3.2导数的应用(一)练习题

答案 B
3.已知f （x ）的定义域为R, f （x ）的导函数f'（x ）的图象如图所
f （x ）是R 上的增函数
f （x ）是（一X, 1）上的减函数，（1，+X ）上的增函数
答案：C
4.已知直线y= kx 是y = In x 的切线，贝U k 的值为（
）.
§ 3.2导数的应用（一） 一、选择题 1.与直线2X — y + 4 = 0平行的抛物线y = X 1 2的切线方程是（ ）. A. 2x — y + 3 = 0 B. 2x — y — 3 = 0 C. 2x — y + 1 = 0 解析 设切点坐标为（X 0, x 0），则切线斜率为2X 0 , D. 2x — y — 1 = 0 由2x o = 2得X o = 1,故切线方程为y — 1 = 2(X — 1), 即 2x — y — 1 = 0. 答案 D 2. 2 1 函数y = 4x + X 的单调增区间为（ ）. 入
A. (0,+^) （
1
(—X,— 1) ( n
D f -x ，- 2 1 1 解析 由 y = 4x 2 + -得 y ‘= 8x — -2,令 y ‘ >0,即 x x 8x — ->0，解
得 x
1 x
>2,
函数 y= 4x 2
+ x 在 g '+x X 匕
A. e
示，则（
）
f （x ）在x= 1处取得极小A. B. f （X ）在x= 1处取得极大值
D. 解析：由图象易知f ‘（x ） >0
在R 上恒成立，所以f （x ）在R 上是增函数.
解析 设(X 0, In x o )是曲线y = In x 与直线y= kx 的切点, 由 y '= X 知 y'i x =x 0=£ In X 0 1 — 1
戈訂=X?解得X0=e ，k =e.
答案 C
答案D
6.对于R 上可导的任意函数f(x)，若满足(X — 1)f'(X) >0,则必有(
).
A. f(0) + f (2)v2f ⑴ B . f(0) + f(2)
<22(1) C. f(0) + f(2) >22(1) D . f(0) + f(2)>2 f(1) 解析 不等式(X — 1)f '(X) >0等价于j X — I 。

，>() 或〔X 一 1< 0
， 或 f X W() 可知f (X)在(一X, 1)上递减，(1，+X)上递增，或者f (X)为常数函数，因此 f (0) + f(2) >2 2(1). 答案 C 7.函数 f(x)的定义域为 R, f( — 1) = 2,对任意 X € R, f '(X)>2,则 f(x) >2x + 4的解集为( ). A. ( — 1,1) B. ( — 1,+x) C. ( —X,— 1)
D. ( —x,+x 解析 设 g(X) = f(X) — 2X — 4,由已知 g'(x) = f '(X) — 2>0, 则 g(x)在(一X,+X )上递增，又 g( — 1) = f( — 1) — 2 = 0, 由 g(x) = f (x) — 2x — 4>0,知 X>— 1. 答案 B 二、填空题 1
8设函数f(x) = x(e X + 1) + 2x 2,贝U 函数f(x)的单调增区间为
由已知条件:
5.函数f (X) = ax 3 + bx 在X =1处有极值，则ab 的值为(
a .—2 C
'爺 3a fc 0丿
A. 2
解析 f ‘( X)= 3ax 2 + b,由 f .3 1
}+ b= 0,可得 ab= — 3.故选 D.
解析：因为 f(x) = x(e x + 1) + 舟-2, 所以f ‘(x) = e x + 1 + xe x + x= (e x + 1) •(x + 1).
令 f'(x)>0，即(e x+ 1)( x + 1)>0，解得 x>— 1.
所以函数f (x)的单调增区间为(一1,+-).
答案：(—1,+-)
9._________________________________ 函数f (x) = x3— 3x2+ 1在x = 取
得极小值.
解析 f '(X)= 3x2— 6x，令 f '(X)= 0,得 X1 = 0, X2= 2,当x € ( —―, 0)时，
f '(x)>0 ,
当X € (0,2)时，f '(x)v0 ,当x€ (2 , +-)时，f '(x)>0 ,显然当 x = 2 时
f(x) 取极小值.
答案2
10.若曲线f (X) = ax5+ In X存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是
1
解析••• f '(X) = 5ax4+ x, x € (0,+^),
入
4 1
•••由题意知5ax + -= 0在(0,+^)上有解.
x.
1
即a= — 5x^在(0,+^)上有解.
•- x€ (0,+-)，•—右€ ( —-, 0) . • a€ ( —-, 0).
答案 (—X, 0)
11.函数f (x) = x&x — X2(a>0)的单调递减区间是________ .
解析由ax — x2>0(a>0)解得CKx< a,即函数f (x)的定义域为[0 , a] , f' (x)
(3a、
x —
7) 3a
，由f'(x)v0解得x 》一，因此f (x)的
单调递减区间
2
— 2x IX —
3ax — 4x ■
2= 2
—R 是律,a ] 答案限a ]
2
12.已知函数 f (x) = x (x — a). 若f(x)在(2,3)上单调则实数a 的范围是
若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a 的范围是 解析 由 f (X) = X 3 — ax 1 2得 f
‘(X) = 3x 2
— 2ax = 3^x — y .
「2a ly 工 0，
若f(x)在(2,3)上不单调，则有｛
【2寻3, 「9
答案(一x ，3 ]临，+「； [3,刃 三、解答题
1
13. 已知函数f (x) = ax 2 + blnx 在x = 1处有极值刁. (1)求a ，b 的值；
⑵ 判断函数y= f(x)的单调性并求出单调区间.
解析(1)因为函数f(x) = ax 2 + blnx ， 所以 f ‘(x) = 2ax + b
x 1
又函数f (x)在x = 1处有极值2,
⑵由(1)可知f(X) X+1 X —1
x
■
当x 变化时，f ‘(X)，f(x)的变化情况如下表:
所以函数y = f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，+X).
14. 已知 f (x) = e x
— ax — 1. (1) 求f (x)的单调增区间；
(2) 若f(x)在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围.
x
x
解析：(1) T f (x) = e — ax —1，.・.f (x) = e — a. 令 f '(x)>0，得 e x >a ，
「2a + b= 0, 即｛ 1 严2，
1
吐2,
解得｛ 、b=—
1. 解得: 3<a<|
1 (0，+x)，且 f ‘(X)= X —-
2
— In X ，其定义域是
当a<0时，有f '(x)>0在R上恒成立;
当 a>0 时，有 x > In a.
综上，当a<0时，f(x)的单调增区间为(—x，+x )；
当a>0时，f (x)的单调增区间为［In a，+x).
⑵由(1)知 f '(x) = e x— a.
••• f (x)在R上单调递增，••• f'(x) = e x— a》0恒成立，即a<e x，x € R恒成立.
••• x€ R时，e x€ (0,+x)，• a<0.
即a的取值范围为(一X，0］.
15.已知函数 f (x) = x3— ax — 1 ⑴ 若f(x)在(—x,+x )上单调递增，求实数a 的取值范围;
(2)是否存在实数a,使f(x)在(—1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围;
若不存在试说明理由.
解析(1) f '(X)= 3x2— a 由0，即 12a< 0，解得 a< 0，
因此当f(x)在(—x，+x )上单调递增时，a的取值范围是(一X，0］.
⑵若f(x)在(—1,1)上单调递减，
则对于任意x € ( — 1,1)不等式f'(X)= 3x2— a<0恒成立
即 a>3x2，又 x € ( — 1,1)，贝U 3x2<3 因此 a>3
函数f(x)在(一1,1)上单调递减，实数a的取值范围是［3，+X).
16.已知函数 f (x) = aln x — ax—3(a€ R).
(1)求函数f(x)的单调区间；
⑵ 若函数y = f (x)的图象在点(2 , f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t € ［1,2］，函数 g(x) = X3+ X2” x + 谿区间(t, 3)上总不是单调函数，求 m的取值范围.
a I — x
解析 (1)根据题意知，f '(X)= ------------ (x>0)，
x
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1］，单调递减区间为(1，+X)；
若干个小开区间，并列出表格；
第五步：由fl x 在小开区间内的正、负值判断f x 在小开区间内的单调 性; 第六步：明确规范表述结论.
1
C. - e
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，+X)，单调递减区间为(0,1］；当a = 0 时，f(x)不是单调函数.
a
(2) ••• f ，(2) =— 2= 1,二 a
= — ••• f (x) = — 2ln x+ 2x — 3.
3 f m C 1 2
•- g(x) = x + |@+ 2 X — 2x ， ••• g，(x) = 3x 2+ (m+ 4)x — 2.
••• g(x)在区间(t, 3)上总不是单调函数，且g’ (0) = — 2,
由题意知：对于任意的 t € [1,2] , g'(t) <0 恒成立,
I g ' 1 < 0， 2 <0，
3 >0，
37
—"3 < m< — 9.
【点评】 第一步: 第二步: 第三步: 第四步: 利用导数解决函数的单调性、最值、极值等问题时，主要分以下几步：， 确定函数的定义域； 求函数f x 的导数fl x ； 求方程f f x = 0的根；
利用fl x =0的根和不可导点的x 的值从小到大顺序将定义域分成。