(江苏专用)2017版高考数学 专题2 函数概念与基本初等函数 14 函数模型及其应用 文

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学专题2 函数概念与基本初
等函数 14 函数模型及其应用文
提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
2．(2015·广东江门普通高中调研测试)某农户建造一间背面靠墙的小房，已知墙面与地面垂直，房屋所占地面是面积为12 m2的矩形，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 200元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？
3．铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过50 kg，按0.25元/kg计算；超过50 kg而不超过100 kg时，其超过部分按0.35元/kg计算，超过100 kg时，其超过部分按0.45元/kg计算．设行李质量为x kg，托运费用为y元．
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若行李质量为56 kg，托运费用为多少？
4．(2015·湖北曾都、枣阳、襄阳、宜城一中期中)国庆期间襄阳某体育用品专卖店抓住商机大量购进某特许商品进行销售，该特许产品的成本为20元/个，每日的销售量y (单位：个)与单价x (单位：元)之间满足关系式y ＝
a
x －20
＋4(x －50)2
，其中20<x <50，a 为常数．当销售价格为40元/个时，每日可售出该商品401个． (1)求a 的值及每日销售该特许产品所获取的总利润L (x )； (2)试确定单价x 的值，使所获得的总利润L (x )最大．
5.如图所示，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1)P 或
P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110
；(2)
其他面的淋雨量之和，其值为1
2
.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积
S ＝32
时，
(1)写出y 的表达式；
(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．
答案解析
1．解 设客房日租金每间提高2x 元，则每天客房出租数为300－10x ， 由x ＞0，且300－10x ＞0得：0＜x ＜30，设客房租金总收入为y 元， 则有：y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20(x －10)2
＋8 000(0＜x ＜30)． 由二次函数性质可知当x ＝10时，y max ＝8 000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40(元)时，客房租金总收入最高，为每天8 000元．
2．解 设房屋地面长为y m ，宽为x m ，总造价为z 元(x ，y ，z >0)， 则xy ＝12，z ＝3y ×1 200＋2×3x ×800＋5 200. ∵y ＝12x
，
∴z ＝12×3 600x
＋4 800x ＋5 200.
∵x >0，y >0，∴z ≥2 12×3 600
x
×4 800 x ＋5 200＝34 000.
当
12×3 600
x
＝4 800x ，即x ＝3时，z 取最小值，最小值为34 000元．
答 房屋地面长4 m ，宽3 m 时，总造价最低，最低总造价为34 000元． 3．解 (1)设行李质量为x kg ，托用费用为y 元， ①若0<x ≤50，则y ＝0.25x ；
②若50<x ≤100，则y ＝12.5＋(x －50)×0.35； ③若x >100，则y ＝30＋0.45×(x －100)． 所以，由①②③可知y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
0.25x ，0<x ≤50，12.5＋
x －，50<x ≤100，30＋x －，x >100.
(2)因为50 kg<56 kg≤100 kg， 所以y ＝12.5＋6×0.35＝14.6(元)． 故若行李质量为56 kg ，托运费用为14.6元． 4．解 (1)由y ＝
a
x －20
＋4(x －50)2
，取x ＝40，y ＝401，
得401＝a
40－20＋4(40－50)2
，解得a ＝20.
所以y ＝
20x －20
＋4(x －50)2
，则每日销售该特许产品所获取的总利润为 L (x )＝y (x －20)＝[20
x －20
＋4(x －50)2](x －20)＝20＋4(x －50)2
(x －20)(20<x <50)．
(2)由L (x )＝20＋4(x －50)2(x －20)＝4x 3－480x 2
＋18 000x －199 980， 得L ′(x )＝12x 2
－960x ＋18 000＝12(x －30)(x －50)． 当x ∈(20,30)时，L ′(x )>0，L (x )为增函数； 当x ∈(30,50)时，L ′(x )<0，L (x )为减函数． 所以当x ＝30时，L (x )max ＝16 020.
所以当销售单价为30元/个时，所获得的总利润L (x )最大．
5．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋1
2，
故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫3
20|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)． (2)由(1)知：当0<v ≤c 时，y ＝5
v
(3c －3v ＋10)＝
c ＋v
－15；
当c <v ≤10时，y ＝5
v (3v －3c ＋10)＝
－3c
v
＋15.
故y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
c ＋
v
－15，0<v ≤c ，
－3c
v
＋15，c <v ≤10.
①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c
2.
②当10
3<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；
在(c,10]上，y 是关于v 的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50
c
.。