瑶海区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

瑶海区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜1
2x ，x ≥1
若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2． 已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）
=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
3． （2014新课标I ）如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数f （x ），则y=f （x ）在[0，π]的图象大致为（ ）
A
． B
．C
．
D
．
4． 设M={x|﹣2≤x ≤2}，N={y|0≤y ≤2}，函数f （x ）的定义域为M ，值域为N ，则f （x ）的图象可以是（ ）
A
． B
．
C
． D
．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
5． 已知函数f （x ）=a x +b （a ＞0且a ≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．﹣
D ．﹣或﹣
6． 与椭圆有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．98
8． 已知复数z 满足zi=1﹣i ，（i 为虚数单位），则|z|=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．
9． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β 10．下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A ．()()()
4
4
4
4
=f x x x x =
，g B ．()()24
=
,22
x f x g x x x -=-+ C ．()()1,01,1,0
x f x g x x >⎧==⎨<⎩ D ．()()33
=f x x x x =，g
11．已知双曲线和离心率为4
sin π
的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若
2
1
cos 21=∠PF F ，则双曲线的离心率等于（ ）
A ．
B ．25
C ．26
D ．2
7
12．已知，，那么夹角的余弦值（ ）
A ．
B ．
C ．﹣2
D ．﹣
二、填空题
13．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧
面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面
AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.
14．设α为锐角，若sin （α﹣
）=，则cos2α= ．
15．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程
为．
16．设m是实数，若x∈R时，不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，则m的取值范围是．
17．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意的正整数n，都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期为T的周
期数列．已知数列{a n}满足：a1＞=m （m＞a ），a n+1=，现给出以下三个命题：
①若m=，则a5=2；
②若a3=3，则m可以取3个不同的值；
③若m=，则数列{a n}是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是．
18．设函数f（x）=则函数y=f（x）与y=的交点个数是．
三、解答题
19．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式
（Ⅱ）记b n=log2a n，求数列{a n•b n}的前n项和S n．
20．某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一
次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指
数不低于70，说明孩子幸福感强）．
（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留
（2）从5人中随机抽取2人进行家访， 求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
附表：
21．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若2
2
2
11PQ F P F Q =+，求直线m 的方程．
22．已知x 2﹣y 2+2xyi=2i ，求实数x 、y 的值．
23．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．
（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；
（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．
24．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆交于、两点，且线段的垂直平分线经过点．求（为坐标原点)面积的最大值．
瑶海区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1．【答案】
【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9.
即log2（a＋6）＝3，
∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C.
2．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23）
且3+log23＞4
∴f（2+log23）=f（3+log23）
=
故选A．
3．【答案】C
【解析】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，
∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|
=|cosx||sinx|=|sin2x|，
其周期为T=，最大值为，最小值为0，
故选C．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．
4．【答案】B
【解析】解：A项定义域为[﹣2，0]，D项值域不是[0，2]，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符．
故选B．
【点评】本题考查的是函数三要素，即定义域、值域、对应关系的问题．
5．【答案】B
【解析】解：当a＞1时，f（x）单调递增，有f（﹣1）=+b=﹣1，f（0）=1+b=0，无解；
当0＜a＜1时，f（x）单调递减，有f（﹣1）==0，f（0）=1+b=﹣1，
解得a=，b=﹣2；
所以a+b==﹣；
故选：B
6．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
7．【答案】A
【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．
8．【答案】D
【解析】解：∵复数z满足zi=1﹣i，（i为虚数单位），
∴z==﹣i﹣1，
∴|z|==．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的化简与运算问题，是基础题目．
9．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面； 综上D 选项中的命题是错误的 故选D
10．【答案】D111] 【解析】
考
点：相等函数的概念. 11．【答案】C 【解析】
试题分析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为c 2，m PF =1，n PF =2，且不妨设
n m >，由12a n m =+，22a n m =-得21a a m +=，21a a n -=，又2
1
c os 21=
∠PF F ，∴由余弦定理可知：mn n m c -+=2224，2
221234a a c +=∴，432
221=+∴c a c a ，设双曲线的离心率为，则
432
2122=+e
）（，解得2
6
=e .故答案选C ．
考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P 为公共点，可把焦半径1PF 、2PF 的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴21,a a 来表示，
接着用余弦定理表示2
1
cos 21=∠PF F ，成为一个关于21,a a 以及的齐次式，等式两边同时除以2
c ，即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主. 12．【答案】A
【解析】解：∵，
，
∴
=
，||=，
=﹣1×1+3×（﹣1）=﹣4，
∴cos ＜＞=
==﹣
，
故选：A ．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】
⎣⎦
【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
14．【答案】﹣．
【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，
∴cos（α﹣）=，
∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．
15．【答案】（±，0）y=±2x．
【解析】解：双曲线的a=2，b=4，
c==2，
可得焦点的坐标为（±，0），
渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．
故答案为：（±，0），y=±2x．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．16．【答案】[0，2]．
【解析】解：∵|x﹣m|﹣|x﹣1|≤|（x﹣m）﹣（x﹣1）|=|m﹣1|，
故由不等式|x﹣m|﹣|x﹣1|≤1恒成立，可得|m﹣1|≤1，∴﹣1≤m﹣1≤1，
求得0≤m≤2，
故答案为：[0，2]．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于基础题．
17．【答案】①②．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，
所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；
对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．
若，则．
若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．
所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．
故②正确；
若a
=m=＞1，则a2=，所a3=＞1，a4=
1
故在a1=时，数列{a n}是周期为3的周期数列，③错；
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目
18．【答案】4．
【解析】解：在同一坐标系中作出函数y=f（x）=的图象与函数y=的图象，如下图所示，
由图知两函数y=f（x）与y=的交点个数是4．
故答案为：4．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，
由a n＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0，
化简得q2﹣q﹣2=0，
解得q=2或q=﹣1（舍），
∵a3=a1•q2=4a1=8，∴a1=2，
∴数列{a n}是以首项和公比均为2的等比数列，
∴a n=2n；
（Ⅱ）由（I）知b n=log2a n==n，
∴a n b n=n•2n，
∴S n=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，
2S n =1×22+2×23+…+（n ﹣2）×2n ﹣1+（n ﹣1）×2n +n ×2n+1，
两式相减，得﹣S n =21+22+23+…+2n ﹣1+2n ﹣n ×2n+1
，
∴﹣S n =﹣n ×2
n+1
，
∴S n =2+（n ﹣1）2n+1
．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．【答案】（1）有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）35
. 【解析】
∴2
40(67918)4 3.84115252416
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯． ∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．
（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：1a ，2a ；幸福感强的孩子3人，记作：1b ，2b ，
3b ．
“抽取2人”包含的基本事件有12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，12(,)b b ，
13(,)b b ，23(,)b b 共10个．
事件A ：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b 共6个． 故63()105
P A =
=． 考点：1、 茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式. 21．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若m 为直线1=x ，代入
13
42
2=+y x 得23±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q
直接计算知29PQ =，2
25||||2121=+Q F P F ，222
11PQ F P
F Q ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =-
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)1(1342
2x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，2
2214312
4k k x x +-=⋅
由222
11PQ F P F Q =+得，11
0F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k
代入得0438)1()143124)(1(2
22222=+⋅-+++-+k k k k k k ，即0972
=-k 解得773±=k ，直线m 的方程为)1(7
7
3-±=x y
22．【答案】
【解析】解：由复数相等的条件，得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
解得
或
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
【点评】本题考查复数相等的条件，以及方程思想，属于基础题．
23．【答案】
【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…
（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点
则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，
又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD
又OC=OB，所以△BOD≌△COD
∴∠OCD=∠OBD=90°
即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切．…
（其他方法亦可）
24．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）由已知，
点在椭圆上，，解得．
所求椭圆方程为
(Ⅱ)设，，的垂直平分线过点, 的斜率存在．
当直线的斜率时，
当且仅当时，
当直线的斜率时，设．
消去得：
由．①
，
，的中点为
由直线的垂直关系有，化简得②由①②得
又到直线的距离为，
时，．
由，，解得；
即时，；
综上：；。