3数据分布特征的统计描述
【论文资料】《统计学》数据分布特征的统计描述练习
第三章数据分布特征的统计描述练习题一、单项选择题1、一组数据排序后处于25%和75%位置上的值称为（）A、众数B、中位数C、四分位数D、均值2、离散系数的主要用途是（）A、反映一组数据的离散程度B、反映一组数据的平均水平C、比较多组数据的离散程度D、比较多组数据的平均水平3、离散系数（）A、只能消除一组数据的水平对标准差的影响B、只能消除一组数据的计量单位对标准差的影响C、可以同时消除数据的水平和计量单位对标准差的影响D、可以准确反映一组数据的离散程度4、峰态通常是与标准正态分布相比较而言的，如果一组数据服从标准正态分布，则峰态系数的值（）A、等于0B、大于0C、小于0D、等于15、如果峰态系数K＞0，表明该组数据是（）A、尖峰分布B、扁平分布C、左偏分布D、右偏分布6、某大学经济管理学院有1200名学生，法学院有800名学生，医学院有320名学生，理学院有200名学生。
在上面的描述中，众数是（）A、1200B、经济管理学院C、200D、理学院7、某居民小区准备采取一项新的物业管理措施，为此，随机抽取了100户居民进行调查，其中表示赞成的有69户，表示中立的有22户，表示反对的有9户，描述该组数据的集中趋势宜采用（）A、众数B、中位数C、四分位数D、均值8、甲、乙两组工人的平均日产量分别为18件和15件。
若甲、乙两组工人的平均日产量不变，但是甲组工人数占两组工人总数的比重下降，则两组工人总平均日产量（）A、上升B、下降C、不变D、可能上升，也可能下降9、权数对平均数的影响作用取决于（）。
在统计计算中，用来衡量总体中各单位标志值在总体中作用大小的数值叫权数。
A、各组标志值的大小B、各组的次数多少C、各组次数在总体单位总量中的比重D、总体单位总量10、当各个变量值的频数相等时，该变量的（）A、众数不存在B、众数等于均值C、众数等于中位数D、众数等于最大的数据值11、有8名研究生的年龄分别为21，24，28，22，26，24，22，20岁，则他们的年龄中位数为（）A、24B、23C、22D、2112、下列数列平均数都是50，在平均数附近离散程度最小的数列是（）A、0 20 40 50 60 80 100B、0 48 49 50 51 52 100C、0 1 2 50 98 99 100D、0 47 49 50 51 53 10013、如果你的业务是提供足球运动鞋的号码，那么，哪一种平均指标对你更有用？（）A、算术平均数B、几何平均数C、中位数D、众数14、假定某人6个月的收入分别是1800元，1840元，1840元，1840元，1840元，8800元，反映其月收入一般水平应该采用（）A、算术平均数B、几何平均数C、众数D、调和平均数15、某组数据分布的偏度系数为正时，该数据的众数、中位数、均值的大小关系是（）A、众数＞中位数＞均值B、均值＞中位数＞众数C、中位数＞众数＞均值D、中位数＞均值＞众数二、填空题1、某班的经济学成绩如下表所示：43 55 56 56 59 60 67 69 73 75 77 77 78 79 80 81 82 83 83 83 84 86 87 88 88 89 90 90 95 97该班经济学成绩的平均数为，众数为，中位数为，上四分位数为，下四分位数为，四分位差为，离散系数为。
[高等教育]第3章数据分布特征的统计描述习题
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第三章 数据分布特征的统计描述思考与练习一、选择题 1．有n 辆汽车在同一距离的公路上行驶的速度资料,确定汽车平均每小时行驶速度的平均数公式是：〔 C 〕A ．n x∑B ．∑∑fxf C ．∑x n 1D ．∑∑xm m2．权数对加权算术平均数的影响,取决于〔B 〕A. 权数所在组标志值的大小；B. 权数的大小；C. 各组单位数的多少；D. 总体单位数的多少 3．是非标志不存在变异时,意味着：〔B,C 〕A. 各标志值遇到同样的成数；B. 所有单位都只具有某种属性C. 所计算的方差为0；D. 所计算的方差为0.25 4．能够综合反映总体各个单位标志值的差异,对总体标志变异程度作全面客观评定的指标有〔A,C 〕A.方差B.算术平均数C.标准差D.全距二、判断题1．甲乙两地,汽车去程时速20公里,回程时速30公里,其平均速度为25公里。
[答]错。
本题应采用调和平均法计算平均速度。
2．权数起作用的前提是各组的变量必须互有差异。
[答]对。
3．变量同减某个数再同除于另一数然后求其方差,其方差等于原方差乘于除数的平方。
[答]对。
4．与平均数相比,中位数比较不受极端值的影响。
[答]对。
三、计算题 1．甲乙两企业生产三种产品的单位成本和总成本资料如下表,试比较哪个企业的平均成本高,并分析其原因。
[解]甲企业的平均成本210030001500660019.4118210030001500340152030++===++乙企业的平均成本325515001500625518.2895 325515001500342152030++===++由上面的计算得知,甲企业的平均成本高于乙企业。
因为乙企业单位成本低的A产品生产的数量多,占总成本一半以上,即成本低的产品相对权数大,而甲企业生产单位成本低的A产品数量少,仅占总成本的31.8%〔=2100/6600〕。
由于权数的作用,乙企业的平均成本低于甲企业。
2．甲、乙两市场农产品价格与成交量资料如下表,试比较哪个市场的平均价格高,并分析其原因。
数据分布特征的三个统计描述维度
数据分布特征的三个统计描述维度现如今生活处处有数据，而我们接触到的数据可以分为连续型数据或者离散型数据。
连续数据的取值范围是可以取连续值的区间，即连续值可以是区间内的任意值，一般都有度量单位。
离散数据的范围由有限数量的值或序列组成。
对数据集使用合适的描述性指标，可以帮助我们探索庞大无序的数据背后隐藏的事实。
描述数据集的三个维度是指对数据集中趋势的描述、对数据分散程度的描述和对数据分布形式的描述。
一、集中趋势描述1.算术平均数 Arithmetic Mean：所有数值的和除以数值的个数。
用于描述一组数据在数量上的平均水平。
计算公式：优缺点：算术平均数是能够充分运用已有信息的代表性数值，每个数值大小的改变都会引起其变化。
也因此容易受极值的影响，并且会掩盖数据的差异性。
示例：最近更新了2018年度深圳在岗职工的月平均工资，达到了9309元。
这就是一个算术平均值的实际应用。
还是要保持进步，争当排头兵而非吊车尾呀。
2.几何平均数 Geometric Mean：对各数值的连乘积开项数次方根。
一般用于当总成果为各个阶段（环节）的连乘积时，求各个阶段（环节）的一般成果。
计算公式：优缺点：几何平均数受极端值的影响比均值小。
但仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。
示例：连续作业的车间求产品的平均次品率。
一个产品的生产由三个环节组成。
每个环节都会产生一定的次品。
次品率依次为5%、2%、6%，求这个产品的平均次品率。
因为每个环节都是依次发生的，需要完成上一个环节的合格产品才能进入下一个环节，所以每个环节的不良率是一个产品关系。
依照上式结果可知，该产品整个生产环节的平均次品率为3.91%。
3.中位数 Median：将数值从小到大依次排列，最中间的数值为中位数。
若数值个数为奇数个时，为中间位置的数值；若数值个数为偶数个时，为中间两个数的算术平均数。
优缺点:不受极值影响，通过丢失一些信息来换取指数的稳定性。
但对极值缺乏敏感性，样本量较小时中位数不稳定。
概率与数理统计第3章 数据分布特征的描述
第3章数据分布特征的描述[引例]根据国家统计局对全国31个省（自治区、直辖市）7.4万户农村居民家庭和6.6万户城镇居民家庭的抽样调查，2011年城乡居民收入增长情况如下1：2011年全国农村居民人均纯收入6977元，比上年增加1058元，增长17.9%。
剔除价格因素影响，实际增长11.4%，增速同比提高0.5个百分点。
其中，人均工资性收入2963元，同比增加532元，增长21.9%。
工资性收入对全年农村居民增收的贡献率达50.3%。
工资性收入占农村居民纯收入的比重达42.5%，同比提高1.4个百分点。
2011年农村居民人均纯收入中位数为6194元，比上年增加995元，增长19.1%。
农村居民人均纯收入中位数比人均纯收入低783元，但增速高1.2个百分点。
2011年城镇居民人均总收入23979元，其中，人均可支配收入21810元，比上年增加2701元，增长14.1%。
剔除价格因素影响，城镇居民人均可支配收入实际增长8.4%，增速同比提高0.6个百分点。
2011年城镇居民人均可支配收入中位数为19118元，比上年增加2279元，增长13.5%。
城镇居民人均可支配收入中位数比人均可支配收入低2692元，增速低0.6个百分点。
主要是受最低工资标准、城镇居民基本养老金和离退休金以及最低生活保障标准提高影响，城镇低收入户收入增速较高；同时高收入户也保持了较快的增长速度，所以中等收入户增速相对较慢。
2011年城镇居民人均可支配收入与农村居民人均纯收入之比为3.13：1，2010年该收入比为3.23:1。
本章小结1．总量指标是说明现象总规模和总水平的数值，又称为绝对数。
绝对数的计量单位有实物单位和价值量单位。
按反映总体内容不同，总量指标可分为总体单位总量和总体标志总量；按反映的时间状况不同，总量指标可分为时期指标和时点指标。
2．将两个有联系的数值对比得到的比率称为相对数。
相对数既有无名数形式也有复名数形式。
根据研究目的和对比基础的不同，有结构相对数、比例相对数、计划完成程度相对数、比较相对数、动态相对数和强度相对数等。
统计学第3章数据分布特征描述
3．分析现象之间的依存关系。 如研究劳动者文化程度与收入的关系。
4．（数值）平均指标是推断统计中的重要 统计量，是进行统计推断的基础。
几种常见的位置特征数
N
MH
N
i 1
1
1 xi
wi
wi
i 1
N
i 1
1 xi
wi
N
wi
i 1
MH
1 N1
N N1
i1 xi i1 xi
N
k0:几何平均数 加权
N
M G i 1w i x 1 w 1x2 w 2 xN w N
简单
M G N x 1x 2 x N
fi
i1
i 1(xifi)254 674 58 012 1110 ％ 01.7 1％
n(xifi) i1 xi
1 2％ 6 56 1 4％ 0 75 1 4％ 2 80 10350
（四）几何平均数（Geometric mean）
简单几何平均数— n个变量值连乘积的n次方根。
n（xi x)2 min
i1
性质（3）证明：
（三）调和平均数（Harmonic mean）
调和平均数，也称倒数平均数。 各变量值倒数（1/xi）的算术平均数的倒数。 计算公式为：
n
xHx11m1x12m12... x1nmn
m1m2... mn
m1m2 ... mn
与单项式分组资料一样，采用加权算术平均数计算。
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述
概率与数理统计第3章数据分布特征的描述概率与数理统计是一门关于随机现象的描述和分析的学科。
在实际问题中，我们经常需要对数据进行分析和描述，以便更好地理解数据的特征和规律。
第三章主要介绍了数据分布的特征描述，包括中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量。
首先是中心位置度量，它用来描述数据集的平均水平。
一般来说，我们关心的是数据集的平均值和中位数。
平均值是数据的加权平均，它能够反映数据集的集中趋势。
平均值的计算公式是：```平均值=总和/观测数```中位数是按照数据的大小顺序排列后，处于中间位置的观测值。
中位数的计算方法是：```如果数据集的观测数为奇数，中位数为第(n+1)/2个观测值如果数据集的观测数为偶数，中位数为第n/2和(n/2+1)个观测值的平均值```其次是离散程度度量，它用来描述数据集的变异程度。
我们常用的度量指标有极差、方差和标准差。
极差是数据集中最大观测值与最小观测值之间的差距，它反映了数据的全局离散程度。
方差是每个观测值与数据集平均值的差的平方的平均值，它度量了数据的局部离散程度。
标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的单位，能够更好地反映数据的离散程度。
最后是分布形状度量，它用来描述数据分布的偏度和峰度。
偏度是描述数据分布对称性的度量，正偏表示数据集的右尾较重，负偏表示数据集的左尾较重。
峰度是描述数据分布峰态的度量，正峰表示数据集的峰部较陡，负峰表示数据集的峰部较平。
偏度和峰度能够帮助我们了解数据分布的形态特征，从而判断数据集是否服从其中一种特定的分布。
在实际应用中，我们可以通过对数据集进行描述统计分析来了解数据的特征。
通过计算平均值、中位数、方差、标准差、偏度和峰度等指标，我们能够更好地理解数据的分布情况。
此外，我们还可以通过绘制直方图、箱线图、概率密度函数等图形来展示数据的分布特征，进一步加深对数据的认识。
总之，数据分布特征的描述是概率与数理统计中重要的内容之一、通过中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量，我们能够充分了解数据的平均水平、变异程度和形态特征，为进一步的数据分析和决策提供有力的支持。
第3章统计学数据分布特征的描述
第3章统计学数据分布特征的描述统计学是一门研究收集、分析和解释数据的学科。
在统计学中，数据分布特征的描述是指通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
数据的集中趋势描述了数据的平均水平或中心。
常用的统计量有平均值、中位数和众数。
平均值是将所有观测值相加然后除以观测值的总数，它能够反映数据的总体平均水平。
然而，当数据包含异常值时，平均值的计算结果可能会受到影响。
因此，中位数和众数在这种情况下被认为是更稳健的集中趋势度量。
中位数是将数据按大小排序，然后找出中间位置的观测值。
众数是数据中出现次数最多的观测值。
数据的离散程度描述了数据的变异程度或分散程度。
常用的统计量有方差、标准差和四分位差。
方差是观测值与均值之间差异的平方的平均值，它反映了数据的总体离散程度。
标准差是方差的平方根，用于衡量数据的波动性。
四分位差是数据的上四分位数和下四分位数之差，它描述了数据的中间50%的变异程度。
数据的分布形态描述了数据的形状和对称性。
常用的分布形态有正态分布、偏态分布和峰态分布。
正态分布是最常见的分布形态，其特点是对称、钟形曲线。
偏态分布是指数据分布不对称的情况，主要分为正偏态和负偏态。
正偏态分布意味着数据的尾部偏向右侧，负偏态分布则意味着数据的尾部偏向左侧。
峰态分布用于描述数据的峰值的尖锐程度，主要分为正态分布、高峰态和低峰态。
除了统计量，还可以使用图表来对数据分布特征进行描述。
常用的图表包括直方图、箱线图和散点图。
直方图是通过将数据分组并在坐标轴上绘制各组的频率或相对频率来展示数据的分布形态。
箱线图通过绘制数据的分位数和异常值来展示数据的中位数、四分位数和离群观测值。
散点图用于展示两个变量之间的关系，特别适用于发现变量之间的相关性和异常值。
综上所述，统计学中的数据分布特征描述是通过一系列统计量和图表来描述数据的集中趋势、离散程度和分布形态等特征。
这些描述能够帮助我们更好地理解数据，并对数据进行分析和解释。
数据分布特征的描述讲解
数据分布特征的描述讲解数据分布特征描述是统计学中对一组数据进行概括和描述的过程。
我们通常使用中心趋势和离散程度来描述数据分布的特征。
中心趋势是指数据集中的一个值，代表数据的代表性，常用的中心趋势措施包括均值、中位数和众数。
离散程度则是指数据的变异程度，包括范围、方差、标准差和四分位距等。
首先，均值是一组数据的中心趋势的一个常用度量。
它是所有数据值的总和除以数据的个数。
均值具有很强的代表性，尤其对于正态分布的数据而言。
均值的计算公式为：mean = (x1 + x2 + ... + xn) / n。
其次，中位数是数据集中的一个特殊值，将数据按照大小排列后，处于中间位置的数即为中位数。
中位数不受极端值的影响，能够更好地反映数据的集中趋势。
对于偶数个数据，中位数为中间两个数的平均值；对于奇数个数据，中位数为中间一个数。
中位数的计算可以通过将数据按照大小排列，然后找到中间位置的数来得出。
此外，众数是数据集中出现频率最高的值，可以是一个或多个。
众数对于描述数据的集中趋势也具有一定的代表性。
众数的计算可以通过建立频数分布表，然后找到出现次数最多的数来得出。
除了中心趋势，离散程度也是描述数据分布特征的重要度量。
范围是测量数据分布范围的最简单方式，它是一组数据中的最大值减去最小值。
范围对于描述数据的离散程度有一定的指示作用，但它受极端值的影响较大，不能完全反映整体数据的变异程度。
方差是衡量数据分布离散程度的一种指标，它表示数据偏离均值的程度。
方差的计算公式为：variance = Σ(xi - mean)² / n，其中xi为每个数据值，mean为均值，n为数据个数。
方差越大，数据的离散程度也越大。
标准差是方差的正平方根，它具有和原始数据单位一致的度量标准，常用于度量数据的波动性。
标准差的计算公式为：standard deviation = √variance。
四分位距是一种度量数据分布离散程度的方法，它是数据按从小到大排列后，第25%分位数和第75%分位数之间的差值。
数据分布特征的统计描述
x xx1x2...xn
n
n
均值，即算术平均数
x 标志值或变量值
见49页例题
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2、加权法：分组且各组标志值出现的次数 （权数 f ）不相等时，公式：
x xfx1f1x2f2...xnfn
f
f1f2...fn
x 为标志值，又称变量值； f 为各组标志值出现的次数
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某厂工人生产情况
第三章 数据分布特征的统计描述
除了统计图和统计表之外，还可以用少量 的特征值（代表值）对数据分布的数量规 律进行精确、简洁的描述。
1
离中趋势：即反映各数据远离中心值的程度 因为即使现象的集中趋势相同，其离中趋势 也可能不同。
离中趋势 (分散程度)
两个不同的曲线表示两个不同的总体，它们的 集中趋势相同但离中趋势不同。
“150个企业的平均计划完成百分数” 就是“150个企 业总的计划完成百分数”。
企业总计划完成百分数 = 总实际数 / 总计划数
计划完成 百分数％ 105~110 110~120 120~130
合计
企业 数n 30 70 50 150
计划产值 f
5700 20500 22500 48700
x
xf
％ 实际值
m 1m x
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举例:
某蔬菜单价早中晚分别为0.5、0.4、 0.25（元/斤） （1）早中晚各买1元，求平均价格 （2）早中晚各买1斤，求平均价格 （3）早中晚各买2元、3元、4元，求平均价格 （4）早中晚各买2斤、3斤、4斤，求平均价格
47
（1）问：用调和平均。先求早、中、晚购买的斤 数。早 1/0.5=2(斤) 、中 1/0.4=2.5(斤)、晚 1/0.25=4(斤)
第3章 统计数据分布特征的描述
农民家庭年人均纯收入情况表 农民家庭数（户） 240 480 1 050 600 270 210 120 30 3 000
计
f M o - f M o -1
´ d M o ( f M o - f M o -1 ) + ( f M o - f M o +1 )
3.1
统计变量集中趋势的测定
统计学是关于收集、分析、表述和解释统计数据的方法论科学，她对统计数据的收集、分析、表述 和解释虽然要从每一个数据着手，但其着眼点即研究目的却是在于统计数据整体或者说研究现象的总体 特征。在一个统计总体中，每一个个体即统计单位都有自己的特征和属性，具体地就表现出不同的标志 值，我们不能用其中的某一个或某几个的标志值来代表全部数据的特征，而必须使用所有数据的代表值 来表述总体特征，这就必须测定变量的集中趋势。
1050 - 600 ´ 200 = 1551.8 （元） (1050 - 480) + (1050 - 600)
在不等距分组的条件下，众数必须根据频数密度或频率密度来计算。 众数是按照数据的位置计算的，它的长处是易于理解，不受极端数值的影响。当数据分布存在明显 的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数。但是其灵敏度、计算功能和稳定性差，具有不唯一 性，所以当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，便不适合使用众数（前者无众数， 后者为双众数或多众数，也等于没有众数） 。 2.中位数（Median） 中位数和众数一样，也是一种位置代表值，但是，它不能用于定类数据，只能在顺序及以上的数据 中使用，所以又称为次序统计量，用 Me 表示。 中位数是将总体中的数据按顺序排列后，处于数列中点位置上的那个数据值或变量值，或者说中位 数是累计频率数列中，累计频率为 0.50 所对应的变量值。 从中位数概念可见：在总体中，小于中位数的数据个数占一半，大于中位数的数据个数也占一半， 即中位数是将数据按大小顺序排列后，位于二等分点上的那个数据值。用中位数来代表总体中所有标志 值的一般水平，可以避免极端值的影响，在有的情况下更具有代表性。例如，人口的平均年龄会受到个 别特别长寿人口年龄的影响，使计算结果偏大，而年龄中位数则可以较好地体现人口年龄结构的特征， 国际上就使用人口的年龄中位数（30 岁）作为人口老龄化的一个判断标准。 中位数的确定方法，根据所掌握的数据不同而有所不同： （1）由顺序数据和未分组的数量数据确定中位数。这种情况下，确定中位数的方法是：先将总体 中的全部数据顺序排列，然后确定中位数的位置，处于中位数位置的标志值就是中位数。 顺序数据中位数的位置：
第三章练习与思考
第三章数据分布特征的统计描述学习目的和要求：通过本章的学习，掌握数据分布特征的各种描述方法；掌握不同测度方法的特点、应用条件及应用场合；能利用所学的方法对统计数据作各种统计描述。
难点释疑：(一)算术平均数通常用来反映总体分布的集中趋势，调和平均数往往只作为算术平均数的变形来使用，即在已知标志总量而未知总体单位总量的情况下计算调和平均数；而几何平均数较适用于计算平均比率和平均速度。
（二）调和平均数虽然是根据标志值的倒数计算的，但其结果不等于算术平均数的倒数。
在计算和应用平均指标时，除了考虑数理方面的要求外，更重要的是要考虑其现实的经济意义。
（三）平均数的性质是简捷计算法的基础，也是计算标志变异指标的基础。
掌握中位数和众数与算术平均数的关系的目的是能够根据其中的两个平均数大体计算出第三个平均数，并判断总体的分布状态。
（四）全距、四分位差、平均差、标准差在反映标志变异程度方面各有优缺点。
全距是描述数据离散程度的最简单测度值，它计算简单，易于理解，但不能全面反映总体各单位标志值的差异程度。
标准差与平均差的意义基本相同，但在数学性质上比平均差要优越，所以，在反映标志变动度大小时，一般都采用标准差。
标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。
（五）标准差系数的应用。
为了对比和分析不同平均水平总体的标志差异程度，就需要使用标准差系数。
它是标志变异的相对指标。
它既消除了变量数列变量值差异程度的影响，也消除了变量数列水平高低的影响。
练习题：（一）单项选择题(在下列备选答案中，只有一个是正确的，请将其顺序号填入括号内)1.平均指标反映了（）。
①总体变量值分布的集中趋势②总体分布的离散特征③总体单位的集中趋势④总体变动趋势2.加权算术平均数的大小（ ）。
①受各组标志值的影响最大 ②受各组次数的影响最大③受各组权数系数的影响最大 ④受各组标志值和各组次数的共同影响3.在变量数列中，如果变量值较小的一组权数较大，则计算出来的算术平均数（ ）。
数据分布特征的统计描述
数据分布特征的统计描述数据分布是指一组数据值在数值上的分布情况。
统计描述是用数学统计方法对数据分布进行概括和描述的过程。
通过对数据分布的统计描述，可以揭示数据的一些基本特征和规律，从而帮助我们更好地理解和分析数据。
常见的数据分布特征的统计描述包括：中心趋势、离散程度和形态特征。
中心趋势是指一组数据值的集中或平均水平。
常用的统计量有均值、中位数和众数。
均值是一组数据值的算术平均值，通过将所有数据值相加然后除以数据个数得到。
均值可以很好地反映数据的集中程度，但对于有离群值的数据分布，均值可能会受到影响。
中位数是一组数据值按照大小排列后中间的那个值。
中位数的计算不受数据的具体取值影响，适用于有离群值的数据分布。
中位数可以用来描述数据的集中程度，同时还可以提供关于数据的排序信息。
众数是一组数据值中出现次数最多的值，可以用来描述数据的集中程度。
众数可以存在多个或不存在。
离散程度是指一组数据值的分散或变异程度。
常用的统计量有极差、方差和标准差。
极差是一组数据值的最大值和最小值之间的差异。
极差不能提供关于数据的分布形态的信息，但可以描述数据的全局离散程度。
方差是一组数据值与其均值之间的差异的平方和的均值。
方差可以反映数据的整体离散程度，但由于计算中使用了平方运算，所以方差的单位与原数据不一致。
标准差是方差的平方根，具有与原数据相同的单位。
标准差可以更直观地度量数据的离散程度，且方便与均值进行比较。
形态特征是指数据分布的形态或形状。
常用的统计描述包括偏度和峰度。
偏度是数据分布的对称性的度量。
偏度为0表示数据分布呈现对称分布，大于0表示数据分布右偏，小于0表示数据分布左偏。
偏度可以帮助我们了解数据的偏斜程度，从而选择合适的数据分析方法。
峰度是数据分布的尖峰或平坦程度的度量。
峰度大于3表示数据分布具有尖峰形态，峰度小于3表示数据分布具有平坦形态。
峰度可以帮助我们判断数据是否存在异常值或是否符合正态分布的假设。
在实际应用中，以上的统计描述方法常常是结合使用的。
大学统计学 第3章 数据分布特征的描述
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25
10
222530503.175
30
5
4
50
1
2021/7/13
合计
20
2．加权算术平均数
正确的计算是：
x 2 4 2 2 1 5 0 3 5 0 5 1 0 5 3 2.8 9 6
4 1 0 5 1
20
加权算术平均数的计算公式：
n
xx1f1x2 f2 ...xn fn f1f2 ...fn
一组数据的总和除以这组数据的项数所得的结果;
最常用的数值平均数。
1．简单算术平均数
把每项数据直接加总后除以它们的项数。
通常用于对未分组的数据计算算术平均数。
计算公式：
n
xx1x2... xn
xi i1
x
n
nn
2021/7/13
例 3-1
表 3-1 解：采用简单算术平均法计算，即全体
男性 女性 队员的平均年龄为（单位：周岁）：
f
上限公式: Me L 2 Sm1 i 700 1500 720100 774.3
fm
1050
f
下限公式: Me U 2 Sm1 i 800 15001230100 774.3
fm
1050
2021/7/13
四分位数、十分位数和百分位数
四分位数是将数据由小到大排序后，位于全部数据 1/4位置上的数值。
x x f f
事实上比重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作 用的实质。
当权数完全相等（f1 =f2 =…= fn）时，加权算术 平均数就成了简单算术平均数。
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3．由组距数列计算算术平均数
表3－3
数据分布特征的描述
数据分布特征的描述1.中心趋势中心趋势主要是指数据分布的中心位置，通常使用均值、中位数和众数等统计量来描述。
-均值：均值是将所有数据相加后除以样本容量的结果，它代表了数据的平均水平。
均值对于不受异常值干扰的数据集是一个较好的描述。
-中位数：中位数是将数据按照大小排列后位于中间位置的值，它不受异常值的影响，更能反映数据的典型值。
-众数：众数是数据集中出现频率最高的值，它适用于描述具有明显峰值的分布。
2.离散程度离散程度是指数据分布的分散程度，常用统计量有范围、标准差和方差等。
-范围：范围是最大值与最小值之间的差异，它简单直观地描述了数据的离散程度。
-标准差：标准差是数据离均值的平均距离，它度量了数据的分散程度，标准差越大，数据越分散；反之，标准差越小，数据越集中。
-方差：方差是数据与均值之间偏离的平方和的平均值，它也是衡量数据离散程度的重要统计量。
3.形状形状是指数据分布的外部轮廓或曲线形状，可以通过直方图、密度图和箱线图等工具来观察。
-直方图：直方图是一种将数据划分为若干等宽区间，并统计每个区间内数据频数的图表。
通过直方图可以初步判断数据的分布形态和峰度。
-密度图：密度图可以与直方图类似地展示数据分布，但是它将每个区间内频数除以区间宽度，得到频率密度，从而更清晰地反映了概率分布。
-箱线图：箱线图主要用于描述数据的分布形态和离群点情况。
箱线图包含了最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值等统计量。
除了上述常见的描述方法，还可以使用偏度和峰度来描述数据分布的形态特征。
-偏度：偏度度量了数据分布的不对称程度。
当偏度为0时，表示数据分布是对称的；当偏度为正值时，表示数据分布右偏；当偏度为负值时，表示数据分布左偏。
-峰度：峰度度量了数据分布的尖锐程度。
峰度为正值时，表示数据分布比正态分布要尖锐；峰度为负值时，表示数据分布比正态分布要平缓。
综上所述，数据分布特征的描述主要包括中心趋势、离散程度和形状等方面的统计描述，通过这些描述可以更好地理解数据的特征，为后续的数据分析提供基础。
第三章统计数据分布特征的描述
第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中非常重要的一个概念，它用于对数据进行系统化的描述和分析。
统计数据分布特征的描述包括位置参数、散布参数和形状参数。
位置参数描述了数据集中心位置的特征。
最常用的位置参数是均值和中位数。
均值是指所有数据值的总和除以数据个数，它能够反映数据集的平均水平。
中位数是将数据值按大小排序后的中间值，它能够反映数据集的中心位置。
均值对异常值比较敏感，中位数能够较好地排除异常值的干扰。
散布参数描述了数据集的离散程度。
最常用的散布参数是方差和标准差。
方差是指每个数据值与均值之差的平方和的平均值，它能够反映数据集的离散程度。
标准差是方差的平方根，它与数据的单位相一致，常用于衡量数据的波动性。
方差和标准差越大，表示数据的离散程度越大。
形状参数描述了数据集的分布形状。
常用的形状参数包括偏度和峰度。
偏度是指数据分布的不对称程度，大于0表示右偏，小于0表示左偏，等于0表示对称。
偏度能够反映数据集的分布形态。
峰度是指数据分布的尖锐程度，大于0表示尖锐，小于0表示平坦，等于0表示与正态分布相似。
峰度能够反映数据集的尖峰或扁平程度。
除了这些常见的参数之外，还有其他一些描述统计数据分布特征的方法，如四分位数和箱线图。
四分位数是将数据分为四等分的值，它包括上四分位数、下四分位数和中位数。
上四分位数是四分之三分位数，下四分位数是四分之一分位数。
箱线图是以箱子和线段的形式展示数据分布特征，箱子的上边界和下边界分别代表上四分位数和下四分位数，箱子的中线代表中位数，箱子的长度代表数据的离散程度。
统计数据分布特征的描述对于研究数据的特征、提取有效信息以及进行统计推断都非常重要。
了解数据的位置、散布和形状特征能够帮助研究者更好地理解数据集的性质和规律。
在实际应用中，统计数据分布特征的描述还可以帮助决策者进行决策，例如对于质量控制的判断和产品的质量评估等。
综上所述，统计数据分布特征的描述是对数据集进行系统化描述和分析的重要工具。
对统计数据的分布特征，主要从哪几个方面进行描述？
对统计数据的分布特征，主要从哪⼏个⽅⾯进⾏描述？
数据分布特征可以从集中趋势、离中趋势及分布形态三个⽅⾯进⾏描述。
1、平均指标是在反映总体的⼀般⽔平或分布的集中趋势的指标。
测定集中趋势的平均指标有两类：位置平均数和数值平均数。
位置平均数是根据变量值位置来确定的代表值，常⽤的有：众数、中位数。
数值平均数就是均值，它是对总体中的所有数据计算的平均值，⽤以反映所有数据的⼀般⽔平，常⽤的有算术平均数、调和平均数、⼏何平均数和幂平均数。
2、变异指标是⽤来刻画总体分布的变异状况或离散程度的指标。
测定离中趋势的指标有极差、平均差、四分位差、⽅差和标准差、以及离散系数等。
标准差是⽅差的平⽅根，即总体中各变量值与算术平均数的离差平⽅的算术平⽅根。
离散系数是根据各离散程度指标与其相应的算术平均数的⽐值。
3、矩、偏度和峰度是反映总体分布形态的指标。
矩是⽤来反映数据分布的形态特征，也称为动差。
偏度反映指数据分布不对称的⽅向和程度。
峰度反映是指数据分布图形的尖峭程度或峰凸程度。
第三章统计数据分布特征的描述
第三章统计数据分布特征的描述统计数据分布特征的描述是统计学中的重要概念之一、它是通过对数据进行整理、组织和分析来了解数据的分布情况，帮助我们更好地理解数据的特点和趋势。
一、数据分布特征的描述方法在统计学中，数据分布特征主要通过以下两种方法进行描述：1.图形描述法：通过绘制图表来展示数据的分布情况。
常见的图形描述方法有直方图、条形图、饼图、箱线图等。
直方图是一种用于展示数据分布的图形。
它将其中一范围内的数据分成若干个等宽的区间，并统计每个区间中数据的频数或频率，然后绘制柱状图来表示。
箱线图是一种用于展示数据分布和异常值的图形。
它将数据划分为四个部分：最大值、上四分位数、中位数、下四分位数和最小值，并通过画出盒子和须来表示数据的分布情况。
2.数值描述法：通过使用统计指标和参数来描述数据的分布情况。
常见的数值描述方法有均值、中位数、众数、标准差、方差等。
均值是指将所有数据相加后再除以数据的总个数的得到的值，代表了数据的平均水平。
中位数是指将数据按大小排序后，处于中间位置的值，代表了数据的中心位置。
众数是指数据集中出现次数最多的值，代表了数据的集中趋势。
标准差是指数据在均值附近的波动程度，代表了数据的离散程度。
方差是指数据与均值之间的平均差的平方的平均值，代表了数据的离散程度。
二、数据分布特征的描述步骤要进行数据分布特征的描述，一般需要进行以下步骤：1.数据的整理和搜集：搜集所需的数据，并将其整理成适合进行分析的形式。
2.确定描述方法：根据数据的特点和目标，选择适当的图形描述法或数值描述法。
3.进行描述分析：根据所选的描述方法，对数据进行分析和计算，得出相应的描述结果。
4.解释和应用：根据描述结果，解释数据的分布特征，并根据需要进行相应的应用。
三、数据分布特征的描述应用数据分布特征的描述在实际应用中有很多用途，以下是几个常见的应用：1.判断数据是否符合其中一种分布：通过对数据的分布特征进行描述，可以判断数据是否符合正态分布或其他特定的分布形式。
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5
偏度：测定分布的偏斜程度的指标 偏斜是相对于对称分布而言 峰度：测定分布的高低（尖峭）程度的指标 尖峭是相对于正态分布而言
第三章 数据分布特征的统计描述
除了统计图和统计表之外，还可以用少量 的特征值（代表值）对数据分布的数量规
律进行精确、简洁的描述。
1
说明：
大量的数据经过整理后，已经能初步反映总 体分布的特征。
为了更加准确的了解数据分布的特征和规律， 需要找到反映数据分布特征的代表值 三类：集中趋势、离中趋势、分布形态
2
集中趋势：即反映各数据向中心值靠拢的程度
集中趋势
(位置)
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3
离中趋势：即反映各数据远离中心值的程度 因为即使现象的集中趋势相同，其离中趋势 也可能不同。
离中趋势 (分散程度)
两个不同的曲线表示两个不同的总体，它们的 集中趋势相同但离中趋势不同。
4
实际中还会遇到：集中趋势和离中趋势均相同
111 3 XH 0.35 元 1 1 1 8.5 0.5 0.4 0.25
（2）问：用算术平均
X 0.5 0.4 0.25 0.38 元 3
48
（3）问：用加权调和平均
23 4 9 xH 0.33元 2 3 4 27.5 0.5 0.4 0.25
xH
52
某公司下属三个部门销售利润资料
销售利润 利润额 率（％） （万元） x m 销售额 m／x
部门
A B C 合计
12 10 7 -
120 200 105 425
1000 2000 1500 4500
求三个部门的平均利润率。
53
xH
m 425 9.44% 1 4500 xm
57827 .5 1.1874 118 .74 % 48700
实际产值
xf x f
57827 .5 1.1874 118 .74 % 48700
计划产值
42
5、算术平均数的数学性质
见52页
43
（二）调和平均数
1、含义：总体内各个变量值倒数的算术平均
数的倒数，又称倒数平均数。 如有三个变量值： 8、10、12，求调和平均数。步骤如下：
总体中各单位某一标志值的具体表现是各不相 同的，但一般呈正态分布，即很小或很大的标 志值出现的次数较少，接近平均数的标志值出 现的次数较多，大多数的标志值都围绕着平均 数左右波动。
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17
现象间的依存关系：
商场按销售 商场数 各组商品流通 额分（万元） （家） 费用率（ %） 25 11.2 50以下 50~200 70 10.4 200~400 130 9.9 400~600 75 6.7 600~800 40 5.9 800~1000 18 5.5 10 5.0 1000以上 注：流通费用率 = 费用额 / 销售额
23
用统计功能的计算器计算： 2ndF,ON,
201M+ 224M+ 246M+
268M+ 2812M+ 3010M+, x→M 结果为26.73
24
例1：用计算器对下列数据求平均 x
25 35 45 55 合计
f
10 70 90 30 200
25
mode2 Shift scl =
18
二、平均指标计算
（一）算术平均数
又称均值。根据掌握的资料不同:
简单法和加权法。
19
1、简单法：适用于没有分组的原始数据
x x x ... x x
1 2
n
n
n
均值，即算术平均数
x 标志值或变量值
见49页例题
20
2、加权法：分组且各组标志值出现的次数
（权数 f ）不相等时，公式：
50
（2）当掌握的资料无法直接计算算术 平均数时，可用调和法计算。 这时两者计算结果相同，只是根据已知 条件不同，需选择不同的公式。
51
已知对比分母，将分母定为f，求分子xf，然 后用加权算术公式，即：
xf x f
m 1 xm
已知对比分子，将分子定为m，求分母m／x 用加权调和公式，即 ：
x
％
xf
利润额 5 75 200 280
0-10 10-20 20-30 合计
5 3 2 10
5 15 25
---
xf x f
280 0.2 20 % 1400
利润总额
xf x f
280 0.2 20 % 1400
资金总额
39
例2、150个企业的资料：
计划完成 百分数％ 企业 数n 计划产值 f x ％ xf 实际值
某蔬菜单价早中晚分别为0.5、0.4、 0.25（元/斤）
（1）早中晚各买1元，求平均价格
（2）早中晚各买1斤，求平均价格
（3）早中晚各买2元、3元、4元，求平均价格
（4）早中晚各买2斤、3斤、4斤，求平均价格
47
（1）问：用调和平均。先求早、中、晚购买的斤 数。早 1/0.5=2(斤) 、中 1/0.4=2.5(斤)、晚 1/0.25=4(斤)
xf x f
x1 f 1 x 2 f 2 ... xnfn f 1 f 2 ... fn
x 为标志值，又称变量值； f 为各组标志值出现的次数
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21
某厂工人生产情况 日产量（件） 19~21 21~23 23~25 25~27 27~29 29~31 合计 工人人数( F ) 1 4 6 8 12 10 41
12
本节内容
一、平均指标含义 二、平均指标的计算
（一）算术平均数
（二）调和平均数 （三）几何平均数 （四）众数 （五）中位数
数值平均
位置平均
三、各种平均数之间的相互关系
13
一、平均指标含义
1、定义：又称平均数。 是将同质总体内各单位的数量差异抽 象化，以反映总体的一般水平。 被平均的对象必须具有同质性
计划完成 百分数％ 105~110 110~120 120~130 合计 企业 数n 30 70 50 150 计划产值 f 5700 20500 22500 48700 x xf ％ 实际值 1.075 6127.5 1.15 23575 1.25 28125 --57827.5
xf x f
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各组权数都相等的数列
产量( x ) 人数( f ) 12 13 14 15 合计 10 10 10 10 40 可用简单式计算均值
28
对称数列：
产量( x ) 12 13 14 15 15 合计 人数( f ) 3 10 30 10 3 56 可用简单式计算均值
29
3、权数
加权均值的大小受两个因素的影响： 各组变量值（x） 各组次数，即权数（f）
思考： 如果已知销售利润率和销售额资料， 该如何计算？
54
部门 A
B C 合计
销售利润率 （％）x
销售额（万 元）
利润额
12
10 7 -
1000
2000 1500 4500
相对权数： x x
例题见教科书51页表3~3
33
第二、权数的实质
是相对数权数。
即权数对均值的影响作用，取决于相对权数 而非绝对权数。 举例：
34
计算平均奖金额
等级 一等 二等 三等 合计 奖金额（X） 人数（F1） 人数（F2） 比重% 120 100 90 — 8 42 30 80
2
12 63 45 120
9
标准正态分布是正态分布中的一种
记为：
X ~ N 0,1
10
本章内容
第一节 集中趋势的测度 第二节 离散程度的测度 第三节 偏度与峰度
11
第一节
集中趋势的测度
集中趋势是指一组数据向其中心值靠拢的倾向 测度集中趋势就是寻找一组数据的代表值或中 心值，在统计中是使用平均指标来测度的。
6
对称分布 偏态 （形状）
峰态 (形状)
正态分布
X ~ (, 2 )
7
偏态
与对称分 布比较
峰态
左偏分布
扁平分布
与正态分布 比较！
右偏分布
尖峰分布
8
正态分布中有两个参数： 一般记为：
和
2
X ~ N ( , 2 )
μ、σ2 是正态分布的参数，不确定常数。
不同的μ、不同的σ2对应不同的正态分布
105~110 110~120 120~130
合计
30 70 50
150
5700 20500 22500
48700
1.075 1.15 1.25
---
6127.5 23575 28125
57827.5
计算150个企业的平均计划完成百分数
40
“150个企业的平均计划完成百分数” 就是“150个企 业总的计划完成百分数”。 企业总计划完成百分数 = 总实际数 / 总计划数
计算平均日产量
22
产量 x （件） 19~21 21~23 23~25 25~27 27~29 29~31 合计 20 22 24 26 28 30 --
人数 f 1 4 6 8 12 10 41
xf 20 88 144 208 336 300 1096