2019届北京市朝阳区高三上学期期中考试数学文试卷(解析版)

北京市朝阳区2019届高三上学期期中考试数学文试题
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先把集合A解出来，然后求A∪B即可．
【详解】因为集合合，
所以，
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．
2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据偶函数的定义以及零点的定义判断．
【详解】选项A,是非奇非偶函数, 且没有零点,选项B,没有零点,
选项C,是奇函数, 选项D,是偶函数，
又有解，既是偶函数又存在零点．故选D
【点睛】本题考查偶函数和零点的概念．
3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．
【详解】向量，，，
∴
=
故选A.
【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．
4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
A. -10
B. -2
C. 2
D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：，
第二次运行：
第三次运行：
第四次运行：
此时，推出循环，输出输出.
故选C.
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
5.设、为非零向量，则“”是“”的（）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量共线的含义及向量共线的条件,结合充要条件的概念即可得出结论.
【详解】由能够推出，但由不能推出，所以选A.
【点睛】本题考查向量共线的含义,向量共线的条件以及充要条件的概念.
6.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若，，则②若，，则
③若，，则④若，，则
其中真命题的序号为（）
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】
构造正方体模型,观察正方体中的线面关系可以得出结论.
【详解】
对于①,观察正方体,知与可以平行,可以在内,①不符合;
对于②,与内任意一条直线都垂直,又,
与内任意一条直线都垂直,,②成立;
对于③, 观察正方体,知与可以平行,可以在内, ③不符合;
对于④, 观察正方体,知④成立,这也可以作为两个平面平行的判定.
因此选D.
【点睛】构造正方体模型,观察正方体中的线面关系,抽象的推理再结合直观的判断,常有四两拨千斤的效果.
7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于（）
A. B. 2 C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
观察三视图,可知三棱锥的形状如图所示．
【详解】观察三视图,可知三棱锥的直观图如图所示，
．
【点睛】由三视图推出三棱锥的形状，画出三棱锥的直观图是解题的关键．
8.已知定义域为的奇函数的周期为2，且时，.若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
在同一坐标系中作出函数和的图像,观察图像分析即可.注意点(-2,0),(0,0),(2,0)也是函数
图像上的点.
【详解】因为是奇函数,所以又因为
函数的周期为2,所以在同一坐标系中作出函数和的图像(如图), 观察图像可知和的图像在[-3,2]上有五个交点,从而函数在区间（且
）上有5个零点.
【点睛】数形结合是很重要的数学方法,本题在同一坐标系中作出函数和的图像,借助函数图像求解,直观高效.
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9.已知，，则_________，__________．
【答案】(1). (2). --
【解析】
【分析】
利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.
【详解】由题，，则
即答案为(1). (2).
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.
10.已知等差数列的公差，且满足，则___________．
【答案】 2
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式为即得.
【详解】,以
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算.
11.已知，满足则的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．
【详解】作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）
设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值= 3
故答案为：3
【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
12.如图，甲、乙、丙三人在同一个圆形跑道上运动，计时开始时，甲、乙、丙分别从、、三点出发，三个人的前进方向相同，甲在乙后面圈，乙在丙后面圈，甲以圈/分钟的速度慢跑，乙以圈/分钟的速度快走，丙以圈/分钟的速度慢走.那么经过__________分钟，甲和乙两人第一次相遇；30分钟之内，甲、乙、丙三人_________（填“能”或“不能”）同时相遇
．
【答案】(1). 4(2). 不能
【解析】
【分析】
在环形相遇问题中,甲乙两人相距x(0<x<1)圈,甲的速度快于乙的速度,两人同时同向出发,第n次相遇,则甲比乙多跑(n-1+x)圈.⑴甲和乙两人第一次相遇,甲比乙多跑圈,设经过t分钟,甲和乙两人第一次相遇,可列方
程;⑵,设经过t分钟,甲、乙、丙同时相遇,则方程组有解.
【详解】⑴甲和乙两人第一次相遇,甲比乙多跑圈,设经过t分钟,甲和乙两人第一次相遇,可列方程
,解得:;⑵设经过t分钟,甲、乙、丙同时相遇,则方程组有解,即
有解,易知,三个方程不可能同时成立,从而甲、乙、丙三人不能同时相遇.
【点睛】本题属于相遇问题中的追及问题,对学生的逻辑推理思维有一定的要求.
13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深
度（单位：米）是时刻（，单位：小时）的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：
经长期观察，曲线可近似地看成函数（，）的图象，根据以上数据，函数
的近似表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．
【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，
由，得ω=，所以函数的近似表达式
即答案为
【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.
14.已知函数.
（1）若，则关于的方程的根的个数为__________．
（2）若，且，则的取值范围是__________．
【答案】(1). 1(2).
【解析】
【分析】
(1)在同一坐标系中作出函数和函数y=m的图像,观察图像分析即可; (2)不妨设,则有
,利用均值不等式求解.
【详解】在同一坐标系中作出函数和函数y=m的图像,观察图像,可知直线y=m与函数的图像有且只有一个交点,因此关于的方程
的根的个数为1,(2)不妨设,由得,
,又
【点睛】在同一坐标系中作出函数和函数y=m的图像,利用数形结合是解题的关键.
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.已知函数.
（I）求的最小正周期和最大值；
（II）求的单调递增区间.
【答案】（1）最小正周期为，最大值1；（2），.
【解析】
【分析】
先”降次”,再利用辅助角公式将化成的形式,求最小正周期
和最大值;利用正弦函数的单调性解不等式求单调增区间.
【详解】（I）.
所以，的最小正周期为.
令，，可得，，
所以，当，时，取最大值1.
（II）由，可得：
，，
所以的单调递增区间为，.
【点睛】逆用倍角公式及辅助角公式将化成的形式,是解题的关键,在三角函数问题中,求最小正周期、值域和单调区间,是常见的题型,一定要重视.
16.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.
（I）求的通项公式；
（II）若，求.
【答案】（I），.
（II）
【解析】
【分析】
（I）设为首项为，公比为（），则依题意，
，解得，，即可得到的通项公式；
（II）因为，利用分组求和法即可得到.
【详解】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，
，解得，，
所以的通项公式为，.
（II）因为，
所以
【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.
17.我国古代数学中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，侧棱底面，是的中点，连接，，.
（I）求证：为直角三角形；
（II）求证：平面；
（III）若，求多面体的体积.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） .
【解析】
【分析】
（I ）由直线与平面垂直的判定定理容易证明平面,再由直线与平面垂直的性质定理,可知,从而为直角三角形;
（II ）连接，设，连接(如图),则,由直线与平面平行的判定定理,可知平面
;
（III ）,利用锥体的体积公式来解决. 【详解】
（I ）证明：因为四边形为矩形，所以. 又因为平面，所以. 所以平面，所以. 所以为直角三角形.
（II ）证明：连接，设，连接
.(如图) 因为四边形为矩形，所以为中点， 又因为为中点，所以. 因为平面，平面，所以平面.
（III ）解：过点作于. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面，且平面，所以平面， 即为三棱锥的高，且
. 因为为中点，所以
. 又因为，所以. 于是
. 【点睛】直线和直线垂直,直线与平面垂直, 直线与平面平行,是空间线面关系中最重要的几种关系,熟练掌握直线和直线垂直,直线与平面垂直, 直线与平面平行的判定和性质是解决立体几何问题的关键.求多面体
的体积常见的有割补法,等体积法,再利用锥体的体积公式来解决.
18.在中，角，，的对边分别为，，，，，.
（I）求；
（II）求点到边的距离.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（I）由,及,联立解得的值,再利用正弦定理求的值;（II）由
求出的值,代入
得点到的距离.
【详解】
（I）因为，即，
又，为钝角，所以.
由，即，解得.
（II）在中，由知为钝角，所以.
，
点到的距离为.
【点睛】有关解三角形问题, 正弦、余弦定理是基础,灵活运用正弦、余弦定理把边、角之间的关系相互转化,是解题的关键.
19.已知函数（）.
（I）若，求曲线在点处的切线方程；
（II）若在上无极值点，求的值；
（III）当时，讨论函数的零点个数，并说明理由.
【答案】（1）；（2）时函数在上无零点；当时，函数在上有一个零点；当时，函数在上有两个零点.
【解析】
【分析】
（I）由导数的几何意义,切线的斜率,先求，，,利用直线方程的点斜式求解. （II）因为,所以若在上无极值点,则，即，，解得.
(III)讨论当时,在上的符号, 函数的单调性、极值情况,从而分析
函数的图像与x轴的交点个数,得出函数的零点个数.
【详解】（I）当时，，
，，，
所以曲线在点处的切线方程为.
（II），，依题意有，即，
，解得.
(III)（1）时，函数在上恒为增函数且，函数在上无零点.
（2）时：
当，，函数为增函数；
当，，函数为减函数；
当，，函数为增函数.
由于，此时只需判定的符号：
当时，函数在上无零点；
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
综上，时函数在上无零点；
当时，函数在上有一个零点；
当时，函数在上有两个零点.
【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值，结合函数的大致图像判断零点的个数．
20.已知函数.
（I）求证：当时，；
（II）设，.
（i）试判断函数的单调性并证明；
（ii）若恒成立，求实数的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）（i）在上递减；（ii） .
【解析】
【分析】
（I）求导,考查函数的单调性和最小值;（II）（i）求导,考查的符号; （ii）恒成立,等价于，恒成立,问题转化
为求，的最值,求,分和讨论.
【详解】（I）因为在区间上，所以. 即在上递增，所以.
（II）（i）因为，，
所以.
由（I）知，当时，所以.
所以在上递减.
（ii）依题意，.恒成立
即，恒成立，
令，，
则.
（1）若，则当时，，则在上递增.
即时，.
则时，.
即当时，恒成立.
（2）若，令得.
因为在上减，且，
所以方程在上恰有一个根，记为，
当时，；
当时，.
所以在上递减，在上递增.
所以.
此时不恒成立.
综上，的最小值为1.
【点睛】导数作为一种研究数学知识的工具,在求单调性、最值方面发挥了独特的作用;同时利用函数的单调性也能完成不等式的证明,通过构造函数求最值解决恒成立问题．。