研究性学习论文——割圆术的相关算法（5篇范文）

研究性学习论文——割圆术的相关算法（5篇范文）
第一篇：研究性学习论文——割圆术的相关算法
研究性学习论文——割圆术的相关算法
中国从古代开始就有不少有关圆的相关算法，我们从小就接触圆周率，对圆周率可算是相当熟悉。

今年高二，我们的必修二主要讲的是几何，说到几何，自然离不开圆和球，离不开圆周率，而今年高二有些公式是通过极限思想得到的，极限思想对于我们来说比较陌生，当我们听说圆周率是用无限分割和极限得到的时，我们高二八班的一些同学对此产生兴趣，并准备通过研究割圆术的相关算法，进而初步了解极限思想。

一、割圆术的含义
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法。

二、历史回顾
中国两汉(公元前206 年至公元220 年)以前一直使用“周三径一”，即取π≈3，这实际上是以圆内接正六边形6边总长代替了圆周长。

东汉天文学家张衡(公元78年至139年)求得π≈ 101/2(≈ 3.1622)，创下了当时的世界纪录。

直到魏晋之际的杰出数学家刘徽于公元263年在为古代数学名著《九章算术》作注时，提出用割圆术来计算圆周率的方法，含有极限的概念，是他的最大创造，他正确地计算出圆内接正192 边形的面积，从而得到近似值为π≈ 157/50(≈ 3.14），又计算出圆内接正3072 边形的面积，得到近似值π≈ 3927/1250(≈3.1416)。

刘徽割圆术为圆周率的研究工作奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分重要的地位。

南北朝时南朝科学家祖冲之（公元 429 年至 500 年）求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率”，另一个是“密率”，这两个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一百年。

祖冲之计算出3.1415926< π <3.1415927同时还确定了π的两个分数形式的近似值：约率为π ＝22/7(≈3.14)，密率为π＝355/113(≈
3.1415929)。

把π计算准确到小数点后七位，又是当时的世界纪录。

在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。

刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。

三、割圆术的计算
1、圆周率
取一根细线，将其一头固定，另一头上装一个笔头，在纸上绕一圈，就出现了一个奇妙的图形——圆。

圆被认为是最完美、最和谐的图形，但是有一个问题困扰了我们很久，那就是圆周长与圆直径之间有什么联系呢？首先必须明确一点，所有的圆都是相似图形，也就是说这个比值一定是一项定值，这个值就称作圆周率，用希腊字母π表示。

2、割圆术算圆周率原理及算法来源
利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周。

根据刘徽的记载，在刘徽之前，人们求证圆面积公式时，是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。

应用出入相补原理，将圆内接正十二边形拼补成一个长方
形，借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。

刘徽指出，这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长，以圆半径作为高的长方形，它的面积是圆内接正十二边形的面积。

这种论证“合径率一而弧周率三也”，即后来常说的“周三径一”，当然不严密。

他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。

刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。

他从圆内接正六边形开始割圆，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。

”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。

3、计算方法
π 是圆的周长与直径之比，圆的周长永远大于圆内接多边形的周长，而永远小于圆外切多边形的周长，当边数无限增加时，这三种周长又相当接近，这就是计算圆周长的基础。

如果已经知道圆O 的内接正 n 边形的一个边长 AB=L n，我们可求出内接正 2n 边形的一个边长。

从图中看出： AH=L 2n =sqr[(AM)2 +(HM)2 ] AM=L n /2 (OM)2 =(OA)2-(AM)2 OA=OH=R
HM=OH-OM=R-sqr[R 2-(L n /2)2 ] 因而得出
L 2n =sqr{(L n /2)2 +[R-sqr(R 2-(L n /2)2)] 2 } 圆内接正 n 边形的周边总长为n × L n，如 n 充分大，我们可以为
π =(n × L n)/(2 × R)。

其中 sqr(x)为 x 的平方根。

R为圆O的半径
我们知道圆内接正六边形的一个边长 L 6 =R，不失一般性，可以令R=1，从而算出n=2x×6边形的一条边长，只要x足够大，π就可以计算得足够精确。

四、有关割圆术计算取得的成就
早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题。

到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。

阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7。

割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。

1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。

1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果。

五、割圆术的局限与圆周率算法的改进
1、这种方法在理论上可以精确到任意精度，但是它的缺点也暴露
无遗，那就是计算过于繁琐，有的数学家穷尽其一生也只不过就是得出七八位有效数字。

在这个问题上，我国古代的大数学家祖冲之似乎很好地解决了这个问题。

他利用
类似的方法并加以简便，没有花太多的时间就得出了圆周率介于3.1415926和3.1415927之间。

只可惜他的著作《缀术》早就失传了，这不能不说是人类数学史上的巨大损失。

2、近代，又出现了一种极其巧妙的计算π的方法——概率法。

学过概率中的几何概率模型后，我们可以得出：一根长d的细针随机地投向一张画有一组间距为 l的平行线的纸上，针与平行线相交的概率p满足以下关系：p=2l/πd根据概率与频率的关系，当实验次数足够多时，频率就可以近似地看作概率，从而计算出π的值。

用这种方法，有数学家进行了几千次实验就得出了小数点后六位的精确的π值。

3、随着数学的发展，又出现了数学分析法，这使得π的计算又向前迈进了一大步。

通过高等数学的级数展开，出现了下列计算公式：1593年韦达：
1706年梅钦：
利用数学分析中的级数展开，梅钦用他的公式计算到小数点后100位。

利用这类公式，数学家们用了数十年的时间计算，最多算出了808位π值，开创了数学史上真正意义上“计算”π的先河。

4、随着计算机的发明与飞速发展，π的计算进程有了革命性的变化。

π源源不断地以每天几亿位的速度向后精确，数千亿位的π也不足为奇了。

六、割圆术的价值
在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想，一个就是我们现在所讲的极限思想。

那么第二步，也就是更关键的一步，它把与圆周合体的这个正多边形，就是不可再割的这个正多边形，进行无穷小分割，再分割成无穷多个以圆心为顶点，以多边形每边为底的无穷多个小等腰三角形，这个底乘半径为小三角形面积的两倍，把所有这些底乘半径加起来，应该是圆面积的两倍。

那么就等于圆周长乘半径等于两个圆面积。

所以一个圆面积等于半周乘半径，所以刘徽说故半周乘
半径而为圆幂。

最后完全证明了圆面积公式，证明了圆面积公式，也就证明了“周三径一”的不精确。

随着圆面积公式的证明，刘徽也创造出了求圆周率精确近似值的科学程序。

刘徽的“割圆术”却在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明，成为人类文明史中不朽的篇章。

七、实验心得与感受
在这次课题研究中，我们经历了许多挫折和困难，比如刚开始我们根本还不清楚割圆术是什么，加上期中考试临近，竞赛任务繁重，课题被耽搁一段时间，但最后在全部小组成员的合作下，终于把课题完成了，在研究过程中我们学到许多课堂之中学不到的东西，我们的分析问题、解决问题的能力得到了锻炼，更重要的是，通过这次研究性学习，我们学会更好地与他人交流与合作，充分发挥集体的力量。

第二篇：关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法
关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法
周家军
（家庭地址：广西陆川县良田镇冯杏村22队，邮编：537717）（目前所在地：广西柳州市，电子邮箱：************************）
摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。

利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。

关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。

1、绪言
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。

2、用外切圆分割正多边形
假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。

将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。

由此可见，此圆周是正多形的外切圆。

假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB，圆心角为α ,设AB=S，正多边形的周长为L，依题意，有：
OA=OB=R 正多边形的周长L为：L=2*n*S 圆心角α和分割圆
的线段（直径）n的关系为：
α=360180= 2nn根据三角函数，可以列出正多边形的边长S和圆周半径R的关系式，为：
S2=R2+R2-2*R*R*cos（α）
S=R*2*(1-cosα)
2.1、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。

那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：
π=L2R2nS=2R
2nR2*(1-cosα)=2R180=n*2*(1-cos)n2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。

圆心角α值越小，分割圆的直径数n就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。

因此，依题意有：
将n=π=180α代入上式，可得：
L2R2nS=2R 1802**R*2*(1-cosα)α=2R180*2*(1-cosα)=α
3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式过O点作AB 的垂线OD，如图所示：
在ΔAOD中，依题意有：OA=R ∠AOD= AD=
根据三角函数，有如下的关系式：
α2Sα=R*sin()22αS=2*R*sin()
2S2α2AD=R*sin()正多边形的周长L为：L=2*n*S =2*180α* 2*R*sin()
α23.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式圆周率的计算公式为：
π=L2R180α2**2*R*sinα2 =2R360*sin=α2α3.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式若要以线段（直径）n为变量，将a =π=L2R180代入上式，即可得 n360*sin=α2α180
360*sinn2=180n90=2*n*sinn
4、用内切圆分割正多边形
在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。

也可以以正多边形的内切圆来推导。

用n根线段（直径）将圆周均匀分割，在端点处作该线段的垂线，各垂线所形成的图形就是一个正多边形，圆圈就是正多边形的内切圆。

如下图所示：
假设组成正多边形的一个三角形为ΔAOB，垂足点为D。

边长AB=S，正多边形的周长为L，圆心角为α。

依题意，有：
OD=R α的大小和分割的线段（直径）n有关联，n越大，正多边形的边就越多，α就越小；反之，意然。

它们的关系式如下：α=360180=2nn在ΔOAD中，根据三角函数关系，可列出如下关系式：AD= ∠AOD=
α2Sα= R* tg()22αS= 2*R* tg()
2α2S2AD=OD*tg()正多边形的周长L为： L=2*n*S
=2*180α* 2*R* tg()
α24.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。

那么正多边形的周长就越接近于圆的周长，因此，依此就可得出圆周率的计算公式，为：
π=L2R180α2**2*R*tgα2 =2R360*tg=α2α4.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式将α=180代入上式，可得到以线段（直径）n为变量的另一种形式n的计算式子：
360*tgα2π=α180360*tgn2 =180n90=2*n*tgn
5、圆周率的取值及祖冲之密率证明将以上推导的圆周率的计算公式整理如下：
π=n*2*(1-cos180)1 n○
π=2*n*sin90 2 n90π=2*n*tg 3
n○○或：
π=180*2*(1-cosα)α360*sin ○4
α2 5 π=α360*tg○
α2 6 π=α○公式○1和○
4、○2和○
5、○3和○6是等价的，可以相互转换，转换因子为α=180。

n （用公式计算圆周率时，理论分析上，n只能取正整数，a为能被360整除并且结果为偶数的值，这样，才能和题意所说的条件相符合，也只有这样，计算出的圆周率值才能越准确。

）
以上是用直径分割圆周来推导圆周率计算公式，也可以用半径来分割圆周，推导出圆周率的计算式子。

在此就不一一叙述了，有兴趣的朋友可以做一做。

大概在2000年或2001年，我就推导出这些圆周率计算公式。

我曾经将公式给我的数学老师（梁春崇先生）看，他试图用洛必达法则来证明，因进入一个循环，未果。

历史上，祖冲之算出了圆周率在3.1415926和3.1415927之间。

22，这是可以证明的。

在以上有a的式子里，将721.97722a=7代入公式，在内切圆中，Π≈≈,在外切圆中，Π
77他还得出圆的密率为
≈22.01822180≈。

由此可知，祖冲之用了n==25.7≈26，用了26根777棍子（直径）去分割圆，才算出了圆周的这个密率。

如果将Π=3.1415926代入○1式，整理后，得： 2*n2-2*n2*cos 180-3.1415926*3.1415926=0 n这个式子我不知道怎样解，如果哪位朋友如果知道解法，麻烦就请解一下，将n值求出来，就可知道祖冲之当时用了多少根棍子去分割圆，才算出了这个圆周率。

不过，当我用数字代入n值后计算时，我发现，只有当n=5000时，派=3.14159260，也就是说，用了5000根棍子（直径）去分割圆周。

6、圆周率的其他计算形式当用α=*1360（k为任意正数）代入上面的公式，可得到圆周率kn的另一种计算公式。

这个公式依然可以计算出圆周率的值。

比如说：当k=1时，α=*代入○1式得
π=n*2*(1-cos=360180)n180)3601360360=，代入上式：1nnα*2*(1-cos360*2*(1-cos)2=ααα代入○2式得
π=2*n*sin90n36090 =2**sin360αα720*sin=α4α代入○5式得
360*sinα2π=α360360*sinn2 =360n180=n*sinn（这就是用半径分割圆周推导的圆周率的计算公式）
用以上式子计算时，要记注n和a的取值范围，n→∞，而a→0，并且，n要取整数，a要取能被360整除的数，这样，计算出来的圆周率就越准确。

***完***
第三篇：研究性学习论文
研究性学习论文
挖掘人文内涵培养健全人格
重庆市梁平中学熊健
人格是“个人的一些意识倾向与各种稳定而独特的心理特征的总和。

”（《中国大百科全书》教育卷）它大致包括以下几个方面的内容：气质、性格、能力、兴趣、爱好、需要、理想、信念等。

它的形成是由多种因素（遗传、学习、文化生活、自我意识等）共同作用的结果。

那么，何谓健全人格呢？关于这个问题，不同的人有不同的理解。

我认为，健全人格是各种人格特征的完备结合。

对中学生而言，健全的人格表现在：内部心理和谐发展；能够较好地适应环境，积极乐观地去改善环境；能够建立和谐的人际关系，正确处理人际关系，发展友谊；意志坚定，勤奋进取；敢于拼搏，勇于创新；乐于奉献，并有强烈的求知欲；不逃避困难，更不惧怕困难；有较强的承受挫折能力；可以适当调节自己的情绪，胜不骄，败不馁等。

健全的人格不仅直接关系到学生健康的成长，也关系到今后社会性活动的效果和事业的成败，它的重要性是勿庸置疑的。

我校是重庆市重点中学之一。

自扩招以来，学生人数年年递增，他们来自全县各地，有农村的，也有城镇的；有家庭经济困难的，也有家庭经济富裕的；有父母双双在外打工的，也有父母离异的等。

尽管他们来校后学习刻苦、生活简朴、尊师守纪、成绩优秀，有不少还成为学校全体学生的学习榜样，并对学校建立勤奋好学的校风起到了积极的作用。

但各自的家庭背景和应试教育的弊端让他们依然存在以下问题，如：群体意识淡漠，学习动机相对单一，心胸不够开阔，思
维不够活跃，创新意识不足，少部分同学还有比较严重的心理问题等。

同时，还有不少学生受社会变革和环境的影响，传统的价值观念已经动摇，甚至可以说被急剧的社会变动震荡得支离破碎，其维系人心的作用日趋削弱。

在当前一个价值真空、信仰危机的时代，他们的道德水准、审美情趣和情感水平都在不断变化。

大众传媒，尤其是影像带来的负面影响，使不少学生喜欢浅尝辄止，不愿深入思考；喜欢庸俗无聊而不懂得欣赏美，追求美；习惯被人爱，而又不知爱别人；甚至演变出打架、逃学的事件。

由上述所存在的问题，可以看出当前我校青年学生中不同程度地存在着较多影响他们今后发展的人格方面的缺陷，而教育的关键是培养审美情感、铸造美好心灵、陶治高尚情操、塑造学生独立自尊的人格，健全的人格。

那么，怎样来培养学生的健全人格呢？结合我校开展的研究性学习，我对此作了一番探索。

一、确定内容
《普通高中语文课程标准（实验）》将语文课程的性质定义为：“语文是最重要的交际工具，是人类文化的重要组成部分。

工具性与人文性的统一，是语文课程的基本特点。

”同时明确指出：“语文课程具有丰富的人文内涵和很严密的
1实践性。

应该重视语文的熏陶作用和教学内容的价值取向，尊重学生在学习过程中的独特体验。

”可见，语文课程淀积着“丰富的人文内涵”。

首先，从语文课程选择的教学内容来看，语文属于人文社会科学。

从必修课的五个模块到选修课的五个系列，几乎涉及到了人文科学的各个方面。

这样的课程内容不光反映了语文课程是“最重要的交际工具”，而且是“人类文化的重要组成部分”；语文课程不光是认知体系的，而且还是价值体系、伦理体系的。

这正好体现了语文课程“丰富的人文内涵”。

其次，从语文课程标准阐述的课程理念来看，语文课程植根于人文精神。

语文课程理念明确指出，要充分发挥语文课程的育人功能，“使学生受到优秀的文化熏陶，塑造热爱祖国和中华文明、献身人类
进步事业的精神品格，形成健康美好的情感和奋发向上的人生态度”；“应关注学生情感的发展，让学生受到美的熏陶，培养自觉的审美意识和高尚的审美情趣”。

人文中国，自古以来就有“捐驱赴国难，视死忽如归”的爱国精神，有“老吾老以及人之老，幼吾幼以及人之幼”的仁爱之心，有“礼之用，和为贵”的宽容之心，有“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”的气节操守等等，这些都是中华民族灵魂深处的精神支柱。

今天，古老的人文精神更散发出新的浓郁的人文气息，有关爱他人，乐于奉献的公德意识，有开拓创新，勇于拼搏的进取精神，有关心他人比关心自己为重的大公无私的高尚品质等等，所有这些，都是语文课程理念赖以确立和发展的灵魂内核、精神支柱。

中华民族这种源远流长的人文精神正是语文课程理念植根的丰厚沃土，是语文课程人文内涵的丰富之所在。

再次，从语文课程目标看，语文展现着巨大的人文魅力。

语文课程目标要求学生通过阅读古今中外的优秀作品，“感受艺术和学科中的美，提升审美境界”，“体会中华文化的博大精深、源远流长，陶冶性情，追求高尚的情趣，提高道德修养”。

让学生自觉地走进作品，同作品中的人物同悲喜、共呼吸；让作品人文的春风，吹开他们美好的情感，让作品人文的细雨，浇开他们娇艳的心花，让作品人文的魅力，塑就他们良好的思想品质、道德品质、个性人格和审美情趣，这正体现了语文课程人文内涵丰富的巨大魅力。

由此可见，语文教材为我们提供了丰富的人格教育资源。

为配合学校开展的研究性学习，也为弥补平时人文性教学的不足，我决定以现行高中语文教材一至四册的课文为内容，指导学生挖掘其中的人文内涵，培养学生健全的人格。

二、具体做法
首先，教师作研究性学习前的指导性讲解。

其内容如下：
1、让学生说出或写出两个问题。

一是你认为健全的人格表现在哪些方面，二是举例说明我们学习生活中人格不健全的现象。

此环节主要是让学生了解什么是健全的人格以及人格不健全的危害。

2、结合社会现实和今后社会对人才的需求，指出培养健全人格的
重要性和紧迫性。

目前我们的学生即将进入高三，面对多元的价值观念和多元的道德观念及社会上各种消极现象、丑恶现象的冲击，他们已有了一定的分辨能力和自控能力，但对健全人格的重要性和紧迫性没有考虑那么多。

教师生动的讲解和真实的事例就是要他们对此引起高度重视。

3、指导学生如何挖掘课文中的人文内涵。

（1）、把握作家的人生历程，挖掘其高尚的人生品质和独特的人格魅力。

如：经历坎坷的白居易、超脱旷达的苏东坡、愤事嫉俗的辛弃疾以及“忍把浮名，换了浅斟低唱”的才子词人柳永……教师通过绘声绘色的讲解定能激发学生对自己喜欢的作家的人格的研究兴趣，从而让学生的人格在潜移默化中得到感染和健全。

（2）、把握作品中的形象，学习其正面积极向上的精神。

如《勾践灭吴》中的勾践，我们可以学习他在困境中不气馁、不沉论，卧薪尝胆，励精图治的精神。

再如鲁迅先生的《呐喊<自序>》，我们可以学习作者严于解剖自己，努力追求真理，探索救国救民道路的革命精神。

又如李白的《梦游天姥吟留别》，我们可以学习诗人不与权贵同流合污，积极追求个性解放的精神。

（3）、体会作家在作品中蕴含的情感，结合自身实际，健全自我人格。

如舒婷的《致橡树》，我们可以挖掘出两个人文内涵:一是诗人渴求提倡的独立平等而又互相依存、亲密无间的爱情观，二是独立自尊的伟大人格。

再如余秋雨的《道士塔》，我们可以培养爱护中国文化遗产的意识和保护文化遗产的高度责任感，同时可以学习作者强烈的忧患意识。

其次，提出学习要求。

1、分组：按班分成四个大组，每组学习一册课文（当然内容也可以自选）；每组设一个组长，两个副组长，他们负责组织本组成员的研究性学习。

2、每组将分散学习的材料收集起来，然后研究归纳，找出其相近的，并予以归类。

3、每人结合自己的学习情况，写一篇心得体会。