最新-华中师大一附中2018年高二数学(理)试题 精品

华中师大一附中2018—2018学年度上学期
高二年级数学（理科）期末试题
时限：120分钟 满分：150分 命题人：数学命题组
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项代号填在第II 卷的答题卡内. 1．若抛物线的方程为22x y -=，则其焦点坐标为 A ．1(0,)2
- B ．1
(,0)2
-
C ．1(0,)8
-
D ．1(,0)8
-
2．经过双曲线13
2
2
=-
y x 的左焦点1F 作倾斜角为2π的弦AB ，则弦AB 的长为 A ．32 B ．6 C ．3 D ．3
3．空间中能使点M 与点A 、B 、C 一定共面的条件是
A ．OM=2OA O
B O
C -- B ．11
OM=OA+OB+OC 32
C ．MA MB MC=0++
D ．OM+OA+OB+OC=0
4．抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M )2,(-m 到焦点的距离为3，则实数m 的值为
A ．2±
B ．2±
C ．2
1
±
D ．22± 5．若双曲线
1822
2=-b
x y 的一条准线与抛物线y x 82=的准线重合，则双曲线的离心率为
A ．2
B ．2
C ．22
D ．24
6．已知A )0,1(-、B )0,1(，以AB 为一腰作使∠DAB=
90的直角梯形ABCD ，BC AD 3=，且CD 中点的纵坐标为1．若椭圆以A 、B 为焦点且经过点D ，则此椭圆的方程为
A ．
12322=+y x B ．1342
2=+y x C ．14322=+y x D ．14
522=+y x
7．已知：,m l 是直线，,αβ是平面，下列命题正确的是
A .若,,m m l α⊥⊥ 则l ∥α
B . 若,,m l αβ⊂⊂ 且α∥β，则m ∥l
C .若,,m l αα⊥⊥ 则m ∥l
D . 若m ∥α，m l ⊥， 则l α⊥
8．动点P （2cos θ，2sin θ）(πθ≤≤0)是曲线C 上任意一点，若过点M （0，1）的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是
A ．)21arctan ,21arctan (-
B ． )21arctan ,0(),21(arctan π
C ．)2
1
arctan ,21(arctan -π D ．),0(π
9．已知双曲线与椭圆1422=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线方程是x y 2-=，则这条双曲线的方程为
A ．22241y x -=
B ．22421y x -=
C ．22241x y -=
D ．22421x y -=
10．在平面α内有一条线段AB=2，线段AC 、BD 都与平面α相交，AC=BD=1，且AC ⊥α，
BD ⊥AB ，BD 和它在α内的射影的夹角为
30，则CD 的长度为
A ．5
B ．5或6
C ．5或7
D ．6或7
11．设圆M ：222)1()1(r y x =-+-上有且只有两个点到直线034=-y x 的距离等于1，则圆M 半径r 的取值范围是
A.
5654<<r B .54>r C . 5
6
1<<r D .1>r
12．如右图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与直线B 1C 1的距离相等，则动点P 的轨迹形状是
A B C D
A D D 1 C 1
A 1
B 1
C
P B
·
第II 卷(非选择题共90分)
分数
13．已知动圆M 与定圆C ：1)2(22=+-y x 相外切，且与定直线1:-=x l 相切，那么动圆的圆心M 的轨迹方程是 .
14．直线1:+=kx y l 与双曲线C ：122=-y x 的右支交于不同的两点A 、B ，则实数k 的取值范围 .
15．在空间四边形OABC 中，各边和两条对角线AC 、OB 的长均相等，E 是AC 的中点，则直线OA 与BE 夹角的余弦值为 .
16．如图，下列四个正方体中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能使l ⊥平面MNP 的图形的序号为 （写出所有符合要求的图形序号）
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知抛物线C ：2
4y x =，其准线与x 轴交于点M ，过点M 的直线l 交抛物线C 于P 、
Q 两点，且1
MP PQ 2
=，试求直线l 的方程.
P N l M
P
N l M P N l M P N l M ① ③ ④ ②
如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点.
（１）Ｐ为DD 1中点，Ｏ为底面ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC ； （２）求直线AC 1与B 1E 的夹角大小.
19．（本小题满分12分）
已知椭圆的方程为)0(182
22>=+
a y a
x ，离心率31=e ，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点， A 为右顶点，过点F 1的动直线1l 与过点A 的动直线2l 互相垂直，M 为垂足，求动
点M 的轨迹方程.
A
D
D 1
C 1
A 1
B 1
C Ｅ B
O P
如图，P 是△ABC 外一点，PA=1，AB=AC=2，∠PAB=∠PAC=45°，cos ∠BPC=3
2
． （１）Ｄ是AB 上不同于A 、Ｂ的任意一点，DE ⊥PB 于E ，求证：PA ∥平面CDE ； （２）在（１）的条件中，若Ｄ是AB 的中点，利用空间向量的坐标运算求cos<，>．
21．（本小题满分12分）
已知双曲线方程为
13
22
=-y x ，直线)0(21≠+=m m x y 与双曲线交于不同的两点P 、Q ，且P 、Q 两点都在以A(1 ,0-)为圆心的同一个圆上，试求m 的值.
Ａ Ｐ
Ｃ Ｄ
Ｂ
Ｅ
已知双曲线C ：)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的渐近线方程为x y 2±=，O 为坐标原点，
点P 1、P 2分别是双曲线渐近线1l 、2l 上的两点，等腰△P 1OP 2的面积为9，若点P 是双曲
线上一点，且21PP 2P =. （1）试求,a b 的值；
（2）若M 是双曲线C 右支上不同于顶点的任意一点.设21MF F ∠=θ，21,F F 为双曲线C 的左、右焦点，且]3
,4[
π
πθ∈，试求21MF MF ⋅的变化范围.
高二年级数学（理科）期末试题参考答案
13．y 2=8x 14．2-<k<1-
15．
4
1 16．①④ 三、解答题
17．解：由y 2=4x 知其准线方程为x=-1，M 点坐标为(-1, 0)，
设l 的方程为：y=k(x+1)(k ≠0)，联立⇒⎩⎨⎧=+=4x
y 1)
k(x y 2ky 2-4y+4k=0，∵k ≠0，令△16-16k 2>0，
则-1<k<1，且k ≠0，又|MP|=21|PQ|，∴3
1
|y y |Q P =，∴y Q =3y P ，则y P +y Q =4y P =k 4，
∴y P =
k 1，y Q =k 3，又y P ·y Q =4，∴2k 3
=4，即k=±23，∴l 的方程为：y=±2
3(x+1) ．
18．解：（1）证明：取AD 中点F ，连OB ，OF ，A 1F ，则BO 是B 1O 在平面AC 内的射影，∵AC ⊥BO ，∴B 1O ⊥AC ，又A 1F 是B 1O 在平面A 1D 内的射影，∴A 1F ⊥PA ， 又PA 与AC 交于A ，∴B 1O ⊥平面PAC ． （2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系o-xyz ，设正方体A 1C 的棱长为1，则A(1, 0, 0), C 1 (0, 1, 1), B 1(1, 1, 1), E(
2
1
, 1, 0)，∴1AC =(-1, 1, 1), B 1=(-21, 0, -1), ∴cos<1AC , B 1>=15152
5
31
21-=⋅
-， ∴直线AC 1与B 1E 的夹角为arccos 15
15
.
19．解： ∵e=31, ∴31a c =，由9a a
31
c 8
a c 2
22=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=-=，∴椭圆的方程为18y 9x 22=+，则F 1(-1, 0)、F 2(1, 0)、A （3，0），设动点M 的坐标为(x, y)， ∵MF 1⊥MA ，∴
3
x y
1x y -⋅+=-1(x ≠-1, 3)，
∴(x-1)2+y 2=4，又x=-1, 3符合方程，∴点M 的轨迹方程为(x-1)2+y 2=4． 注：由1·=0求方程则不用验明x=-1, 3．
20．解：（1）证明：∵PB 2=12+(2)2-2·1·2cos45°=1，
∴PA 2+PB 2=AB 2，则PA ⊥PB ，又DE ⊥PB ，又PA 、DE ⊂平面PAB ， ∴PA ∥DE ，又PA ⊄平面CDE ，∴PA ∥平面CDE ．
（2）可证，PA ⊥PC ，则PA ⊥平面PBC ，以P 为坐标原点，建立空间直角坐标系
o-xyz ，则A(0, 0, 1)、C(0, 1, 0)，∵cos ∠BPC=
32, ∴B(0,32,35)，D(2
1,31,65)，则CD =(
)21,32,65-, BP =(0,32
,35),∴cos<CD , BP >=30306
30
183-=-
． 21．解：联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1y 3
x m kx y 2
2消去y ，得：x 2-12mx-12(m 2+1)=0，则△=(12m)2+4×12×(m 2
+1)>0，即4m 2+1>0，设P(x 1, y 1), Q(x 2, y 2)，PQ 的中点M(x 0, y 0)，若P 、Q 两点都在以A(0, -1)为
圆心的同一个圆上，则AM ⊥PQ ，又⎪⎩
⎪
⎨⎧=+==4m m x 21
y 6m x 000， 由k AM ·k CD =-1得6m 14m +=-2，∴m=-16
1
．
22．解：（1）设双曲线方程为：2
2
224a
y a x -=1，则P 1(x 1, 2x 1)、P 2(x 2, -2x 2)、P(x, y)， ∵P 1=22PP ，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=34x 2x y 3
2x x x 21
21代入2
2224a y a x -=1， 得：1)34x 2x (4a 1)32x x (a 12
212221
2=--+， 化简得，x 1x 2=89a 2>0，又S 21OP ΔP =9⇒|x 1x 2|=29，∴89a 2=2
9
，即a 2=4, b 2=16,
∴a=2, b=4．
（2）在△F 1MF 2中，|MF 1|2+|MF 2|2-2|MF 1|·|MF 2|cos θ=80 ①，又|MF 1|-|MF 2|=±4 ②，由①②可得：2|MF 1|·|MF 2|(1-cos θ)=64，∴|MF 1|·|MF 2|=cos θ132-，又θ∈[4π, 3
π
],
∴|MF 1|·|MF 2|∈[64, 32(2+2)]．。