北京顺义区第五中学2020-2021学年高三数学理模拟试卷含解析

北京顺义区第五中学2020-2021学年高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
A. B. C. D.
参考答案：
D
2. 已知M为△ABC内一点， =+，则△ABM和△ABC的面积之比为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】向量的三角形法则．
【分析】作出图形，则两三角形的面积比等于两三角形高的比，转化为．
【解答】解：设，，以AD，AE为邻边作平行四边形ADME，延长EM交BC与F，
则EF∥AB，
∴==．
故选：A．3. （5分）（2011?惠州模拟）已知向量=（1，﹣2），=（x，2），若⊥，则=（） A． B． C． 5 D． 20
参考答案：
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：计算题．
分析：由题意可得=0，求得x的值，可得的坐标，根据向量的模的定义求出．
解答：由题意可得=（1，﹣2）?（x，2）=x﹣4=0，解得x=4．
故==2，
故选B．
点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
4. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值为（）
A．102 B．410
C．614 D．1638
参考答案：
B
略
5. 四面体的一条棱长为x，其余棱长均为3，当该四
面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球
的表面积为（）
A B. C. D.
参考答案：
D
【知识点】球内接多面体G8
解析：底面积不变，高最大时体积最大，所以，面BCD与面ABD垂直时体积最大，由于四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，所以球心在两个正三角形的重心的垂线的交点，半径
R==；
经过这个四面体所有顶点的球的表面积为：S==15π；故选D．
【思路点拨】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．
6. 等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为（）
A．2 B．3 C．D．
参考答案：
B
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由S1，2S2，3S3成等差数列，可得S1+3S3=2×2S2，即4a1+a2+a3=4（a1+a2），化简即可得出．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S1，2S2，3S3成等差数列，∴S1+3S3=2×2S2，
∴4a1+a2+a3=4（a1+a2），化为：a3=3a2，解得q=3．
故选：B．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7. 已知函数，若则的取值范围是（）
A.
参考答案：
【知识点】函数的奇偶性，解不等式. B4 E3
【答案解析】C 解析：因为，所以是偶函数，所以
为，解得，所以选C.
【思路点拨】先确定是偶函数，所以为，解得.
8. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D. 2
参考答案：
A
试题分析：由双曲线方程可知渐近线为，由渐近线夹角为，可知渐近线倾斜角为，所以
考点：双曲线方程及性质
9. 在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于
A．15 B．12 C．9 D．6
参考答案：
B
略
10. 函数图象的对称中心为
A ．
B. C. D.
参考答案： B 略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 曲线y=lnx 在点（e ，1）处的切线方程为 ．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】计算题；导数的概念及应用．
【分析】由y=lnx ，知y′=，故曲线y=lnx 在点M （e ，1）处切线的斜率k=，由此能求出曲线y=lnx 在点M （e ，1）处切线的方程． 【解答】解：∵y=lnx，∴y′=，
∴曲线y=lnx 在点M （e ，1）处切线的斜率k=，
曲线y=lnx 在点M （e ，1）处切线的方程为：y ﹣1=（x ﹣e ）， 整理，得． 故答案为：
．
【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．
12. 已知函数的图像向左平移个单位后与函数
的图像重合，则正数
的最小值为
参考答案：
13. 已知则常数=_________.
参考答案： 1
，解得。

14. 设集合A={x||x ﹣2|≤3}，B={x|x ＜t}，若A ∩B=?，则实数t 的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣∞，﹣1]
【考点】1E ：交集及其运算．
【分析】求出关于A 的不等式，根据集合的关系求出t 的范围即可． 【解答】解：A={x||x ﹣2|≤3}={x|﹣1≤x≤5}， B={x|x ＜t}， 若A∩B=?，
则实数t 的取值范是：t≤﹣1； 故答案为：（﹣∞，﹣1]．
15. 在极坐标系中,过圆
的圆心,且垂直于极轴的直线的
极坐标方程是__________.
参考答案：
略
16. 已知函数f （x ）=f′（
）cosx+sinx ，f′（x ）是f （x ）的导函数，则f （
）= ．
参考答案：
1
【考点】导数的运算． 【分析】函数f （x ）=f′（
）cosx+sinx ，可得
+cosx ，令x=
，可得
，即可得出．
【解答】解：∵函数f（x）=f′（）cosx+sinx，
∴+cosx，
∴=，解得．
∴函数f（x）=（﹣1）cosx+sinx，
∴==1．
故答案为：1．
17. 某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y,观影人数记为x,其函数图象如图（1）所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象.
给出下列四种说法:
①图（2）对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图（2）对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图（3）对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图（3）对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是____________.（填写所有正确说法的编号）
参考答案：
②③
【分析】
根据图象可知盈利额y与观影人数x成一次函数关系,再分别根据(2)和(3)的图象进行分析即可得出答案.
【详解】解:由图象(1)可设盈利额y与观影人数x的函数为,
,即为票价,
当时,,则为固定成本,
由图象(2)知,直线向上平移,
不变,即票价不变,
变大,则变小,成本减小.
故①错误,②正确;
由图象(3)知,直线与轴的交点不变,直线斜率变大,
变大,即提高票价,
不变,则不变,成本不变.
故③正确,④错误;
故答案为:②③
【点睛】本题考查一次函数图象的变化,以及和对一次函数图象的影响,是基础题.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （2016?临汾二模）已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与抛物线C2：x2=2py（p＞0），点（，﹣2）是圆C1与抛物线C2准线l的一个交点．
（1）求圆C1与抛物线C2的方程；
（2）若点M是直线l上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A、B，直线AB与圆C1交于点E、F，求?的取值范围．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）利用直线和圆的位置关系、抛物线的几何性质，求得圆及抛物线的方程．
（2）利用导数的几何意义求得MA、MB的方程，可得AB的方程，把AB的方程代入圆的方程，利用韦达定理以及两个向量的数量积的运算法则，求得?的解析式，可得?的范围．
【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2=r2（r＞0），抛物线C2：x2=2py（p＞0）的准线为y=﹣，
点（，﹣2）是圆C1与抛物线C2准线l的一个交点，
∴﹣=﹣2，∴p=4，抛物线C2：x2=2py，即x2=8y．
再根据r==，可得圆C1：x2+y2=6．
（2）若点M是直线l上的动点，设点M（t，﹣2），A （x1，y1）、B（x2，y2），E（x3，y3）、
F
（x4，y4），
抛物线C2：x2=8y（p＞0），即y=，y′=，故AM的方程为y﹣y1=（x﹣x1），
把（t，﹣2）代入，可得y1=x1+2．
同理可得，BM的方程为y2=x2+2，∴直线AB的方程为y=x+2．
把AB的方程代入圆圆C1：x2+y2=6，可得（1+）x2+tx﹣2=0，
由题意可得△＞0，x3+x4=﹣，x3?x4=﹣，
∴?=x3?x4+y3?y4=（1+）x3?x4+（x3+x4）+4
=（1+）?（﹣）+?（﹣）+4=﹣6，
∵0＜≤8，∴ ?的范围为（﹣6，2]．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系、抛物线的几何性质，导数的几何意义，两个向量的数量积的运算，韦达定理，属于中档题．
19. （本小题满分16分）设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是
与的等差中项；数列满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）试确定的值，使得数列为等差数列；
（3）当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列. 设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.
参考答案：
（1）………………………………………………………4分
（2）
得，所以
则由，得……………………………………………………7分
当时，，由，所以数列为等差数列………9分
（3）因为，可得不合题意，合题意…………11分当时，若后添入的数，则一定不符合题意，从而必是数列
中的一项，则（2+2+…………+2）+(…………)=
即………………………………………………………………13分记
则，1+2+2+…………+2=，
所以当时，=1+2+2+…………+2+1>1+2,又
则由…………15分
综上可知，满足题意的正整数仅有.…………………………………………16分20. 设函数.
(1）判断函数的奇偶性，并写出时的单调增区间；
(2）若方程有解，求实数的取值范围.
参考答案：
（1）由题意，函数的定义域为R，
，所以函数是偶函数.
当时，函数（）
且，所以此时函数的单调递增区间是
(2）由于函数，
只须，即或
由于，所以时，方程有解.
21. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程．
（Ⅱ）当直线的斜率为时，求的面积．
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得经，为领边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
见解析
（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为，
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为，
∴，，
故所求椭圆方程为．
（Ⅱ）右焦点，直线的方程为，设，，
由得，，解得，，
∴．
（Ⅲ）假设在线段上存在点，
使得以，为邻边的平行四边形建菱形，
因为直线与轴不垂直，所以设直线的方程为，
由可得：，∴，，
，，，
其中，以、为邻边的平行四边形是菱形，
∴，即，
∴，
∴，化简得，
∴，
∴．
22. 已知二次函数f（ x ）=x2+ax+b关于x=1对称，且其图象经过原点．
（1）求这个函数的解析式；
（2）求函数在x∈（0，3]的值域．
参考答案：
【考点】二次函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）由已知条件列方程，即可得解
（2）根据二次函数对称轴与区间的位置关系，确定原函数在（0，3]上的单调性，由单调性求值域【解答】解：（1）二次函数f（x）关于x=1对称
∴
∴a=﹣2
又f（x）的图象经过原点
∴b=0
∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x
（2）∵对称轴x=1落在区间（0，3]内，且抛物线开口向上
∴函数在（0，1]上单调递减，在上单调递增
∴x=1时，f（x）有最小值，最小值为f（1）=1﹣2=﹣1；x=3时，f（x）有最大值，最大值为f （3）=9﹣6=3
∴f（x）的值域是
【点评】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式和求二次函数的最值问题，需注意区间与对称轴的位置关系．属简单题。