赣州市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

赣州市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数()cos()3
f x x π
=+，则要得到其导函数'()y f x =的图象，只需将函数()y f x =
的图象（ ）
A ．向右平移
2π个单位 B ．向左平移2π
个单位 C. 向右平移23π个单位 D ．左平移23
π
个单位
2． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为 （ ）
A ．π1492+
B ．π1482+
C ．π2492+
D ．π2482+
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的运用，难度中等.
3． 如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ．若AB=AC=AA 1=1，BC=，则异面直线A 1C
与B 1C 1所成的角为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
4． 下面是关于复数
的四个命题：
p 1：|z|=2， p 2：z 2=2i ，
p 3：z 的共轭复数为﹣1+i ， p 4：z 的虚部为1． 其中真命题为（ ）
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 2
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4
5． 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A ． =
B ．
∥ C ． D ．
6． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=sinx
B ．y=1g2x
C ．y=lnx
D ．y=﹣x 3
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．
7． △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知a =b =
6
A π
∠=
，则
B ∠=（ ）111]
A ．
4π B ．4π或34π C ．3π或23π D ．3
π
8． 已知函数 f （x ）的定义域为R ，其导函数f ′（x ）的图象如图所示，则对于任意x 1，x 2∈R （ x 1≠x 2），下列结论正确的是（ ） ①f （x ）＜0恒成立；
②（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＜0； ③（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0；
④；
⑤
．
A ．①③
B ．①③④
C ．②④
D ．②⑤
9． 圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ）
A ．2=1
B ．2=1
C ．2=2
D ．2=2
10．已知，其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3 11．已知函数f （x+1）=3x+2，则f （x ）的解析式是（ ）
A ．3x ﹣1
B ．3x+1
C ．3x+2
D ．3x+4
12．“3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．
二、填空题
13．数据﹣2，﹣1，0，1，2的方差是 ．
14．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
15．如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB 1的长均为1，回形线与射线OA 交于A 1，A 2，A 3，…，若从点O 到点A 3的回形线为第1圈（长为7），从点A 3到点A 2的回形线为第2圈，从点A 2到点A 3的回形线为第3圈…依此类推，第8圈的长为 ．
16．i 是虚数单位，若复数（1﹣2i ）（a+i ）是纯虚数，则实数a 的值为 ．
17．当0,1x ∈（）时，函数()e 1x
f x =-的图象不在函数2
()g x x ax =-的下方，则实数a 的取值范围是
___________．
【命题意图】本题考查函数图象间的关系、利用导数研究函数的单调性，意在考查等价转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力．
18．若与共线，则y=．
三、解答题
19．已知（+）n展开式中的所有二项式系数和为512，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中所有项的系数之和．
20．设A（x0，y0）（x0，y0≠0）是椭圆T：+y2=1（m＞0）上一点，它关于y轴、原点、x轴的对称点依次为B，C，D．E是椭圆T上不同于A的另外一点，且AE⊥AC，如图所示．
（Ⅰ）若点A横坐标为，且BD∥AE，求m的值；
（Ⅱ）求证：直线BD与CE的交点Q总在椭圆+y2=（）2上．
21．已知f（x）=（1+x）m+（1+2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11．
（1）求x2的系数取最小值时n的值．
（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．
22．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海
难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间；
中，求角B的正弦值.
（2）若最短时间内两船在C处相遇，如图，在ABC
23．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程（φ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极
轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l 的极坐标方程是ρ（sin θ+）=3
，射线OM ：θ=与圆C 的交点为O ，P ，与直线l
的交点为Q ，求线段PQ 的长．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，()a R ∈．
（Ⅰ）若当04x ≤≤时，()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值； （Ⅱ）当03a ≤≤时，求证：()()()()f x a f x a f ax af x ++-≥-．
赣州市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】
试题分析：函数()cos ,3f x x π⎛
⎫
=+
∴ ⎪⎝
⎭()5'sin cos 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以函数 ()cos 3f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，所以将函数函数()y f x =的图象上所有的点向左平移2π个单位长度得到
5cos cos 326y x x πππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故选B.
考点：函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换. 2． 【答案】A
3． 【答案】C
【解析】解：因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则直线A 1C 与BC 所成的角为就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角．
直三棱柱ABC ﹣A
1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ．若AB=AC=AA 1=1，BC=，BA 1=
，
CA 1=，
三角形BCA 1是正三角形，异面直线所成角为60°．
故选：C ．
4． 【答案】C
【解析】解：p
1：|z|=
=
，故命题为假；
p2：z2
=
==2i，故命题为真；
，∴z的共轭复数为1﹣i，故命题p3为假；
∵，∴p4：z的虚部为1，故命题为真．
故真命题为p2，p4
故选：C．
【点评】本题考查命题真假的判定，考查复数知识，考查学生的计算能力，属于基础题．5．【答案】D
【解析】
解：由图可知，
，但
不共线，故，
故选D．
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．
6．【答案】B
【解析】解：根据y=sinx图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性；
y=lg2x=xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项B正确；
根据y=lnx的图象，该函数非奇非偶；
根据单调性定义知y=﹣x3在（0，+∞）上单调递减．
故选B．
【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义．
7．【答案】B
【解析】
试题分析：由正弦定理可得
:()
,sin0,,
sin24
sin
6
B B B
B
π
π
π
=∴=∈∴=或
3
4
π
，故选B.
考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.
8．【答案】D
【解析】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示．
f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；
②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；
③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，
④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，
右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，
故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．
故选D．
9．【答案】D
【解析】解：由题意知圆半径r=，
∴圆的方程为2=2．
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题．10．【答案】B
【解析】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1
另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．
故选B．
【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．
11．【答案】A
【解析】∵f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1
∴f（x）=3x﹣1
故答案是：A
【点评】考察复合函数的转化，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】
二、填空题
13．【答案】2．
【解析】解：∵数据﹣2，﹣1，0，1，2，
∴=，
∴S2=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2，
故答案为2；
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x
，x2，…x n的平均数，是一道基础题；
1
14．【答案】2．
【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，
∴2+x+4+6+10=5×5，
解得x=3，
∴此组数据的方差[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，
∴此组数据的标准差S==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．
15．【答案】 63 ．
【解析】解：∵第一圈长为：1+1+2+2+1=7 第二圈长为：2+3+4+4+2=15
第三圈长为：3+5+6+6+3=23 …
第n 圈长为：n+（2n ﹣1）+2n+2n+n=8n ﹣1 故n=8时，第8圈的长为63， 故答案为：63．
【点评】本题主要考查了归纳推理，解答的一般步骤是：先通过观察第1，2，3，…圈的长的情况发现某些相同性质，再从相同性质中推出一个明确表达的一般性结论，最后将一般性结论再用于特殊情形．
16．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数，
得
，解得：a=﹣2．
故答案为：﹣2．
17．【答案】[2e,)-+∞
【解析】由题意，知当0,1x ∈（）时，不等式2
e 1x
x ax -≥-，即21e x x a x +-≥恒成立．令()21e x
x h x x
+-=，
()()()2
11e 'x x x h x x
-+-=．令()1e x k x x =+-，()'1e x k x =-．∵()0,1x ∈，∴()'1e 0,x
k x =-<∴()k x 在()0,1x ∈为递减，∴()()00k x k <=，∴()()()
2
11e '0x x x h x x
-+-=
>，∴()h x 在()0,1x ∈为递增，∴
()()12e h x h <=-，则2e a ≥-．
18．【答案】 ﹣6 ．
【解析】解：若与
共线，则2y ﹣3×（﹣4）=0
解得y=﹣6 故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y 的方程，是解答本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）对（+）n，所有二项式系数和为2n
=512，
解得n=9；
设T r+1为常数项，则：
T r+1=C9r=C9r2r，
由﹣r=0，得r=3，
∴常数项为：C9323=672；
（2）令x=1，得（1+2）9=39．
【点评】本题考查了二项式展开式定理的应用问题，也考查了赋值法求展开式各项系数和的应用问题，是基础题．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵BD∥AE，AE⊥AC，
∴BD⊥AC，可知A（），
故，m=2；
（Ⅱ）证明：由对称性可知B（﹣x0，y0），C（﹣x0，﹣y0），D（x0，﹣y0），四边形ABCD为矩形，
设E（x1，y1），由于A，E均在椭圆T上，则
，
由②﹣①得：（x1+x0）（x1﹣x0）+（m+1）（y1+y0）（y1﹣y0）=0，
显然x1≠x0，从而=，
∵AE⊥AC，∴k AE•k AC=﹣1，
∴，
解得，
代入椭圆方程，知．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义的应用，关键是利用椭圆的对称性寻求点的坐标间的关系，体现了整体运算思想方法，是中档题．
21．【答案】
【解析】 【专题】计算题．
【分析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的x 的系数，列出方程得到m ，n 的关系；利用二项展
开式的通项公式求出x 2
的系数，
将m ，n 的关系代入得到关于m 的二次函数，配方求出最小值
（2）通过对x 分别赋值1，﹣1，两式子相加求出展开式中x 的奇次幂项的系数之和．
【解答】解：（1）由已知C m 1+2C n 1
=11，∴m+2n=11，
x 2的系数为C m 2+22C n 2=
+2n （n ﹣1）=+（11﹣m ）（
﹣1）=（m ﹣）2+
．
∵m ∈N *，∴m=5时，x 2的系数取得最小值22，
此时n=3．
（2）由（1）知，当x 2的系数取得最小值时，m=5，n=3，∴f （x ）=（1+x ）5+（1+2x ）3
．
设这时f （x ）的展开式为 f （x ）=a 0+a 1x+a 2x 2++a 5x 5，
令x=1，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=25+33
，
令x=﹣1，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5=﹣1， 两式相减得2（a 1+a 3+a 5）=60，
故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30．
【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特殊项问题；利用赋值法求二项展开式的系数和
问题．
22．【答案】（1）23小时；（2）14
． 【解析】
试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C 处相遇. 在ABC ∆中，4575120BAC ∠=+=，10AB =，9AC t =，21BC t =. 由余弦定理得：222
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠， 所以2
2
2
1(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-，
化简得2
369100t t --=，解得23t =
或512t =-（舍去）. 所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为2
3
小时.
（2）由2963AC =⨯=，2
21143
BC =⨯=.
在ABC ∆
中，由正弦定理得6sin 6sin120
2sin 14
14AC BAC B BC ⨯
∠===
=. 所以角B . 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示,
AC BC ，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 23．【答案】
【解析】解：（I ）圆C 的参数方程
（φ为参数）．消去参数可得：（x ﹣1）2+y 2
=1．
把x=ρcos θ，y=ρsin θ
代入化简得：ρ=2cos
θ，即为此圆的极坐标方程． （II
）如图所示，由直线l 的极坐标方程是ρ（
sin θ
+）=3
，射线
OM
：θ=
．
可得普通方程：直线l ，射线OM ．
联立
，解得
，即Q
．
联立，解得或．
∴P ．
∴|PQ|=
=2．
【点评】本题考查了极坐标化为普通方程、曲线交点与方程联立得到的方程组的解的关系、两点间的距离公式等基础知识与基本方法，属于中档题．
24．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）()2x a f x -=≤得，22a x a -≤≤+ 由题意得20
42
a a -≤⎧⎨≤+⎩，故22a ≤≤，所以2a = …… 5分
（Ⅱ）
03a ≤≤，∴112a -≤-≤，∴12a -≤，
()()2f ax af x ax a a x a ax a ax a -=---=---()()
2212ax a ax a a a a a a ≤---=-=-≤ ()()()2222f x a f x a x a x x a x a a -++=-+≥--==，
∴()()()()f x a f x a f ax af x -++≥-．…… 10分。