2020届高考数学考前精练精析 第14讲 空间几何体的表面积与体积(含答案)

第14讲 空间几何体的表面积与体积
1. 与正方体各面都相切的球，它的表面积与正方体表面积之比为________． 答案：π∶6
解析：正方体的棱长与球的直径相等．
2. 在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，以BC 边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为_________．
答案：12π
解析：将矩形ABCD 以BC 边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π.
3. 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是____________．(填序号)
① 矩形；② 不是矩形的平行四边形；③ 有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④ 每个面都是等边三角形的四面体；⑤ 每个面都是直角三角形的四面体．
答案：①③④⑤
4. 如图，在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥ABB 1D 1D 的体积
为________ cm 3
.
答案：6
解析：连结AC 交BD 于点O ，则AO⊥平面BB 1D 1D ，则四棱锥ABB 1D 1D 的体积为1
3
SBB 1D 1D ·AO
＝6.
5. 在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，若点P 是棱上一点，则满足|PA|＋|PC 1|＝2的点P 的个数为__________．
答案：6
解析：点P 在以A 、C 1为焦点的椭圆上，若P 在AB 上，设AP ＝x ，有PA ＋PC 1＝x ＋
（1－x ）2＋（2）2
＝2，解得x ＝12
.故AB 上有一点P(AB 的中点)满足条件．
同理在AD ，AA 1，C 1B 1，C 1D 1，C 1C 上各有一点满足条件．
又若点P 在BB 1上，则PA ＋PC 1＝1＋BP 2＋1＋B 1P 2
>2.故BB 1上不存在满足条件的点P ，同理DD 1，BC ，A 1D 1，DC ，A 1B 1上不存在满足条件的点P.
6. 如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是____________．
答案：2πR 2
解析：设球的一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，则圆柱的侧面积S ＝2π·Rsin
α·2Rcos α＝2πR 2sin2α，当α＝π4
时，S 取最大值2πR 2
，此时球的表面积与该圆柱的侧
面积之差为2πR 2
.
7. 如图，三棱柱ABCA 1B 1C 1的所有棱长均等于1，且∠A 1AB ＝∠A 1AC ＝60°，则该三棱柱的体积是________．
答案：
24
解析：∵ A 1A ＝A 1B ＝A 1C ＝AB ＝AC ＝BC.∴ A 1ABC 为正四棱锥，∴ A 1在△ABC 上的射影O
为△ABC 的中心．∴ 32A 1O ＝1×22A 1O ＝63，∴ V ＝S △ABC ·A 1O ＝2
4
.
8. 已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上．若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1
＝12.则球O 的半径为______________．
答案：132
解析：由题意将直三棱柱ABCA 1B 1C 1还原为长方体ABDCA 1B 1D 1C 1，则球的直径即为长方体
ABDCA 1B 1D 1C 1的体对角线AD 1，所以球的直径AD 1＝AB 2＋AC 2＋AA 21＝32＋42＋122
＝13，则球的
半径为132
.
9. 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm 的半圆，则该圆锥的高为____________ cm.
答案： 3
解析：圆锥的母线长即为展开半圆的半径，圆锥底面圆的半径设为r ，则2πr ＝π×2，
r ＝1，圆锥高为22
－1＝ 3.
10. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40 mm ，满盘时直径为120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是________m(π取3.14，精确到1 m)．
答案：100
解析：纸的厚度为0.1 mm ，可以把绕在盘上的纸近似的看做是一组同心圆，然后分别计算各圆的周长，再算总和．由内向外各圈的半径分别为20.05, 20.15，…，59.95.因此，各圈的周长分别为40.1π，40.3π，…，119.9π.
因此各圈半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，设圈数为n ，则59.95＝20.05＋0.1(n －1)，解得n ＝400，显然各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列．根据等差数列的求和公式，得
S ＝400×40.1π＋400×（400－1）
2
×0.2π＝32 000π mm ≈100 m.
11. 如图，已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高．
(1) 证明：平面PAC⊥平面PBD ；
(2) 若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB＝60°，求四棱锥PABCD 的体积．
(1) 证明：因为PH 是四棱锥PABCD 的高，则PH⊥BD，又AC⊥BD，PH Ì平面PBD ，BD 平面PBD ，PH ∩BD ＝H ，所以AC⊥平面PBD.
因为AC Ì平面PAC ，所以平面PAC⊥平面PBD. (2) 解：因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6， 所以HA ＝HB ＝ 3.因为∠APB
＝∠ADB＝60°，所以PA ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝1，可得PH ＝ 3.S 梯形ABCD ＝1
2AC ·BD ＝2＋ 3.所
以四棱锥的体积为V ＝13(2＋3)·3＝3＋23
3
.
12. 某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10 cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，其边缘恰好达
到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为V cm 3
.在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．
解：正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．
设正三棱锥侧面的高为h 0，高为h.
由题意得36x ＋h 0＝10，解得h 0＝10－3
6x.
则h ＝h 20
－x
2
12
＝
⎝
⎛
⎭⎪⎫10－36x 2－x 2
12＝
100－103
3
，x ∈(0，103)．
所以正三棱锥体积
V ＝13Sh ＝13×34x 2×100－1033
x
＝
3x 2
12
100－1033x.
设y ＝V 2
＝x 448⎝ ⎛⎭⎪⎫100－1033x ＝
100x 448－10x 5483
， 求导得y′＝100x 312－50x
4
483，令y′＝0，得x ＝83，
当x∈(0，83)时，y ′＞0，y 随着x 的增加而增大，
当x∈(83，103)时，y ′＜0，y 随着x 的增加而减小，
所以当x ＝8 3 cm 时，y 取得极大值也是最大值．
此时y ＝15 360，所以V max ＝3215 cm 3
.
答：当底面边长为8 3 cm 时，正三棱锥的最大体积为3215 cm 3
.
13. 已知四棱锥SABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAB 是等边三角形，侧面SCD 是以CD 为斜边的直角三角形，E 为CD 的中点，M 为SB 的中点．
(1) 求证：CM∥平面SAE ； (2) 求证：SE⊥平面SAB ； (3) 求三棱锥SAED 的体积．
(1) 证明：取SA 的中点N ，连结MN 、EM ， ∵ M 为SB 的中点，N 为SA 的中点，
∴ MN ∥AB ，且MN ＝1
2
AB.
又E 为CD 的中点，∴ CE ∥AB ，且CE ＝1
2
AB.
∴ MN ∥CE 且MN ＝CE ， ∴ CENM 为平行四边形， ∴ CM ∥EN.
又EN Ì平面SAE ，CM 平面SAE ，∴ CM ∥平面SAE.
(2) 证明：∵ 侧面SCD 是直角三角形，∠CSD 为直角，E 为CD 的中点，∴ SE ＝1.
又SA ＝AB ＝2，AE ＝5，∴ SA 2＋SE 2＝AE 2
. 则ES⊥SA.
同理可证ES⊥SB.
∵ SA ∩SB ＝S ，∴ SE ⊥平面SAB.
(3) 解：V SAED ＝12V SAEB ＝12V ESAB ＝12×13×34×4×1＝3
6.。