2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学-辽宁卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（理工科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+
2
4πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么
其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么
34π3
V R =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
()(1)(012)k k
n k n n P k C p p n n -=-=，，，，
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{12345}U =，，，，，{13}A =，，{234}B =，，，则()(
)U U
A B =痧（ ）
A ．{1}
B ．{2}
C ．{24}，
D ．{1
234}，，， 2．若函数()y f x =的反函数图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ）
A ．(11)，
B ．(15)，
C ．(51)，
D ．(55)，
3．若向量a 与b 不共线，0≠a b ，且⎛⎫
⎪⎝⎭
a a c =a -
b a b ，则向量a 与
c 的夹角为（ ） A ．0
B ．
π
6
C ．
π3
D ．
π2
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
5．若35ππ44θ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ ） A ．(12)--，
B ．(12)-，
C ．(12)-，
D ．(12)，
7．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥
B ．若m α
γ=n βγ=，m n ∥，则αβ∥
C ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥
D ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥
8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪
⎨⎪+-⎩≤，
≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）
A ．965⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．[)965⎛
⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦
，，
C ．(]
[)36-∞+∞，，
D ．[36]，
9．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其
余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（ ） A ．
122
B ．
111
C ．
322
D ．
211
10．设p q ，是两个命题：2
12
51
:log (||3)0:066
p x q x x ->-
+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
11．设P 为双曲线2
2
112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）
A
．
B ．12
C
．
D ．24
12．已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值
B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值
C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值
D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数2cos (0)()1(0)
a x x f x x x ⎧=⎨-<⎩≥，
在点0x =处连续，则a = ．
14．设椭圆
22
12516
x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1
()2
OM OP DF =
+，则||OM = ． 15
．若一个底面边长为2
的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为 ．
16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a =，
，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，135a a a <<，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分） 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛
⎫⎛⎫=+
+--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；
（II ）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间． 18．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，D E ，分别为棱
AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30．
（I ）证明：111A B C D ⊥；
（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．
19．（本小题满分12分）
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为
3
232010(0)3
q C q q q =-++>
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：
市场情形 概率
价格p 与产量q 的函数关系式 好 0.4 1643p q =- 中 0.4 1013p q =- 差
0.2
704p q =-
设123L L L ，，分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量k ξ，表示当产量为q ，而市场前景无法确定的利润．
（I ）分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； （II ）当产量q 确定时，求期望k E ξ；
（III ）试问产量q 取何值时，k E ξ取得最大值．
1A 1C
1B
C
B
A
M
D
E
20．（本小题满分14分）
已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2
2y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB 的内接圆（点C 为圆心） （I ）求圆C 的方程；
（II ）设圆M 的方程为2
2
(47cos )(7cos )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别
作圆C 的两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF ，
的最大值和最小值．
21．（本小题满分12分）
已知数列{}n a ，{}n b 与函数()f x ，()g x ，x ∈R 满足条件：
n n a b =，1()()()n n f b g b n +=∈N*.
（I ）若()102f x tx t t +≠≠≥，，，()2g x x =，()()f b g b ≠，lim n n a →∞
存在，求x 的取
值范围；
（II ）若函数()y f x =为R 上的增函数，1
()()g x f x -=，1b =，(1)1f <，证明对任意
n ∈N*，lim n n a →∞
（用t 表示）
．
22．（本小题满分12分）
已知函数22
2
2
()2()21t
f x x t x x x t =-++++，1
()()2
g x f x =．
（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；
（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数；
（III ）证明：3()2
f x ≥．。