积化和差与和差化积] · [基础] · [知识点+典型例题]

积化和差与和差化积
知识讲解
一、三角恒等变换的公式
1.两角和与差的三角函数公式：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=± cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
2.倍角公式
sin 22sin cos ααα=；
2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-
22tan tan 21tan α
αα
=
-
3
sin 33sin 4sin ααα=-；3
cos34cos 3cos ααα=-；32
3tan tan tan 313tan αα
αα
-=- 3. 半角公式
sin
2
α
=
cos 2α=
1cos sin tan
2
sin 1cos α
αα
αα
-===
+ 4.万能公式
2
2tan
2sin 1tan 2
α
αα
=
+；22
1tan 2cos 1tan 2
ααα
-=
+；2
2tan
2tan 1tan 2
α
αα
=-
5.积化和差公式
1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1
cos sin [sin()sin()]2
αβαβαβ=+--；
1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1
sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--
6.和差化积公式
sin sin 2sin
cos
22αβ
αβ
αβ+-+=；sin sin 2cos
sin
22
αβ
αβ
αβ+--=；
cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin
sin 22
αβαβ
αβ+--=- 二、公式的推导
推导过程：sin()sin[()]sin cos()cos sin()
αβαβαβαβ-=+-=-+-sin cos cos sin αβαβ=-
cos()sin[()]sin[()()]22
ππ
αβαβαβ+=-+=-+-
sin()cos()cos()sin()cos cos sin sin()22
ππ
αβαβαβαβ=--+--=+- cos cos sin sin αβαβ=-
cos()sin[()]sin[()]22
ππ
αβαβαβ-=--=-+ sin()cos cos()sin cos cos sin sin 22
ππ
αβαβαβαβ=-+-=+ sin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβ
αβαβαβαβ
+++=
=+-
两边同时除以cos cos αβ可得tan()αβ+=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
+-
tan tan()tan tan tan()tan[()]1tan tan()1tan tan a αβαβ
αββαβαβ
+---=+-=
=--+
然后把上面各式中的β代换为α，则可得到二倍角公式 sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= 22cos 2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=-
再利用22sin cos 1αα+=，可得：
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα
αααααα
+=+=
=-⋅-
sin 2tan
2
cos
2
αα
α
===sin 2sin
sin
1cos 22
2tan
2
sin cos 2sin cos 2
22
αα
α
α
αα
ααα-=== sin 2cos
sin
sin 222tan
2
1cos cos
2cos cos
2
22
αα
α
α
αα
ααα===+ 【说明】这里没有考虑cos
sin
02
2
α
α
==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出
来单独讨论一下．
三、主要方法
1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用
1）并项功能：
2）升次功能
3）降次功能
4）一个重要的构造
令
（）
2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααα
αααα±=+±=±2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-221cos 21cos 2cos ,sin 22
αααα+-=
=22
sin cos cos )b
a b a b αααα+=+
+sin β=cos β=
cos cos sin )αβαβ+sin β=
可知：sin cos a b αα+2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：
1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒
︒=︒-︒=︒-︒=
, ()()22α
ααββαββ=-+=+-=⋅
()()()()ππ
2()()44
ααβαβαββααα=++-=+--=+--
()()222βαβαβαααβα⎛
⎫-=-+=-=-- ⎪⎝
⎭
πππππ
π
244362
αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如：
2222ππππ
1sin cos sec tan sin
tan 2sin 2464
αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：
21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2
αα-=
但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理
比如：221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；2
1sin 2(sin cos )ααα±=±；
5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式
() sin cos y a b αααϕ=+=+的应用，其中tan b a
ϕ=
，ϕ
所在的象限由,a b 的符号确定．
典型例题
一．选择题（共10小题）
1．（2018春•上饶期末）的值为（）
A．B．C．D．
2．（2017•成安县校级模拟）已知，则cos（60°﹣α）的值为（）A．B．C．D．﹣
3．（2017秋•通州区期末）sin 330°=（）
A．﹣B．C．﹣D．
4．（2018春•福州期中）若cos（α﹣2π）＞0，sin（π﹣α）＜0，则角α的终边在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．（2017秋•南山区期末）函数y=sin（2x+）•cos（x﹣）+cos（2x+）•sin（﹣x）的图象的一条对称轴方程是（）
A．x= B．x=C．x=πD．x=
6．（2018春•娄底期末）已知α，β均为锐角，cos（α+β）=﹣，sin（β+）=，则cos （α+）=（）
A．B．C．﹣D．﹣
7．（2018春•嘉兴期末）函数f（x）=sinxcosx的最小正周期为（）
A．1 B．2 C．πD．2π
8．（2017秋•马鞍山期末）sin215°﹣cos215°的值为（）
A．B．C．﹣D．﹣
9．（2015秋•北京期末）已知，，，则tanα的值是（）
A．B．C．D．
10．（2017春•简阳市期末）已知cos α=，α∈（，），则cos等于（）A．B．﹣C．D．﹣
二．填空题（共10小题）
11．（2016•南昌县自主招生）已知α是第二象限的角，tanα=﹣，则sin（90°+α）=．
12．（2015秋•南京校级月考）比较大小：cos（﹣5080）cos（﹣1440）13．（2018春•连云港期末）求值：sin300°=．
14．（2018•黄浦区一模）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．15．（2018春•洛南县期末）cos80°cos35°+sin80°sin35°=．16．（2017秋•通州区期末）已知tanα=2，则tan（α+）=．17．（2017秋•南阳期末）已知：，则cos2α+cos2β的取值范围是．
18．（2017春•淮安期末）2sin15°cos15°=．
19．（2013春•上海校级期末）已知角α的终边在射线y=﹣x（x≤0）上，则sin2α+tan=．
20．（2013•普陀区二模）若且sin2θ＜0，则=．
三．解答题（共20小题）
21．（2013春•罗庄区校级月考）已知，计算：
（1）sin（5π﹣α）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．（2018春•石河子校级月考）已知cos（15°+α）=，α为锐角，求：
．
23．（1977•福建）求cos（﹣840°）的值．
24．已知sin（540°+α）=﹣，且α∈（0，90°），求cos（α﹣540°）的值．25．求值：．
26．已知函数f（x）=，（1）求f（x）的定义域；
（2）若sina=且cosa=，求f（a）．
27．（2018•玉溪模拟）已知tan（α+）=﹣3，α∈（0，）．（1）求tanα的值；
（2）求sin（2α﹣）的值．
28．（2017秋•大庆月考）已知α∈（，π），sinα=．
（1）求sin（+α）的值；
（2）求cos（﹣2α）的值．
29．（2017•鼓楼区校级二模）已知角α的终边上有一点p（1，2），（1）求tan（）的值；
（2）求sin（2）的值．
30．（2013•门头沟区一模）已知函数f（x）=sin2x+cosxcos（﹣x）．（Ⅰ）求f （）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及值域．
31．（2013•门头沟区一模）已知：函数f（x）=sin2x+cosxcos（﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴方程；
（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
32．（2013春•虹口区校级期末）已知tanα=2（π＜α＜2π）
（1）求sin2α，cos2α，tan2α的值；
（2）求的值．
33．若α∈（π，π），tanα=，求tan．
34．已知cosθ=﹣，且180°＜θ＜270°，求tan的值．35．已知sinx=，角x终边在第一象限，求tanx的值．
36．利用两角和与差的正弦、余弦公式证明：
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α﹣β）]；
cosαsinβ=[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]；
cosαsinβ=[cos（α+β）+cos（α﹣β）]；
sinαcosβ=[cos（α+β）﹣cos（α﹣β）]．
37．化简：．
38．化简：cos•cos．
39．设＞α＞β＞0，求证：α﹣β＞sinα﹣sinβ．40．计算：sin69°﹣sin3°+sin39°﹣sin33°．。