠2
1
P
·
O
m B
又∵ ∠1= ∠2 ∠BAC＝ ∠APC
A
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的 圆周角。
C
Q
O m
Q C m B
P
·
A
P
C
2
·
O
1
1
B
A
P
·
O
m B
A
∠BAC＝ ∠APC
我掌握了吗？
如图，DE切⊙O于点A，说出图中所有相等的角。
圆心在弦切角外
圆心在弦切角的边上
圆心在弦切角内
猜想一下：
弦切角与弦切角所夹的弧所对的圆周角有 什么关系？
圆心O在弦切角∠BAC的边AC上时，
根据切线性质， ∠BAC＝90°，
所夹的弧 AmC对的圆周角∠APC
∠AP C＝90° 是直径对的圆周角，
C
∠BAC＝ ∠APC
P
猜想：弦切角等于它所夹 的弧所对的圆周角
O
3
A
2
E
C
1
D
考题回放
如图:已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点 C,∠A=28°. (1)求∠ACM的度数; (2)在MN上是否存在一点D,AB·CD=AC·BC,为什么? (2001年 广东广州) M
D
C N A O B
小结：
1、概念的引入
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相 切的角叫做弦切角。
D A E ∠DAC＝ ∠ABC
. O
C
B F
∠EAB＝ ∠ACB ∠EAC＝ ∠ABF
（等角的补角相等）
练习
如图，AB是⊙O的直径，DE切⊙O于点C。若 ∠ACD=40°，则∠BAC=（ C ） A、30°；B、40°；C、50°；D、60°。
B 如图，BC切⊙O于点B，圆心O在AC上，∠A ＝25°，那么∠ABC＝ .
A
·
O B
D
练习
如图，BC切⊙O于点B，圆心O在AC上，∠A ＝25°，那么∠ABC＝ 115 ° .
连结BD， ∵ BC切⊙O于点B ∴ ∠CBD＝ ∠A＝25° D C ∵ AD是直径 ∴ ∠ABD＝90 ° ∴ ∠ABC＝ ∠CBD+ ∠CBD ＝ 25°+ 90 °=115 °
A
·
O B
如图，BC切⊙O于点B，圆心O在AC上，∠A ＝25°，那么∠ABC＝ 115 ° .
·
O A
m
B
圆心O在弦切角∠BAC的外部时.
作⊙O的直径AQ，连结CQ Q P
∵∠BAQ=∠ACQ=90°
∴∠BAC=90 °-∠1,
∠Q=90 °-∠1
∴ ∠BAC= ∠Q 又∵ ∠Q= ∠APC ∠BAC＝ ∠APC
·
O
1
C m B
A
圆心O在弦切角∠BAC的内部时.
作⊙O的直径AQ，连结QP ∵∠BAQ=∠APQ=90° Q
7.11 弦切角
制作:
沙东中学
李俊文
什么样的角是圆周角？
圆中的∠BAC和∠BDC分别是什么角？
与所对弧有何关系？
B C
A
D
∠CAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？
顶点在圆上，
一边与圆相交，
C
另一边与圆相切 的角叫做弦切角
m A B
AmC 是弦切角∠CAB所夹的弧。
顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与 圆相切的角叫做弦切角。 下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？
B
·
C
O
A
E
D
例题解析
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
B
·
C
1
O
3
A
2
E
D
例题解析
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.
B
·
4
2、定理的发现 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 推论：两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角相等。
小结：
3、定理的证明（完全归纳法） 4、应用与推论
一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是 通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联 系起来，因此，当已知有切线时常添线构建弦切 角或添切点处的半径应用切线的性质。
C B A C C A
×
B
×
C
B
A
×
B
B C
×
A
A
√
如图，说出图中所有的弦切角及其所夹的弧。 弦切角∠MAB和∠MBA 夹的弧都是 AB 弦切角∠ABQ和∠BAP 夹的弧都是 AmB
M
A
O · Q
P m
B
练习
动动手、画一画、 想一想
从数学的角度看，弦切角能分成几大类？
C C C
p
O
p
B
O
O
p
A A B A B
连结OB A
·
O B
D
∵ ∴ ∵ C ∴ ∴
BC切⊙O于点B ∠OBC＝ 90° AO=BO ∠OAB＝ ∠OBA=25 °
∠ABC＝ ∠OBC+ ∠ABO ＝ 90°+ 25 °=115 °
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
推论：两个弦切角所夹的弧相等，
那么这两个弦切角相等。
如图，DE切⊙O于点A，AB、AC是 ⊙O的弦，若 AB=AC ，那么∠DAB 与∠EAC是否相等？为什么？
作业：
P117 4、5
思考题: 如图，BC切⊙O于B，CE⊥AF于E， AF是直径，求证：CD＝CB.
你能想出多 少种解法？
E O A D C
·
B
F
∠ DAB＝ ∠EAC
C O E
B
A
D
如图:DE切⊙O于点A ，AB、AC是⊙O的弦，若 AB=AC，且∠DAB=45°，则∠BAC= （ D ） A、45°；B、50°；C、60°；D、90°。
C
O
B
E
A
D
练习
例题解析
例1: 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直 线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足是D，求证： AC平分∠BAD.