(精品人教)2020届高考数学一轮复习 第七章 课堂达标37 直线、平面平行的判定及性质 文 新人教版

课堂达标(三十七) 直线、平面平行的判定及性质
[A 基础巩固练]
1．(2018·保定月考)有下列命题：
①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； ②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若直线a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；
④若直线a ∥b ，b ∥α，则a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
[解析] 命题①：l 可以在平面α内，不正确；命题②：直线a 与平面α可以是相交关系，不正确；命题③：
a 可以在平面α内，不正确；命题④正确，故选A.
[答案] A
2．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．在平面内
D ．不能确定
[解析] 如图，由AE EB ＝
CF
FB
得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ，所以AC ∥平面DEF .
[答案] A
3．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是( )
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④
[解析] 由线面平行的判定定理知图①②可得出AB ∥平面MNP . [答案] A
4．如图所示，在空间四边
形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( ) A ．BD ∥平面EFGH ，且四边形EFGH 是矩形 B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形 C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是菱形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是平行四边形
[解析] 由AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4知EF ∥BD ，且EF ＝1
5BD ，∴EF ∥平面BCD .又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，
∴HG ∥BD ，且HG ＝1
2
BD ，∴EF ∥HG 且EF ≠HG .∴四边形EFGH 是梯形．
[答案] B
5．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，且PQ ∥AC ，则下列命题中，错误的是( )
A ．AC ⊥BD
B ．A
C ∥截面PQMN
C ．AC ＝BD
D ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°
[解析] 由题意可知PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM ，
所以AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确，由PN ∥BD 可知，异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，又四边形PQMN 为正方形，所以∠MPN ＝45°，故D 正确；而AC ＝BD 没有论证来源．
[答案] C
6．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD ­A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
[解析] 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ， ∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，
∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)．∴③是正确的； 对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即1
2
BE ·BF ·BC ＝V .
∴BE ·BF ＝2V
BC
(定值)，即④是正确的，故选C.
[答案] C
7．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；
④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有______．(填写所有正确命题的编号)
[解析] 当m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β时，两个平面的位置关系不确定，故①错误，经判断知②③④均正确，故正确答案为②③④.
[答案] ②③④
8．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则
BD 的长为______．
[解析] 如图1，∵AC ∩BD ＝P ，
∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .
∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD .∴PA AC ＝PB
BD
， 即69＝8－BD BD ，∴BD ＝245
.
如图2，同理可证AB ∥CD . ∴
PA PC ＝PB PD ，即63＝BD －88
， ∴BD ＝24，
综上所述，BD ＝24
5或24.
[答案]
24
5
或24 9．如图，空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值范围是______．
[解析] 设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝
EH
BD
＝1－k ，
∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k . 又∵0<k <1，∴周长的取值范围为(8,10)． [答案] (8,10)
10．(2018·湖北武汉五月模拟)如图，四棱锥中P ­ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△PAB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点．
(1)求证：AE ∥平面PCD ； (2)求四棱锥P ­ABCD 的体积．
[解] (1)证明：因为，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，E 是BC 的中点，所以AD ∥CE ，且AD ＝CE ， 所以四边形ADCE 是平行四边形，所以AE ∥CD . 因为AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AE ∥平面PCD ；
(2)连接DE 、BD ，设AE 交BD 于O ，连PO ， 则四边形ABED 是正方形，所以AE ⊥BD .
因为PD ＝PB ＝2，O 是BD 中点，所以PO ⊥BD . 则PO ＝PB 2
－OB 2
＝4－2＝ 2. 又OA ＝2，PA ＝2，
所以△POA 是直角三角形，则PO ⊥AO . 因为BD ∩AE ＝O ，所以PO ⊥平面ABCD . 则V P ­ABCD ＝13×2×1
2
(2＋4)×2＝2 2.
[B 能力提升练]
1．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，G 为MC 的中点．则下列结论中不正确的是( )
A ．MC ⊥AN
B ．GB ∥平面AMN
C ．平面CMN ⊥平面AMN
D ．平面DCM ∥平面ABN
[解析] 显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(图略)，作AN 的中点H ，连接HB ，MH ，GB ，则MC ∥HB ，又HB ⊥AN ，所以MC ⊥AN ，所以A 正确；由题意易得GB ∥MH ，又GB ⊂平面AMN ，MH ⊂平面AMN ，所以GB ∥平面AMN ，所以B 正确；因为AB ∥CD ，DM ∥BN ，且AB ∩BN ＝B ，CD ∩DM ＝D ，所以平面DCM ∥平面ABN ，所以D 正确．
[答案] C
2．在三棱锥S ­ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，
SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H ，且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果
直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为( )
A.452
B.4532
[解析] 取AC 的中点G ，连接SG ，BG .
易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ， 故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .
因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE . 又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊1
2AC 綊DE ，
所以四边形DEFH 为平行四边形． 又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，
所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形， 其面积S ＝HF ·FD ＝12AC ·12SB ＝45
2.
[答案] A
3．如图所示，设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a
3
，过B 1，D 1，P 的平面交平面
ABCD 于PQ ，Q 在直线CD 上，则PQ ＝______.
[解析] ∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD ＝PQ ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，
∴B 1D 1∥PQ .
又∵B 1D 1∥BD ，∴BD ∥PQ ， 设PQ ∩AB ＝M ，∵AB ∥CD ， ∴△APM ∽△DPQ . ∴
PQ PM ＝PD
AP
＝2，即PQ ＝2PM .
又知△APM ∽△ADB ，∴PM BD ＝
AP AD ＝1
3
，
∴PM ＝13BD ，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a .
[答案]
22
3
a 4．如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于棱AB 和CD ，试问截面EFGH 的四个点在棱AD 、AC 、BC 、BD 的______时，面积最大．
[解] ∵AB ∥平面EFGH ，
平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG ，EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，
∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．
设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α(α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝
CG
BC
， y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝b
a
(a －x )， ∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·b
a ·(a －x )·sin α＝
b sin α
a
x (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴
b sin αa x (a －x )≤ab sin α
4
， 当且仅当x ＝a －x 时等号成立．此时x ＝a
2，y ＝b
2
.
即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大．
5．平面内两正方形ABCD 与ABEF ，点M ，N 分别在对角线AC ，FB 上，且AM ∶MC ＝FN ∶NB ，沿AB 折起，使得∠
DAF ＝90°.
(1)证明：折叠后MN ∥平面CBE ；
(2)若AM ∶MC ＝2∶3，在线段AB 上是否存在一点G ，使平面MGN ∥平面CBE ？若存在，试确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)证明：如图，设直线AN 与直线BE 交于点H ，连接CH ，
因为△ANF ∽△HNB ，所以FN NB ＝
AN NH .又AM MC ＝FN NB ，所以AN NH ＝AM
MC
，所以MN ∥CH .又MN ⊄平面CBE ，CH ⊂平面CBE ，所以MN ∥平面CBE .
(2)存在，过M 作MG ⊥AB ，垂足为G ，连接GN ，则MG ∥BC ，所以MG ∥平面CBE .又MN ∥平面CBE ，MG ∩MN ＝M ，所以平面MGN ∥平面CBE .所以点G 在线段AB 上，且AG ∶GB ＝AM ∶MC ＝2∶3.
[C 尖子生专练]
如图，几何体E ­ABCD 是四棱锥， △ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .
(1)求证：BE ＝DE ；
(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . [解] (1)证明：如图①，取BD 的中点O ，连接CO ，EO . 由于CB ＝CD ，所以CO ⊥BD ，
图①
又EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，CO ，EC ⊂平面EOC ，所以BD ⊥平面EOC ，因此BD ⊥EO ，又O 为BD 的中点，所以BE ＝
DE .
(2)证法一：如图②，取AB 的中点N ，连接DM ，DN ，MN ， 因为M 是AE 的中点，所以MN ∥BE .
图②
又MN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，∴MN ∥平面BEC .又因为△ABD 为正三角形，所以∠BDN ＝30°，又CB ＝CD ，∠
BCD ＝120°，因此∠CBD ＝30°，所以DN ∥BC .又DN ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以DN ∥平面BEC .
又MN ∩DN ＝N ，故平面DMN ∥平面BEC ，又DM ⊂平面DMN ，所以DM ∥平面BEC .
证法二：如图③，延长AD ，BC 交于点F ，连接EF . 因为CB ＝CD ，∠BCD ＝120°，
所以∠CBD ＝30°.因为△ABD 为正三角形，所以∠BAD ＝60°，∠ABC ＝90°，因此∠AFB ＝30°，所以AB ＝1
2AF .
又AB ＝AD ，所以D 为线段AF 的中点，连接DM ，由点M 是线段AE 的中点，因此DM ∥EF .又DM ⊄平面BEC ，EF ⊂平面
BEC ，所以DM ∥平面BEC .。