专题19 圆锥曲线的几何性质及其综合应用-2018年高考数学(理)母题题源系列(天津专版)

母题十九 圆锥曲线的几何性质及其综合应用
【母题原题1】【2018天津，理19】
设椭圆22221x x a b
+=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B A 的坐标为(,0)b ，且
FB AB ⋅=
（I ）求椭圆的方程；
（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．
若
sin 4
AQ AOQ PQ
=
∠(O 为原点)，求k 的值． 【考点分析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．
【答案】（I ）22194x y +=；（II ）12或1128
．
试题解析：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有225
9
c a =，
又由222
a b c =+，可得23a b =．由已知可得，FB a =，AB =，
由FB AB ⋅=6ab =，从而,32a b ==，∴椭圆的方程为22
194
x y +=．
（Ⅱ）设点P 的坐标为()11,x y ，点Q 的坐标为()22,x y ．
易知直线AB 的方程为20x y +-=，由方程组{ 20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221
k
y k =+．
由1259y y =，可得()15k +=25650110k k -+=，
解得12k =
，或1128k =，k ∴的值为12或11
28
． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
【母题原题2】【2017天津，理19】
设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12
．已知A 是抛物线2
2(0)
y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为
1
2
． （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于
点D ．若APD △的面积为
2
AP 的方程．
【答案】（1）2
2
413
y x +=，24y x =；（2）330x -=，或330x -=． 【解析】试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12，则1
2
a c -=，又椭圆的离心率为
1
2
，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，
解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的
坐标，最后根据APD △
m ，得出直线AP 的方程．
或2634m y m -=+．由点B 异于点A
，可得点222346(,)3434m m B m m -+-++．由2(1,)Q m -，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得2
2
2332m x m -=+，故22
23(,0)32m D m -+．∴2222236||13232m m AD m m -=-=++．又∵APD
△的面积
为，
故221626
232||2
m m m ⨯⨯=+，整理
得23||20m m -+=，解
得||3m =
，
∴3
m =±．∴直线AP 的方程
为330x -=，
或330x -=．
解法二：设()1,,P t -则()1,,Q t --从而直线AP 的方程为()12t y x =--，代入椭圆方程22
413
y x +=，
整理得(
)
2
222
3230t x t x t +-+-=．两根之积为2212223
3
.
1,.3
3
A B t t x x x x t t --==∴=++
代入()12t
y x =-
-，得2
2233,33t t B t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
．∴直线BQ 的方程为：()2
22
3313
13
t
t t y t x t t +++=+-++，即()2612t y t x t ++=+．令0y =，得()2612t t x t +=+，解得222226612,1666
t t x AD t t t --=∴=-=+++．
2112,,26APD S t t ∆=
∴⨯⨯=+
解得t =∴直线AP
的方程为)1y x =-
或)1y x =-，
即330x -=
，或330x -=．
【考点】直线与椭圆综合问题
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键．
【母题原题3】【2016天津，理19】
设椭圆13
222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e
OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点
H ．若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围．
【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）),4
6
[]46,(+∞--∞ ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由
113||||||c OF OA FA +=，得113()c
c a a a c +=-
，
又2
2
2
3a c b -==，所以2
1c =，因此2
4a =，所以椭圆的方程为22
143
x y +=． （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y ．设),(B B y x B ，由方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧-==+)
2(1342
2x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2
222=-+-+k x k x k ．解得2=x ，或34682
2+-=k k x ，由题
⎪⎩
⎪⎨⎧-=-+
-=)
2(124912
x k y k k x k y 消去y ，解得)1(129202
2++=k k x M ．在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即222
2
)2(M
M
M
M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)
1(129
202
2≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k ．所以直线l 的斜率的取值范围为),4
6[]46,(+∞-
-∞ ． 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程
【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【母题原题4】【2015天津，理19】
已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）
，点M 在椭圆上且位于第一象限，直
线FM 被圆42
2
+4b x y =截得的线段的长为c
，
（I ）求直线FM 的斜率； （II ）求椭圆的方程；
（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP
，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围．
【答案】（I ） ； （II ） 22132x y += ；(III)
22,,⎛⎛-∞ ⎝． 【解析】
试题分析：（I ） 由椭圆知识先求出,,a b c 的关系，设直线直线FM 的方程为()y k x c =+，求出圆心到直线
的距离，由勾股定理可求斜率k 的值； （II ）由（I ）设椭圆方程为22
22132x y c c
+=，直线与椭圆方程联立，求出
点M 的坐标，由FM =
可求出c ，从而可求椭圆方程．(III)设出直线FP ：(1)y t x =+，与椭圆方程联立，
求得t =
>x 的范围，即可求直线OP 的斜率的取值范围． 试题解析：（I ） 由已知有221
3
c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，
设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有
2
22
22c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，解得k = （II ）由（I ）得椭圆方程为22
22132x y c c
+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，
得312x -
<<-或10x -<<，设直线OP 的斜率为m ，得y
m x
=，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得2222
3
m x =-．
①当3,12x ⎛⎫∈-
- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =，得m ∈
②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =,m ⎛∈-∞ ⎝
综上，直线OP 的斜率的取值范围是22,,⎛⎛-∞ ⎝．
【命题意图】本类题通常主要考查对椭圆的离心率、椭圆的几何性质、双曲线的离心率、双曲线的几何性质、双曲线的渐近线、抛物线的几何性质等基本知识的理解，以及对直线与圆锥曲线间的交点问题（含切线问题）、与圆锥曲线定义有关的问题、与曲线有关的最值问题（含三角形和四边形面积）等知识的理解与简单的应用． 【命题规律】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题与填空题的形式出现，也会出现在解答题中第一问，难度一般中等，有时中等偏上，一般不会作为把关题，在考查内容上一般以求离心率，求双曲线的渐近线，求最值，求范围，利用性质求曲线方程等，着重考查对基本概念和基本性质的理解与应用，题型稳定，中规中矩，不偏不怪，内容及位置也很稳定，计算量比过去减少，但思考量增大，思维层次的要求并没有降低．若再按以前的“解几套路”解题显然难以成功．
【答题模板】以2017年高考题为例，求取椭圆或双曲线离心率，一般可由下面三个方面着手： （1）根据已知条件确定,,a b c 的等量关系，然后把b 用,a c 代换，求
c
a
的值； （2）已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222a b c =+化出关于,a c 的式子，再利用c
e a
=，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围．
（3）求离心率的范围问题关键是确立一个关于,,a b c 的不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到关于,a c 的不等式，由这个不等式确定,a c 的关系．
总体来说，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,a c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于,a c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数． 【方法总结】
1．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求1212PF PF F F +>，双曲线的定义中要求
1212PF PF F F -<，抛物线的定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M ；一个定点F (抛物线的焦点)；一
条定直线l (抛物线的准线)；一个定值1(点M 与定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于1)，常常利用抛物线的定义将抛物线上一点到焦点的焦半径问题与焦点到准线的距离问题互相转化．
2．求圆锥曲线标准方程常用的方法：(1)定义法；(2)待定系数法，若顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可
设为2
2y ax =或2
2x ay = (0a ≠)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．若椭
圆的焦点位置不确定，椭圆的标准方程可设为
22
1(0,0)x y m n m n
+=>>，也可设椭圆方程为2
2
1(0,0)Ax By A B +=>>，若双曲线的焦点位置不确定，双曲线的标准方程可设为22
1(0)x y mn m n
-=>，也
可设双曲线的方程为22
1Ax By +=，其中,A B 异号且都不为0，若已知双曲线的渐近线方程为0ax bx ±=，则可设双曲线的标准方程为ax bx λ±=（0λ≠）可避免分类讨论，这样可以避免讨论和繁琐的计算．
3．求解与二次曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，即使不画图形，思考时也要联想到图像．对椭圆当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．对双曲线应围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．
4．椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用，椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为[,a c a c -+]．在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12F PF 的周长为定值等于22a c +，面积等于212
tan
2
F PF b ∠，其中b 是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为22b a
．双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及
存在性、判断性问题中有着重要的应用，双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为[,c a -+∞)．在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在双曲线上，称该三角形为焦点三角形，则面
积等于2
12tan
2
b F PF ∠，其中b 是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为22b a ．抛物线中：抛物线上
一点11(,)P x y ，F 为抛物线的焦点，对于四种抛物线的焦半径公式分别为（p ＞0）：
22112:;2:22p
p y px PF x y px PF x ==+=-=-+ 22112:;2:22
p
p
x py PF y x py PF y ==+=-=-+
．焦点弦长公式：对于过抛物线焦点的弦长，可以用焦半径公式推导出弦长公式．设过抛物线y2=2px （p ＞O ）的焦点F 的弦为AB ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，AB 的倾斜角为α，则有12AB x x p =++或22sin p
AB α
=
，以上两公式只适合过焦点的弦长的求法，对于其它的弦，
只能用“弦长公式”来求．在抛物线中，以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切． 5．求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定,,a b c 的等量关系，然后把b 用,a c 代换，求
c
a
的值；椭圆求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222a b c =+化出关于,a c 的式子，再利用c
e a
=
，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e 的值或范围．离心率e 与,a b 的关系为：222
2
22c a b e a a -===22
1b a -⇒b a
=．双曲线求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出,,a b c 的等式或不等式，结合222c b a =+化出关于,a c 的式子，再利用c
e a
=
，化成关于e 的等式或不等式，从而解出e
的值或范围．离心率e 与,a b 的关系为：2222
22
c a b e a a +===221b a +⇒b a
=，在双曲线中由于2
2
1b e a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
故双曲线的渐近线与离心率密切相关．求离心率的范围问题关键是确立一个关于,,a b c 的不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到关于,a c 的不等式，由这个不等式确定,a c 的关系．求解圆锥曲线的离心率，基本思路有两种：一是根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出,a c ，然后根据离心率的定义式求解；二是根据已知条件构造关于,a c 的方程，多为二次齐次式，然后通过方程的变形转化为离心率e 的方程求解，要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参数．
6．抛物线2
2y px =（0p >）上点的坐标可设为（20
0,2y y p
），在计算时，可以降低计算量． 7． 焦点三角形问题的求解技巧
(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形． (2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识： ①椭圆或双曲线的定义； ②勾股定理或余弦定理；
③基本不等式与三角形的面积公式．
1．【2018天津部分区二模】已知抛物线的焦点与椭圆：的一个顶点重合，且这个顶点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆的上顶点为，过作斜率为的直线交椭圆于另一点，线段的中点为，为坐标原点，连接并延长交椭圆于点，的面积为，求的值．
【答案】(1)；(2)．
又椭圆的顶点与其两个焦点构成的三角形的面积为，∴，
∴，故椭圆的方程是．
（2）由题意设直线的方程为，设点，
由得，解得，
∴，∴
直线斜率，直线的方程为，
∴的值为．
【名师点睛】本题考查椭圆方程、椭圆性质、直线方程、理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
2．【2018天津河东区二模】已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．
(1)求椭圆方程；
(2)斜率为k的直线l过点F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，
若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．
【答案】(1) ．
(2) 或．
【解析】分析：（1）列方程组求出a和b即得椭圆的方程．(2) 设直线的方程为，根据△ABP为等边三角形求出k的值，即得直线的方程．
详解：（1）由已知，，可得，，所以椭圆的方程为．
（2）设直线的方程为，直线与椭圆交点坐标为，，
整理为，所以所以
．
【名师点睛】（1）本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的
掌握能力、分析推理能力和计算能力．(2)解答本题的关键是求k，本题是根据等边三角形得到找到k的方程的，当然先要求出|AB|和|MP|．计算量比较大．
3．【2018天津河北区二模】设椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足为线段的中点，且AB⊥．
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若过A、B、三点的圆与直线：相切，求椭圆C的方程；
（III）在（I）的条件下，过右焦点作斜率为k的直线与椭圆C交于M，N两点，在x轴上是否存在点P(m，0)使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得在在直角三角形中有，即，整理可得．（Ⅱ）由题意可得过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c，0)，半径r=
=2c，根据直线与圆相切可得，解得c=1，从而，，可得椭圆的方程．（Ⅲ）由条件可设直线MN的方程为，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可
得MN的中点Q的坐标为，若以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则，由此得到
，整理得，最后可求得．
（III）由（I）知，F2(1，0)，直线MN的方程为，
由消去y整理得
∵直线与椭圆C交于M，N两点，∴．
设M(，)，N(，)，则，
∴，
∴MN的中点Q的坐标为，若以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则，
∴整理得，∵，∴，∴．
∴．故存在满足题意的点P，且m的取值范围是(．
【名师点睛】（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素
(点或参数)存在，并用待定系数法设出，根据题意列出关于待定系数的方程（方程组），若方程（组）有实数解，则元素(点或参数)存在；否则元素(点或参数)不存在．
（2）解析几何中求范围或最值时，首先建立关于某一参数为为变量的目标函数，再根据函数的特征求出范围或最值．
4．【2018天津十二校二模】已知椭圆的两个焦点分别为和，过点
的直线与椭圆交于轴上方的，两点，且．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）（ⅰ）求直线的斜率；
（ⅱ）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值．
【答案】（I）离心率；（II）．
当时，得，由已知得，求出外接圆方程与直线的方程，联立可得结果．
详解：（I）由得，从而，整理，得，故离心率．
（II）解法一：（I）由（I）得，所以椭圆的方程可写
设直线AB的方程为，即．
由已知设，则它们的坐标满足方程组
消去y整理，得．
依题意，
而①
②w
由题设知，点B为线段AE的中点，所以
③
（II）由（I）可知
当时，得，由已知得．
线段的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为．直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组
，
由解得故
【名师点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系以及椭圆离心率，属于难题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．
5．【2018天津9校联考】已知过点的椭圆的左右焦点分别为、，为椭圆上的任意一点，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线交椭圆于，两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围．
【答案】（I）．
(2)或．
由方程的根与系数关系求得x2、y2，由点A在以PQ为直径的圆外，得∠PAQ为锐角，•＞0；由此列不等式求出k的取值范围．
试题解析：
（1）∵，，成等差数列，
∴，
由椭圆定义得，∴；
又椭圆：（）过点，
∴；∴，解得，；
可得
；③
由①②③，解得，； 由点在以为直径的圆外，得
为锐角，即；
由
，
，
∴；即，
整理得，
，解得：
或
．
∴实数的取值范围是
或
．
【名师点睛】在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
6．【2018天津滨海新区七校联考】已知()0,2A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的离心率2，F 是椭圆E 的
右焦点，直线AF 的斜率为
3
，O 为坐标原点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程．
【答案】（1）22182
x y +=；（2
）2y x =
-
或2y x =- 【解析】试题分析：（1）由离心率与斜率可求得a ，b ，c ．（II ）设:2l y kx =-
，与椭圆组方程组，由弦长
()
222
2
2,{ 1416801,82
y kx k x kx x y =-⇒+-+=+=， ()
221
164104
k k ∆=->⇒>
， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，
1212
22
168
,1414k x x x x k k +=
=++，
PQ == 又点O 到直线
l 的距离d =
∴△OPQ
的面积21241
OPQ
S PQ d k ∆==+，
t =，则0t >
，∴2
222OPQ S t t t
∆=
=≤++，
【名师点睛】弦长公式：（已知直线上的两点距离）设直线:l y kx m =+，l 上两点()()1122,,,A x y B x y
，所以
12AB x =-
或12AB y =-．
7．【2018天津十二校联考一】如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别是,A B
，离心率为2，
设点(
)(
,P a t t ≥
，连接PA 交椭圆于点C ，坐标原点是O ．
（1）证明： OP BC ⊥；
（2）设三角形ABC 的面积为1S ，四边形OBPC 的面积为2S ，若
2
1
S S 的最小值为1，求椭圆的标准方程． 【答案】（1）证明见解析；（2）2
212
x y +=． 【解析】试题分析：（1
，可得22
b c =，联立直线AP 与椭圆的方程即可求出点C 的坐标，从而可得直线BC 的斜率，再根据直线OP 的斜率，即可证明OP BC ⊥；（2）由（1）知
，
()
3223
12222222
2142444ABP AOC t tc tc S S S S t c t c t c ∆∆+=⨯⨯==-=+++，，根据21
S S 的最小值为1，即可求出c
的值，从而求出椭圆的标准方程．
试题解析：（1
）由
c
e
a
=得，
2
2
1
2
c
a
=，∴
22
2
1
2
a b
c
-
=，即22
b c
=．∴椭圆的方程为
22
22
+1
2
x y
c c
=
，由)
22
22
1
2
{
x y
c c
y x
+=
=+
，整理得：(
)
2222224
4280
c t x x t c c
+++-=，由
A
x=可得
∴椭圆方程为
2
21
2
x
y
+=．
8．【2018天津静海一中模拟】设椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>
的一个顶点与抛物线2x=的焦点重合，12
F F
，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率
1
2
e=，过椭圆右焦点
2
F的直线l与椭圆C交于M N
，两点．（I）求椭圆C的方程；
(2)若•2
OM ON=-，求直线l的方程；
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，//
MN AB，求证：
2
||
AB
MN
为定值．
【答案】（I）
22
1
43
x y
+=；（II）y
(x－1)或y
(x－1)；(3)见解析．
【解析】试题分析：（1）由题意，椭圆的标准方程为＋＝1；（2）设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，·
＝x1x2＋y1y2＝－2，利用韦达定理，解得答案；（3）|MN|＝|x1－x2|，|AB|＝|x3－x4|，代入韦达定理计算，得到答案．
试题解析：
（I）椭圆的顶点为(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)由题可知，直线l与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
由(2)可得|MN|＝|x1－x2|＝
＝＝，
由消去y并整理得x2＝，|AB|＝|x3－x4|＝4，
∴＝＝4，为定值．
9．【2018天津一中月考五】已知椭圆的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个
顶点，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别相交于点和点，且
，点是点关于轴的对称点，的延长线交椭圆于点，过点、分别做轴的垂线，垂足分别为、．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，使得点平分线段，？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（I）；(2)答案见解析．
【解析】试题分析：（I）由正三角形的高与边长的关系可求出，再由点在椭圆上，可求出
的值，从而求出椭圆方程；(2)假设存在，由直线方程可求出点的坐标，由已知条件可求出点的坐标，
设联立直线与椭圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，
所以椭圆方程为．
（2）存在
设，∵
∴
∴①
∴，
联立∴②
∴
∴
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．第一问求椭圆方程很容易，大部分学生能做对； 在第二问中，假设存在，当点平分线段点为
的中点，利用中点坐标公式，求
出
的值，得出直线方程．注意本题涉及的点线位置关系比较复杂，容易弄错．
10．【2018天津静海一中期末考】设椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，上顶点为A ，
过点
A
与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222F F QF =，若过A ，Q ，2F 三点的圆恰好与直线
:30l x -=相切．过定点(02M ，）
的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点（点G 在点M ，H 之间）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若实数λ满足MG MH λ=，求
的取值范围．
【答案】（Ⅰ）22
143
x y += ；（Ⅱ）)
7⎡-⎣．
【解析】试题分析：（1）由题意，得椭圆方程为．；（2）设直线方程为，，所
以
，利用韦达定理，就出
的取值范围．
（Ⅱ）①当直线斜率存在时， 设直线方程为，代入椭圆方程
得．
由，得
． 设，，
则，．
又，所以
．所以
．
所以
，
． 所以． 所以．
整理得．因为，所以，即．所以．
所以，即所求的取值范围是
【名师点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系．圆锥曲线问题关键是分析解题思路，逻辑思维要清晰．本题中要求线段长的比值，转化为横坐标的比值关系，则需要韦达定理，所以通过设直线，得到整个题目的思路．
11．【2018天津静海一中模拟】设椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b +=>>，定义椭圆C 的“相关圆”方程为
22
2
2
2b a b x y a b
+=+，若抛物线24y x =的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点
构成直角三角形．
（I ）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；
（II ）过“相关圆”E 上任意一点P 作“相关圆”E 的切线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点． （i ）证明∠AOB 为定值；
（ii ）连接PO 并延长交“相关圆”E 于点Q ，求△ABQ 面积的取值范围．
【答案】（I ） 222221,23x y x y +=+= （II ）（i ）见解析（ii ）43⎡⎢⎣ 【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线2
4y x =的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到1b c ==， 由此能求出椭圆C 的方程． 进而求出“相关圆”E 的方程．
（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 方程为2
x AOB π
=
∠＝ ；当直线l 的斜率存在时，设其方程为
y kx m =+，代入椭圆方程，得22
22x kx m ++=（
）， 由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出2
AOB π
∠＝
为定值．
（ii ）要求ABQ 的面积的取值范围，只需求弦长AB 的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出ABQ 面积的取值范围．
当直线的斜率存在时，设其方程设为，设
联立方程组得，即，
△=，即
因为直线与相关圆相切，所以
为定值
（ii ）由于是“相关圆”的直径，所以，所以要求面积的取值范围，
所以，所以
当且仅当时取”=”
②当时，．|AB |的取值范围为
面积的取值范围是．
【点睛】本题考查椭圆及圆的方程的求法，考查角为定值及三角形面积的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、直线与圆相切、椭圆弦长公式的合理运用．
12．【2018天津一中期末考试】已知点,M N 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左右顶点，F 为其右焦点，
MF 与FN 1
2
．
（I ）求椭圆C 的方程；
(2)设不过原点O 的直线l 与该轨迹交于,A B 两点，若直线,,OA AB OB 的斜率依次成等比数列，求OAB 的面积的取值范围．
【答案】（I ） 22
143
x y +=；（II
）(．
表示出三角形面积，求解范围即可．
试题解析：（I ） MF a c =+，BN a c =-
MF 与FN 的等比中项，∴()()3a c a c +-=，
∴2
2
2
3b a c =-=，又1
2
c e a ==，解得2,1a c ==，∴椭圆C 的方程为22143x y +=． (2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线():0l y kx m m =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直
线和椭圆2234120
{ x y y kx m
+-==+，消去y 得，()2223484120k x kmx m +++-=，
由题意可知，()()()
22226444341248430km k m k m ∆=-+-=-+>，即2243k m +>，
且122
834km
x x k
+=-+，212241234m x x k -=+， 又直线OA ，AB ，OB 的斜率依次成等比数列，所以
212
12
y y k x x ⋅=， 将1y ，2y 代入并整理得()
22430m k -=，因为0m ≠
，k =，206m <<，且2
3m ≠， 设d 为点O 到直线l
的距离，则有d =
12AB x =-=
，。