高考物理二轮复习 难点突破5 变力做功的计算 新人教版

难点突破5 变力做功的计算
功的定义式W ＝Fs cos α仅适用于恒力F 做功的计算，变力做功可以通过化“变”为“恒”或等效代换的思想求解，主要方法有：
1．微元法：就是将变力做功的空间(位移)无限划分为相等的小段，在每个小段里变力便可看作恒力，每个小段里的功可由公式W ＝Fs cos α计算，整个过程中变力的功就是各小段里“恒力”功的总和，即W 总＝∑F Δs cos α.
2．图象法：画出变力F 与位移s 的图象，则F －s 图线与s 轴所围的“面积”表示该过程中变力F 做的功．
3．力的平均值法：在力的方向不变，大小与位移呈线性关系的直线运动中，可先求该变力对位移的平均值F ＝
F 1＋F 2
2
，再由W ＝F s 计算．
4．动能定理或功能关系法：当物体运动过程中始末两个状态的速度已知时，用动能定理∑W ＝ΔE k 或功能关系求变力做的功是非常方便的(当然也可求恒力做的功)．
5．转换研究对象法：运动问题中，在一些特定条件下，可以找到与变力做的功相等的恒力做的功，这样，就可将求变力做的功转化为计算恒力做的功．
6．特定情形：①用W ＝Pt 可求机车恒功率运行时，发动机做的功；②电场力做的功可用
W AB ＝qU AB 求解．
【典例1】 如图所示，质量为m 的物块与转台之间的最大静摩擦力为物块重力的k 倍，物块与转轴OO ′相距R ，物块随转台由静止开始转动，转速缓慢增大，当转速增加到一定值时，物块即将在转台上滑动，在物块由静止到滑动前的这一过程中，转台的摩擦力对物块做的功最接近( )
A ．0
B ．2πkmgR
C ．2kmgR D.1
2
kmgR
【解析】
在转速增加的过程中，转台对物块的摩擦力是不断变化的，当转速增加到一定值时，物块在转台上即将滑动，说明此时静摩擦力F f 达到最大，其指向圆心的分量F 1提供向心力，即
F 1＝m v 2
R
①
由于转台缓慢加速，使物块加速的分力F 2很小，因此可近似认为F 1＝F f ＝kmg ② 在这一过程中对物块由动能定理，有W f ＝12mv 2
③
由①②③知，转台对物块所做的功W f ＝1
2kmgR .
【答案】 D
【典例2】 为登月探测月球，上海航天研制了“月球车”，如图甲所示．某探究性学习小组对“月球车”的性能进行研究．他们让“月球车”在水平地面上由静止开始运动，并将“月球车”运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图乙所示的v －t 图象，已知0～
t 1段为过原点的倾斜直线：t 1～10 s 内“月球车”牵引力的功率保持不变，且P ＝1.2 kW,7～
10 s 段为平行于横轴的直线；在10 s 末停止遥控，让“月球车”自由滑行，“月球车”质量m ＝100 kg ，整个过程中“月球车”受到的阻力f 大小不变．
(1)求“月球车”所受阻力f 的大小和“月球车”匀速运动时的速度大小； (2)求“月球车”在加速运动过程中的总位移s ； (3)求0～13 s 内牵引力所做的总功；
(4)画出“月球车”整个运动过程中牵引力的功率随时间变化的图象．
【解析】 (1)在10 s 末撤去牵引力后，“月球车”只在阻力f 作用下做匀减速运动，由图象可得a ＝
v 1
3 s
由牛顿第二定律得，其阻力f ＝ma
7～10 s 内“月球车”匀速运动，设牵引力为F ，则F ＝f 由P ＝Fv 1可得“月球车”匀速运动时的速度v 1＝P F ＝P
f
联立解得v 1＝6 m/s ，a ＝2 m/s 2
，f ＝200 N.
(2)“月球车”的加速度运动过程可分为0～t 1时间内的匀加速运动和t 1～7 s 时间内的变加速运动两个阶段．t 1时功率为P ＝1.2 kW ，速度为v t ＝3 m/s
由P ＝F 1v t 可得此时牵引力为F 1＝P v t
＝400 N
由牛顿第二定律：F 1－f ＝ma 1，解得0～t 1时间内的加速度大小为a 1＝F 1－f m
＝2 m/s 2
匀加速运动的时间t 1＝v t a 1
＝1.5 s 匀加速运动的位移s 1＝12a 1t 2
1＝2.25 m
在0～7 s 内由动能定理可得
F 1s 1＋P (7 s －t 1)－fs ＝12mv 21－12
mv 2
代入数据解得“月球车”在加速运动过程中的总位移s ＝28.5 m. (3)在0～1.5 s 内，
牵引力做功W 1＝F 1s 1＝400×2.25 J＝900 J 在1.5～10 s 内，
牵引力做功W 2＝P Δt ＝1 200×(10－1.5) J ＝10 200 J 10 s 后，停止遥控，牵引力做功为零
0～13 s 内牵引力所做的总功W ＝W 1＋W 2＝11 100 J.
(4)“月球车”在0～1.5 s 内做匀加速直线运动，速度v ＝a 1t (t ≤1.5 s)，功率P ＝F 1v ＝F 1a 1t (t ≤1.5 s)，1.5～10 s 内“月球车”牵引力的功率保持不变，为P ＝1.2 kW ，此后“月球车”牵引力的功率为0.“月球车”整个运动过程中牵引力的功率随时间变化的图象如图所示．
【答案】 (1)200 N 6 m/s (2)28.5 m (3)11 100 J (4)见解析
如图所示，A 、B 两滑块质量均为m ，通过铰链用轻杆连接，让轻杆沿竖直方向，A 套在固定的竖立直棒上，B 放置在水平面上，A 、B 均静止．由于扰动，A 开始向下运动，B 沿水平面向右运动．滑块A 、B 可视为质点，重力加速度为g .在A 向下运动的过程中，不计一切摩擦，可以证明：当轻杆转到与水平方向夹角θ满足sin θ＝2
3时，滑块A 的机械能最小．试
求：
(1)此时A 的加速度；
(2)从系统开始运动到A 的机械能最小的过程中，杆对滑块B 做的功．
解析：(1)滑块A 从下滑到未着地前过程中，杆产生的弹力对A 先做负功后做正功，A 的机械能先减后增，对B 先做正功后做负功，B 的机械能先增后减，可知A 的机械能最小时杆的弹力为零，A 在竖直方向仅受重力，故A 此刻的加速度a A ＝g .
(2)设滑块A 在下滑到杆与水平方向的夹角为θ时，二者速度大小分别为v A 、v B ，由系统机械能守恒得
mgl (1－sin θ)＝1
2mv 2A ＋12
mv 2
B
由于杆不可伸长和缩短，此时沿杆方向两滑块分速度相等，有v A sin θ＝v B cos θ 联立解得：v 2
B ＝2gl sin 2
θ(1－sin θ)＝gl sin θ×sin θ×(2－2sin θ)
故sin θ＝23时，v 2B 有最大值(这就是题目作为已知条件的理论依据)．得v 2
B ＝827gl .
对B ，重力和水平面支持力不做功，根据动能定理得：杆的推力做功W ＝12mv 2B ＝4
27mgl .
答案：(1)g (2)4
27
mgl
(多选)如图所示，汽车通过轻质光滑的定滑轮，将一个质量为m 的物体从井中拉出，绳与汽车连接点A 距滑轮顶点高为h ，开始时物体静止，滑轮两侧的绳都竖直绷紧，汽车以速度v 向右匀速运动，运动到跟汽车连接的细绳与水平方向的夹角为30°，则( )
A ．从开始到绳与水平方向的夹角为30°时，绳上拉力做的功为mgh
B ．从开始到绳与水平方向的夹角为30°时，绳上拉力做的功为mgh ＋38mv 2
C ．在绳与水平方向的夹角为30°时，绳上拉力的功率为mgv
D ．在绳与水平方向的夹角为30°时，绳上拉力的功率大于32
mgv 解析：
从开始到绳与水平方向的夹角为30°时，物体上升的高度H ＝
h
sin30°
－h ＝h ，此时物体
的速度v ′＝v cos30°，由动能定理得拉力做的功W ＝mgh ＋12mv ′2
＝mgh ＋38mv 2，A 错、B 对；
在绳与水平方向的夹角为30°时，拉力的功率为Fv ′＝3
2
Fv ，由于物体加速上升，拉力F >mg ，所以C 错、D 对．
答案：BD。