高中数学 人教A版 必修5 第二章 数列 高考复习习题(解答题101-200)含答案解析

高中数学 人教A 版 必修5 第二章 数列 高考复习习题（解
答题101-200）含答案解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足： ()1n n n S a S a =-+（a 为常数，且0,1a a ≠≠). （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设2n n n n b a S a =+⋅，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （3）在满足条件（2）的情形下，
数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：
2．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ⋅=， 416S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11b a =， .①求数列{}n b 的通项公式；②是否
存在正整数m ，
n （m n ≠）
，使得2b ， m b ， n b 成等差数列？若存在，求出m ， n 的值；若不存在，请说明理由.
3．已知曲线C ： 4x
y =， n C ： 4
x n
y +=（*
N n ∈），从C 上的点()n n n Q x y ，作x
轴的垂线，交n C 于点n P ，再从点n P 作y 轴的垂线，
交C 于点()111n n n Q x y +++，.设11x =， 1n n n a x x +=-，
（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；
（Ⅱ）
记，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：
数列{}n d 的前n 项和为n B ，试比较n A 与. 4．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数
，且*12,1,2n N a a ∈==.
(1)求 {}n a 的通项公式；
(2)设*1,n n n b a a n N +=⋅∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ； (3)设()2121n
n n n c a a -=⋅+-，证明：
123
111154
n c c c c ++++
< 5．在等差数列{}n a 中， 255a a +=-， 1017a =，若数列{}n b ， {}n c 的前n 项和分
别为,n n S T ，且11b =， 13c =对任意*
N n ∈都有
. （1）求数列{}n a ， {}n n c b -的通项公式；
（2）证明： *
N n ∈时， 1220n n S T +-≥-.
6．已知数列{}n a 的各项均为正数， n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2
423n n n S a a =+-.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）已知2n n b =，求1122n n n T a b a b a b =++
+的值.
7．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 21691n n a S n +=++，
*n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =⋅，数列{}n c 的前n 项和为
n T .
①求n T ；
②若对任意2n ≥， *
n N ∈，均有()2
563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取
值范围.
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在函数()2
24f x x x =+图像上；
(1)证明{}n a 是等差数列； (2)若函数()2x
g x -=，数列{}n b 满足()n b g n =，记n n n c a b =⋅，求数列{}n c 前n 项
(3)是否存在实数λ，使得当x λ≤时， 对任意n N +∈恒成立？若存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由.
9．在数列{}n a 中， 14a =，前n 项和n S 满足1n n S a n +=+.
（1）求证：当2n ≥时，数列{}1n a -为等比数列，并求通项公式n a ；
（2）令11•213n
n n n na b -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
，求数列{}n b 的前n 项和为n T .
10．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和()01,2,n S n >=.
（1）求q 的取值范围； （2，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小. 11．已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足()111222122n n n b a b a b a n ++++=-+ ，
求数列{}n n a b +的前n 项和n S .
12．数列 （ ）的首项为1，且前 项和 满足 ）． （1）求 的通项公式； （2）若数列
的前 项和为 ，问
的最小正整数 是多少？
13．设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列． 14．已知等比数列 的前 项和为
，等差数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 .
， *n N ∈．
（1）判断数列{}n b 是否为等比数列，并求出n b ； （2）求2n T .
16．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且252,15a S ==，数列{}n b 满足11
,2b =
1
n b += 1
2n n b n
+． （1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）记n T 为数列{}n b 的前n 项和， ()()222
n n S T f n n -=
+，试问()f n 是否存在最大
值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 17．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2，求数列{}n a 的前n 项和n T ． 18．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知36S =， 44a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若133n n a a n b +=-，求证：
19．已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =， （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()31n
n
n n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；
（3） 对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数p 、q ，使得k p q c c c =？若存在，求出p 、q 的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由；
20．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为()
*
36,27n n a n b n n N =+=+∈，将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列123
,,
,
,,
n c c c c ；将集合
中的元素从小到大依次排列，构成数列123
,,,
,,
n d d d d .
（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{}n c 的通项公式()f n ；
（3）设数列{}n c 的前n 项和为n S ，求数列{}n S 的通项公式()g n .
21．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列， {}n b 是等比数列，且113,b a ==
2339,b a b a ==
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设53log 32n n c b =-，求数列n 项的和n S ． 22．已知数列{}n a 满足29a =， 187n n a a +=-． （1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2将n c 的底数与指数互换得到n d ，设数列
的前n
项和为n T ，求证： 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
2*
2n S n n n N =-∈.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 24．在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 成等比数列． (1)求 , ；
(2)若 ，求 .
25．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和且满足22n n S a =-，在数列{}n b 中满足214a b =，
()211n n nb n b n n +-+=+（*N n ∈）
（2）证明n b n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为等差数列； （3）若数列{}n c 的通项公式为,2{ 4
n n
n n n
a b n c a b n -
=为奇数，为偶数，设212n n n p c c -=+，令n T 为{}n p 的前n 项的和，求n T ．
26．已知单调递增的等比数列{}n a 满足： 2420a a +=， 38a = （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2，数列{}n b 的前n 项和为n S , 1250n n S n ++⋅>成立的正整数
n 的最小值.
27．已知数列 的前n 项的和S n ，点（n ，S n ）在函数 =2x 2+4x 图象上： （1）证明 是等差数列；
（2）若函数 ，数列{b n }满足b n = ，记c n =a n •b n ，求数列 前n 项和T n ；
（3）是否存在实数λ，使得当 ≤λ时，f (x)=﹣x 2+4x ﹣
≤0对任意n ∈N *恒成立？若
存在，求出最大的实数λ，若不存在，说明理由．
28．设数列 的前 项和为 ，已知 . （1）设 ，证明数列 是等比数列（要指出首项、公比．．．．．．．．）； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 29．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且*n N ∈. （1为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2的前n 项和为n T ，是否存在正整数λ，对任意*
,m n N ∈，不等式m n 0T S λ-<恒成立？若存在，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由.
30．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1n n S pS q +=+（p 、q 为常数， *
n N ∈），又
12a =， 21a =， 33a q p =-.
（1）求p 、q 的值；
（3）是否存在正整数m 、n
有序实数对(),m n ；若不存在，说明理由.
31．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112,22,1n n a a S n +==+≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足： ()31log n
n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 32．已知数列 满足 ， ，求证： （I ） ； （II ） ； （III ）
.
33．在等差数列 和等比数列 中， ,且 成等差数列， 成等比数列. （1）求数列 , 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和为 ，若
对所有正整数 恒成立，求常数 的取值范围.
34．（1）在等差数列{}n a 中，已知120a =，前n 项和为n S ，且1015S S =，求当n 取何值时， n S 取得最大值，并求出它的最大值；
（2）已知数列{}n a 的通项公式是425n a n =-，求数列{}
n a 的前n 项和. 35．已知数列 满足： ，
（ ）. （1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证：
. 36．若正项数列{ }满足：
，则称此数列为“比差等数列”．
（1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值； （2）设数列{ }是一个“比差等数列” （i ）求证： ；
（ii ）记数列{ }的前 项和为 ，求证：对于任意 ，都有
．
（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式（*N k ∈），求数列{}n b 的前n 项
和n S .
38．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
2n S n
n =+，
*n N ∈，在数列{}n b 中， 11b =， 123n n b b +=+， *n N ∈．
（1）求证： {}3n b +是等比数列； （2）若()2log 3n n c b =+，求数列的前n 项和n R ；
（3）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 39．的图象上有一点列()()*,n n n P x y n N ∈，点n
P 在x 轴上的射影是(),0n n Q x ，且132n n x x -=+ (2n ≥且*
n N ∈)， 12x =. (1)求证： {}1n x +是等比数列，并求出数列{}n x 的通项公式； (2)对任意的正整数n ，当[]
1,1
m ∈-时，求实数t 的取值范围.
(3)设四边形11n n n n P Q Q P ++的面积是n S
，求证：
40．已知等差数列 满足 ， ， 的前 项和为 . （1）求 ；
（2）令
，求数列 的前 项和 .
41．已知等比数列 的公比 ，且 ， . （Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设
， 是数列 的前 项和，对任意正整数 不等式
恒
成立，求实数 的取值范围.
42．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列， 12a =，且2a ， 3a ， 41a +成等比数
（2，求数列{}n b 的前n 项和n S .
43．已知向量,a b 满足(2sin a x =- ()cos ,cos sin b x x x =-，函数()()·f x a b x R =∈． （Ⅰ）求()f x
在 ()*
n N ∈，求{}n a 的前2n 项和2n S ． 44．已知数列{}n a 的前n 项和()2
24*n n S n N +=-∈，函数()f x 对一切实数x 总有
()()11
f x f x +-=，数
列
{}
n b 满足
211
.n f f f n n -⎛⎛⎫
+++
⎪⎝
⎝
⎭
分别求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
若数列{}n c 满足n n n c a b =⋅， n T 数列{}n c 的前n 项和，若存在正实数k ，使不等式
()
229366n n k n n T n a -+>对于一切的*n N ∈恒成立，求k 的取值范围.
45．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()
*
221n n S n a n N =+-∈.
(1) 求1a 的值，并用1n a -表示n a ； (2) 求数列{}n a 的通项公式；
(3) 1
a a ++
46．设
ABC 的内
角A,B,C 所对应的边长分别是a,b,c,且
()2cos cos cos C a B b A c +=．
（1）求角C ； （2）若c =
ABC 的面积为
2
，求ABC 的周长．
()()
*110,,0,,1n n a a a a rS n N r r R r +=≠=∈≠∈≠-
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若存在*k N ∈，使得12,,k k k S S S ++ 成等差数列，试判断：对于任意的
*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥是否成等差数列，并证明你的结论.
48．设数列{}n a 满足10a =且
（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； ，记n s 是数列{}n b 的前n 项和，证明： 1n S <.
49．已知正项等比数列{}n a 满足12,3,26a a a +成等差数列，且2
4159a a a =．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
50．已知{}n a 为公差不为零的等差数列，首项1a a =， {}n a 的部分项1k a 、2k a 、 、
n k a 恰为等比数列，且
，，.
（1）求数列{}n a 的通项公式n a （用a 表示）； （2）设数列{}n k 的前n 项和为n S , 求证：
13
2
S ++
<（n 是正整数 51．定义在 上的函数 为增函数，对任意 都有 （ 为常数）
（1）判断 为何值时， 为奇函数，并证明；
（2）设 ， 是 上的增函数，且 ，若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围. （3）若
， ， 为 的前 项和，求正整数 ，使得对任意 均
有 .
52．设数列 的前 项和为 ， ，且对任意正整数 ，点 都在直线 上.
（1）求数列 的通项公式；
53．设数列的前n 项的和与的关系是
.
（1）求并归纳出数列的通项（不需证明）；
（2）求数列
的前项和
.
54．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若575,49a S =-=- （1）求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）求数列{}
n a 的前24项和24T .
55．设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 11a =， ()31n n S na n n =-- ()
*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）是否存在正整数n ，使得
32
n S n ++
-求出n 值；若不存在，说明理由.
56．各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点（a n ，a n+1）（n∈N *
）
． （1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；
（2）已知数列{b n }满足b n =4﹣n ，设其前n 项和为T n ，若存在正整数k ，使不等式T n ＞k 有解，且()(
)2*
1n
n n k a S n N
-<∈恒成立，求k 的值．
57．设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足：
， . （Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）设
，求数列 的前 项和 .
58．若有穷数列12,...n a a a （n 是正整数），满足1211,,....,n n n a a a a a a -===即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”。

例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．
（1）已知数列{}n b 是项数为9的对称数列，且1b ,2b ,3b ,4b ,5b 成等差数列， 12b =，
411b =,试求6b ， 7b ， 8b ， 9b ，并求前9项和9s .
（2）若{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121,...k k k c c c +-构成首项为31，公差为2-的等差数列，数列{}n c 前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时， 21k S -取到最大值？最大值为多少？
（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为1，公比为2的等比数列．求{}n d 前n 项的和n S
()12100n =，
，，． 59．设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式：3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，
n ＝2,3,4，…)．
(1)求证：数列{a n }是等比数列；
(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b
1＝1， n ＝
2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；
(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1.
60．设数列{n a }是等差数列，数列{n b }的前n 项和n S 满足1n n S b =-,
()
*n N ∈,
（1）求数列{n a }和{n b }的通项公式：
（2）设n T 为数列{n a ． n b }的前n 项和，求n T ． 61．已知数列 满足： ，
（ ）．
（Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）证明：
； （Ⅲ）求证：
．
62．已知数列{}n a 满足11a =， 23a =， ()
*
1143,2n n n a a a n N n
+-=-∈≥，
（Ⅰ）求证数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若{}n b 的前n 和为n S ， 2n n n T S S =-． ①判断并证明数列{}n T 的单调性；
②求证：
()*n N ∈． 63．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，
，S n ＝n 2
a n －n (n －1)，n ＝1，2，… (1)证明：数列{
S n }是等差数列，并求S n ；
(2)设
，求证 ：b 1＋b 2＋…＋b n ＜1．
64．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足2
*1441
,,n n S a n n N +=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.
(Ⅰ) 证明:
(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,1a a ++
65．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n
S n =+，且26
S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：
66．已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ， 4a 的等差中项.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足()
1
312231
1212121
21
n n
n
n b b b b a +=-----++++，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设2n n n c b λ=+，问是否存在实数λ使得数列{}n c （*
n N ∈）
是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 67．已知数列 的前 项和为 ，且
（ ）求数列 的通项公式；
（ ）若数列 满足
，求数列 的通项公式；
（ ）在（ ）的条件下，设 ，问是否存在实数 使得数列 是
单调递增数列？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
68．已知数列n a 和n b (3
2n a =
若n
a
为等比数列，且
1322,6a b b ==+
（1）求n a 和n b ； （2，记数列n c 的前n 项和为n S ①求n S ；
②求正整数 k ，使得对任意n N +∈均有k n S S ≥. 69．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
2n S n
n =+，
*
n N ∈，在数列{}n b 中， 11b =， 123n n b b +=+， *n N ∈．
（1）求证： {}3n b +是等比数列； （2）若()2log 3n n c b =+，求数列的前n 项和n R ；
（3）求数列{}n n a b 的前n
项和n T ． 70．已知数列{}n a 中， 11a =，
（1）求证： 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；
（2）数列{}n b 满足，求数列{}n b 的前n 项和为n T ． 71．已知数列{}n a ， {}n b 都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列{}n c .
（1）设数列{}n a 、{}n b 分别为等差、等比数列，若111a b ==， 23a b =， 65a b =，求20c ；
（2）设{}n a 的首项为1，各项为正整数， 3n n b =，若新数列{}n c 是等差数列，求数列{}n c 的前n 项和n S ；
（3）设1n n b q -=（q 是不小于2的正整数），11c b =，是否存在等差数列{}n a ，使得
对任意的*n N ∈，在n b 与1n b +之间数列{}n a 的项数总是n b ？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{}n a ；若不存在，请说明理由.
72．对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”. （1）已知数列1, 21,m m +是“K 数列”,求实数m 的取值范围;
（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”,且其前n 项和n S 使得
2
12
n S n n <
-恒成立?若存在,求出{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由; （3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”,数列12n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
不是“K 数列”,若1
,1
n n a b n +=
+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”,并说明理由. 73．设数列 满足 ， . （1）若 ，求 的值；
（2）求证：数列 是等差数列；
（3）设数列 满足 ，且
，若存在实数 ，对任
意 都有 成立，试求 的最小值.
74．已知数列 满足 （ ），其中 为 的前 项和， . （Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记数列
的前 项和为 是否存在无限集合 ，使得当 时，总有
成
立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由.
75．已知数列{}n a 是等比数列， n S 为数列{}n a 的前n 项和，且333,9.a S == （1）求数列{}n a 的通项公式. （2）且{}n b 为递增数列.
12... 2.n c c c +++< 76．已知数列{}n a 是首项等于
1的等比数列， n S 是它的前n 项和，
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设log (0n a n b a a =>且1)a ≠，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最值．
77．已知点列(),0n n A x ， *n N ∈，其中10x =， 2x a =（0a >），3A 是线段12
A A
的中点， 4A 是线段23A A 的中点，…n A 是线段21n n A A --的中点，… （Ⅰ）写出n x 与1n x -、2n x -之间的关系式（3n ≥）；
（Ⅱ）设1n n n a x x +=-，计算1a 、2a 、3a ，由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明．
78．已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，向量x =(1,b n )， y =(a n －1,S n )，
x //y ．
（1）若b n =2，求数列{a n }通项公式； （2）若2
n n
b =
， 2a =0. ①证明：数列{a n }为等差数列； ②设数列{c n }满足3
2
n n n a c a ++=
，问是否存在正整数l ，m (l<m ,且l ≠2，m ≠2)，使得2,,l m
c c c 成等比数列，若存在，求出l 、m 的值；若不存在，请说明理由. 79．已知｛a n ｝为等差数列，且满足a 1+a 3=8，a 2+a 4=12 （1）求数列｛a n ｝的通项公式；
（2）记数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 3，a k +1，S k 成等比数列，求正整数k. 80．（题文）设数列 是等差数列，数列 的前 项和 满足 ， 且
（1）求数列 和 的通项公式： （2）设 为数列 的前 项和，求 ． 81．记{}1,2,100U =，
对数列{}()*
n a n N ∈和U 的子集,T 若T =∅，定义0T S =，若{}12,,
,,k T t t t =定义12k T t t t S a a a =++例如： {}1,3.66T =时，
1366.r S a a a =++现设{}()•n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时,30T S =.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2,,,T k ⊆求证： 1T k S a +<；
（Ⅲ）对任意正整数()1100,k k ≤≤若{}1,2
,T k =，
的前k 项和为H ，
求证：
82．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等
比数列，且1122b a =-=， 321a b +=-， 3327S b +=. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）令2
{2n n
n
n c a n b =-为奇数为偶数
，求数列{}n c 的前n 项和为n T .
83．已知数列{}n a 满足112,24n n a a a +=-=+．
（1）证明数列{}4n a +是等比数列并求出{}n a 通项公式； （2，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
84．列{}n a 与{}n b 满足()112,n n n n a a b b n N ++-=-∈， 21n b n =-，且1 2.a = （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1,n n
n n n n
a c T
b -=为数列{}n
c 的前n 项和，求.n T
85．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 （1）计算123,,a a a 的值，并猜想{}n a 的通项公式； （2）用数学归纳法证明{}n a 的通项公式.
86．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足437922a a a =+=，.
（1）求n a 和n S ； （2，求数列{}n b 的前n 项和n T . 87．在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且 （1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；
（2，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值.
88．已知数列 中， ，其前 项和为 ，且满足 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)记
，若数列 为递增数列，求 的取值范围．
89．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知11a =，且125,,a a a 依次成等比数列.
数列{}n b 满足121n n b b +=-，且13b =. （1）求数列{}n a ， {}n b 的通项公式； （2）求数列(){}1n n a b -的前n 项和为n S .
90．已知数列{}n a 中，
（1）求证： 是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ； （2）数列{}n b
{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式对一切*
n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 91．已知各项均不相等的等差数列 的前五项和 ，且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）若 为数列
的前 项和，且存在 ，使得 成立，求实数 的
取值范围.
92．已知各项均不为零的数列 的前 项和 ，满足： （ 为常数，且 ， ）．
（1）设 ，若数列 为等比数列，求 的值；
（2）在满足（1）的情形下，设 ，数列 的前 项和 ，若不等式
对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
93．已知数列{}n a 满足11a =，12n
n n a a +=，*n N ∈．
（1）若函数()sin(2)f x A x ϕ=+（0A >，0ϕπ<<）处取得最大值41a +，
求函数()f x 在区间 （2）求数列{}n a 的通项公式．
94．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项和n S 满足12n
n n S S +=+（*n M ∈）．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；
（2）令22log 1n n b a =+ 的前n 项和n T ．
95．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
2,,n n S a +成等比数列()n N *∈.
（1）求a 的值及数列{}n a 的通项公式； （2）若()()211log n n n b an a a +=-，求数列的前n 项和n T . 96．已知数列{}n a 满足*
21()n n S a n N =-∈，{}n b 是等差数列，且11b a =，43b a =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2，求数列{}n c 的前n 项和n T . 97．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， ()1,1a a =， ()101,b a =，若·
24a b =，且11143S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()1121n a n T a λ-=--（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +⎧
⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n M ；
（Ⅱ）是否存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？并说明理由．
98．已知公差不为0的等差数列{}n a 中，17a =，且2481,1,1a a a +++成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1n n b b +++=
的正整数n 的值．
99．已知数列}{n a 的前n 项和12-+=n n a n S ，且41a a ，是等比数列}{n b 的前两项，记n b 与1+n b 之间包含的数列}{n a 的项数为n c ，如1b 与2b 之间的项为32a a ，，则21=c . （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n n c a 的前n 项和. 100．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55S =-,且346,,a a a 成等比数列.
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2
求数列
{}
n
b
的前n项和n
T
.
参考答案
1．（1）n n a a =；（2
（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由题意知()()1111,1,1n n n n n n a a S a S a S a S a ---==-+=-+，由此可
知；（2）由题意1a ≠，
3
）证明：消法求和，利用放缩法可得结论.
试题解析：（1）()1111S a S a =-+ ∴1a a =，
当2n ≥时， ()1n n n S a S a =-+ ()1111n n n S a S a
---=-+ 两式相减得： 即{}n a 是等比数列，∴1n n n a a a a -=⋅=； （
2）由（1
若{}n b 为等比数列，则有2213b b b =， 而()23
122,21b a b a
a ==+， ()42221
b a a a =++
故()()2
323
21221a a a a a ⎡⎤+=⋅+⎣⎦
，解得
成立，符合{}n b 为等比数列.
（2）证明：由（2
223111
1111222222222n n n c +⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫++>-++-++
+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
2．(1) 21n a n =-;(2) ①；②存在正整数3m =， 8n =，使得2b ， m b ， n b 成等差数列.
【解析】试题分析：（1）直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；（2）①把数列{}n a 的通项公式代入然后裂项，累加后即可求得数列{}n b 的通项公式；②假设存在正整数m ，
n （m n ≠）
，使得2b ， m b ， n b 成等差数列，则22n m b b b +=，由此列关于m 的方程，求解得答案. 试题解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >． 由2315a a =， 416S =，得()()111215,{ 4616,
a d a d a d ++=+=解得11,{ 2,
a d ==或17,{ 2,
a d ==-（舍去）
．
所以21n a n =-．
（2）①因为11b a =， ，所以111b a ==
，
2n ≥） 11b =也符合上式，故 *n N ∈．
②假设存在正整数m 、n （m n ≠），使得2b ， m b ， n b 成等差数列，则22n m b b b +=．
化简得：
当13n +=，即2n =时， 2m =（舍去）； 当19n +=，即8n =时， 3m =符合题意．
所以存在正整数3m =， 8n =，使得2b ， m b ， n b 成等差数列． 3．（1）n x
（2）见解析；（3）见解析.
【解析】试题分析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，
，则1144n n x n x n y +++==∴1n n x x n +=+
从而能求出数列{}n x 的通项公式． （
2
）
由
，
知
，，当
2
n ≥时，
58⎛⎫
<
< ⎪⎝⎭
，
∴
211221n n T
c c c --=+++
1
58-⎛⎫++ ⎪⎝⎭
（3）由∵1n n n a x x n +=-=，22
n
n d ++
=1
1
2
n n d --++
=（2n ≥） （2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22
n
n n d n +==≥，，， 由此能够比较n A 与
试题解析：（1）依题意点n P 的坐标为()1n n x y +，
，
∴1144n n x n x n y +++==∴1n n x x n +=+ ∴()()()121
121121n n n x x n x n n x n
--=+-=+-+-=
=+++
+-
（2
∴当2n ≥时， 58⎛⎫
<
< ⎪⎝⎭
∴211221n n T c c c --=+++ 258⎛⎫+
+ ⎪⎝⎭
（当1n =时取“=”）.
（Ⅲ）∵1n n n a x x n +=-=，∴
22n n d ++
=1
1
2
n n d --++
=（2n ≥） （2n ≥），而12d =，所以可得121{ 22
n
n n d n +==≥，，， 于是34112
32222n n n B d d d d -=+++
+=+++
+
2341222224n +=+++++-
当1n =， 2时， 当3n =时， 当4n ≥时， 012
1222n n n n n n n n C C C C C --=+++
++-
1n n
C
-+
+>∴当4n ≥时，
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法、不等式的证明和两个表达式大小的比较，具体涉及到数列与不等式的综合运用，其中放缩法的应用和构造法的应用是解题的关键．
4．（1）()()
2
{
2
n
n n n a n ∴=为奇数为偶数（2）()32128n n S n +=-+（3）详见解析
【解析】试题分析：（1）由数列
{}n a 满足22,{
2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数
，且
*12,1,2n N a a ∈==.．当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列．当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*
2k a k N ∈（）
成等比数列，即可得出． （2）*1n n n b a a n N +=∈，， 可得： 21221222142k k k k k k k b b a a a a k --++=+=⋅ ．利用“错位相减法”与分组求和即可得出．
（3）21212121n n n
n n n c a a n -=+-=-⋅+-（）（）（）．
可得()()1111
321212
n n n n C n +=<≥-- n 为奇，
()()1
111
221212n n n n C +=<≥-+ n 为偶，即可证明． 试题解析：
（1）当n 为奇数时， 22n n a a +-=，此时数列{}*21k a k N -∈（）成等差数列． 2d = 当n 当为偶数时， 22n n a a +=，此时数列{}*
2k a k N ∈（）
成等比数列 2q = ()()
2
{
2
n
n n n a n ∴=为奇数为偶数
（2）()()2122122212122
2142k
k
k k k k k k k b b a a a a k k k --++=+=-⋅++=⋅
()()()21234212n n n S b b b b b b -=++++++
23
241222322n n S n ⎡⎤∴=⋅+⋅+⋅+⋅⎣⎦
()2312241222122n n n S n n +⎡⎤=⋅+⋅++-+⋅⎣⎦
12242222n n n S n +⎡⎤∴-=+++-⋅⎣
⎦
(3) ()()3121n
n
n C n =-+-
()()()()
2121{ 2121n n n
n n C n n -⋅-∴=-⋅+为奇为偶 ()()1
111321212n n n n C n +=<≥-- n 为奇 ()()1111221212
n n n n C +=<≥-+ n 为偶
5．（1）313n a n =-，
（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）由等差数列的基本量运算得()()11145,{ 917.
a d a d a d +++=-+=解方程即
可得313n a n =-，
{}n n c b -是等比数列，利用等比数列求通项公式即可；
（2，得12n n n a b c +=-，可得()122312n n a a a b b b ++++=+++
()12n c c c -++
+，即为()112122n n n S T a a a b +-=++++，渴求通项公式化简即可得
最值. 试题解析：
（1）解：设数列{}n a 的公差为d ，则()()11145,{
917.
a d a d a d +++=-+=解得110,{ 3.
a d =-=
∴()1031n a n =-+-，即313n a n =-.
又1120c b -=≠，∴0n n c b -≠， ,∴{}n n c b -是等比数列.
（2，得12n n n a b c +=-， ∴()122312n n a a a b b b +++
+=+++ ()12n c c c -+++，
∴()112122
n n n S T a a a b +-=++
++=
∴当正整数4n =时， 12n n S T +-取得最小值-20. ∴*
N n ∈时， 1220n n S T +-≥-.
点睛：求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，得出首项与公比（或公差），然后写出通项公式；有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，本题采用分组求和法求和，本题要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和
6．（1）21n a n =+ （2）()1
212
2n n
+-+
【解析】试题分析：（1）由题意知，解得13a =，由2
423n n n S a a =+-可得2111423n n n S a a ---=+-，
两式相减能够推出数列{}n a 是以3为首项， 2为公差的等差数列，所以()32121n a n n =+-=+；（2）结合（1）可得2n n n a b = ()21n + ，
利用错位相减法可得1122...n n n T a b a b a b =+++的值.
试题解析：（1）当n = 1时，解出a 1 = 3, （a 1 = 0舍）
又4S n = a n 2
+ 2a n －3 ① 当
时 4s n －1 =
+ 2a n-1－3 ②
①－② , 即，
∴
, （
），
是以3为首项，2为公差的等差数列，
．
（2） ③
又 ④
④－③
【 方法点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的通项以及错位相减法求数列的的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列， {}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.
7．（1）32n a n =-；（2【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意，可化简得()132n n a a n +=+≥，进而求得11a =，所以3d =， 利用等差数列的通项公式，即可求解数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)由（1）得出()1
322
n n n n c a b n -=⋅=-⋅，利用乘公比错位相减法，求解数列{}n c 的
和()3525n
n T n =-⋅+，在利用()352n
n m -⋅⋅≥ ()
2*
631352,n n n n N -+≥∈恒成立，
. 试题解析：
(1) 2n 1n a 6S 9n 1+=++，
()()2
n n 1a 6S 9n 11n 2-=+-+≥，∴()2
2
n 1n n a a 6a 9n 2+-=+≥， ∴()2
2
n 1n a a 3+=+ 且各项为正，∴()n 1n a a 3n 2+=+≥
又3a 7=，所以2a 4=，再由221a 6S 91=++得1a 1=，所以21a a 3-= ∴{}n a 是首项为1，公差为3的等差数列，∴n a 3n 2=- (2) 13b 1,b 4==∴n 1n b 2-=， ()n 1
n n n c a b 3n 22-=⋅=-⋅
①()01
n 1n T 12423n 22-=⋅+⋅+
+-⋅，②()12n n 2T 12423n 22=⋅+⋅++-⋅
∴(
)
12n 1n T 13222--=+++
+ ()n 3n 22--⋅， ()n n T 3n 525=-⋅+
()n 3n 52m -⋅⋅≥ ()2*6n 31n 35n 2,n N -+≥∈恒成立
.
当n 4≤时， n 1n k k +>； n 5≥时， n 1n k k +<
点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键.
8．(1)详见解析;(2) 1λ=.
【解析】试题分析：（1）由点(),n n S 在函数()2
24f x x x =+上可得224n S n n =+，利用公式1n n n a S S -=-
即可得结果；（2）() 2
n n b g n -==，结合（1）可得
()
4
22n
n n n c a b n -=⋅=+⨯，
利用错位相减法可得结果；（3对任意n N +
∈恒成立，
任意n N +∈恒成立，求出的最小项m ，令2
4x x m -+≤,解不等式即可的结果.
试题解析：（1）由题意， 224n S n n =+，当1n =时， 116a S ==，
2n ≥时， ()
()()2
21242141n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦
，
当1n =时， 11426a S ==+=，也适合上式
∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =+， *n N ∈； {}n a 是等差数列.
（2）
函数()2
x
g x -=，
∴数列{}n b 满足()2n n b g n -==，
又
n n n c a b =⋅，
()12362102142422n n T n ----∴=⨯+⨯+⨯+
++⨯，·
··① (42n ++-···②
①-②得：
)(
2
n
-++⋅
（3）假设存在实数λ，使得当x λ≤时， 对任意n N +∈恒成立，
4n a n =+ 所以只要214x x c -+≤，即2
430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥.
所以存在最大的实数1λ=，使得当x λ≤时， ()n f x c ≤对任意*
n N ∈恒成立.
9．（1）n a = 14,1{
21,2
n n n -=+≥；
（2）13231
1243
n n n T +=-⋅. 【解析】试题分析：（1）当2n ≥时， -1-1n n S a n =+，两式相减得
11
21
n n a a +-=-，可证数列
是等比数列，从而求出通项公式；（2）根据数列的通项特点，利用错位相减法求其和． 试题解析：
（1）11,4n a == 当2n ≥时， 1,n n n a s s -=-得()1121n n a a +-=-，
11
21
n n a a +-=-
112,n n a --=得 121n n a -=-
n a = 1
4,1{
2
1,2
n n n -=+≥ (2)当1n =时， 123
b =
当2n ≥时， 13n
n b n ⎛⎫
=⋅ ⎪⎝⎭
当1n =时， 123
T =
当2n ≥时， 2
3
2111233333n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令2
3
11123333n
M n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3
4
1
1111233333n M n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴ 23M = 1
22111191833n n n +-⎡⎤⎛⎫+--⋅ ⎪
⎢⎥⎣⎦⎝⎭
2111111312323n
n M n -⎡⎤⎛⎫∴=+--⋅ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
132311243n n
n T +⎛⎫∴=
-⋅ ⎪⎝⎭ 经检验1n =时， 1T 也适合上式．
132311243
n n n T +∴=
-⋅ ()*n N ∈ ． 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
10．（1）()()1,00,-⋃+∞； （2或2q >时， n n T S >；或0q ≠时， n n T S <；
或2q =时， n n T S =. 【解析】试题分析：
（1）由0n S >可得110,0a S q =>≠，根据等比数列前n 项和公式，当1q ≠时，
分析分子分母同号异号的不同情况，解出q 的取值范围，当1q =时，
10n S na =>成立；
（2）把n a 的通项公式代入，可得n a 和n b 的关系，进而可知n T 和n S 的关系，再根据（1）中的q 得范围来判断n S 与n T 的大小. 试题解析：
（1）因为{}n a 是等比数列， 0n S >可得110,0a S q =>≠. 当1q =时， 10n S na =>， 当1q ≠时，
)1,2,
上式等价于不等式组： ()10
{
,1,2,10
n
q n q -<=-<①
或()10
{
,1,2,10
n q n q ->=->②
解①式得1q >；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得11q -<<. 综上， q
的取值范围是()()1,00,-⋃+∞. （2
又因为0n S >，且10q -<<或0q >，所以，
0n n T S ->，即n n T S >； 0n n T S -<，即n n T S <； 0n n T S -=，即n n T S =.
11．（1）2n n a =；（2）12222n n S n n +=++-
【解析】试题分析：（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，由题意可得
324820,a a a =+=，
代入通项公式可求得1a q ，，再根据数列{}n a 单调递增，即可求出数列{}n a 的通项公式 （2）
()111222122n n n b a b a b a n +++
+=-+
当2n ≥时， ()1122112122n n n b a b a b a n --+++=-+，
两式相减得()()1
212
232n n n n b a n n +=---，
()()()22123212n b n n n n ∴=⨯---=+≥.，再讨论当1n =时的情况，可求得数列{}
n b 的通项公式. 试题解析：
（1）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q .
依题意，把23428a a a ++=，代入()32422a a a ++，解得38a =，
311242
3120,20,{
8,
a q a q a a a a q +=∴+=∴==
解之得12,{ 2,
q a ==或又数列{}n a 单调递增， 12,2,2n n q a a ∴==∴=. （2）
()111222122n n n b a b a b a n +++
+=-+
当2n ≥时， ()1122112122n n n b a b a b a n --+++=-+，
两式相减得()()()()1
1212
2322212232n n n n n n n n b a n n b n n ++=---=---，
()()()22123212n b n n n n ∴=⨯---=+≥.
当1n =时， 211112226,3b a b b ==+=∴=，满足21n b n =+， 则数列{}n b 的通项公式为21n b n =+. 12．（1） （ ）．（2）112．
【解析】试题分析：（1）把已知等式的左边展开平方差公式，约分后得到 ，得到数列 构成一个首项为1公差为1的等差数列，由等差数列的通项公式求得通项后然后由 求得数列 的通项公式；（2）由裂项相消法求出数列
的前n 项
和为 ，再由
解得满足条件的最小正整数n ． 试题解析：
（1）∵ （ ）， 又 ， ，∴ ；
数列 构成一个首项为1，公差为1的等差数列， ， ， 当 ， ； ∴ （ ）． （2）
；
由
，得
，满足
的最小正整数为112．
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误． 13．（1）2n n a =；（2）3t =.
【解析】试题分析：（1）根据题意列出方程，解方程即可求出公比，进而写出通项公式；（2）先根据前三项为等差数列求t 的值，再证明t 取此值时数列是等差数列即可.
试题解析：（1）由33a 是18a 与5a 的等差中项，得2468q q =+，因为q 为正整数， 2q =，所以2n n a =.
（2）11,24n b t ==-，
当232,164,3,122n b t n b t ==-==-，由数列为等差数列得3t =，，得2n b n =，此时可证数列是等差数列，故3t =. 点睛：本题考查了等差数列的定义，求数列的前n 项和即数列的最大值与恒成立问题，属于难题.解决数列的证明问题时，一般要紧扣等差等比的定义，用定义证明，数列求和时，一般根据通项的特点选择合适的求和方法，其中裂项相消和错位相减法考查的比较多，在涉及数列的恒成立问题时，一般要考虑数列项的最值或前n 项和的最值，进行转化处理即可. 14．（1） ， ；（2）
【解析】试题分析：（1）根据和项与通项关系解得 通项公式；根据待定系数法解得等差数列公差与首项，代人即得 的通项公式；（2）根据错位相减法求数列 的前 项和 .注意相减时项的符号变号，求和时项的个数，最后不要忘记除以 试题解析：解：（Ⅰ）当 时，
；
当 时，
.
综上所述， .
设数列 的公差为 ，故 解得 ， ，
故 .
（Ⅱ）依题意， ，
∴ ，① ∴ ，② ①—②得，
， ∴
.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一。