人教A版高中数学必修三几何概型同步练习新(2)

几何概型
一、选择题
1.从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是( ) A.
51
B.52
C.103
D.10
7 解析:5张卡片中任取2张，有2
5C 种不同的取法，2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率
5
2
425==
C P . 答案:B
2.一部3卷文集，随机地排在书架上，卷号自左向右或自右向左恰为1，2，3的概率是( ) A.
61 B.32 C.31 D.2
1
答案:C
3.从4名选手甲、乙、丙、丁中选取2人组队参加数学竞赛，其中甲被选中的概率是( ) A.
31 B.21 C.3
2
D.53 解析:4名选手甲、乙、丙、丁中，选取2人，有2
4C 种不同的取法，甲被选中的概率是2
1
32
4==
C P . 答案:B
4.如图，AB 是圆O 的直径，OC ⊥AB ，假设你在图形上随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为( )
A.
π21 B.π1 C.π13 D.π
2 解析:这是个几何概型，设圆O 的半径为R ，所求的落到阴影部分的概率为
ππ1
221
2
=⨯⨯==R
R
R P 圆的面积阴影的面积. 答案:B
5.在两根相距6 m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是( ) A.
21 B.31 C.4
1
D.51
解析:记“灯与两端距离都大于2 m”为事件A ，则灯只能在中间2 m 的绳子上挂，所以事件A 发生的概率3
162)(==
A P .
答案:B
6.已知地铁列车每10 min 到站一次，且在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A.
101
B.6
1
C.6011
D.111
解析:记“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，所以事件A 发生的概率11
1
1101)(=+=A P .
答案:D 二、填空题
7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的资料，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为____________.
解析:记“一部汽车在一年时间里挡风玻璃破碎”为事件A ，所以事件A 发生的概率
100
3
20000600)(=
=
A P . 答案:0.03
8.在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是_______________.
解析:记“在海域中任意一点钻探，钻到油层面”为事件A ，所以事件A 发生的概率P(A)＝10000
40＝0.004. 答案:0.004
9.将长为L 的木棒随机地折成3段，则3段构成三角形的概率是______________. 解析:设M ＝“3段构成三角形”.
x ，y 分别表示其中两段的长度，则第三段的长度为L －x －y. Ω＝{(x ，y)|0＜x ＜L ，0＜y ＜L ，0＜x+y ＜L}.
由题意，x ，y ，L －x －y 要构成三角形，需有x+y ＞L －x －y ，即x+y ＞
2
L
；x+(L －x －y)＞y ，即y ＜L2；y+(L －x －y)＞x ，即x ＜
2
L . 故M ＝{(x ，y)|x+y ＞2L ，y ＜2L ，x ＜2
L
}.
如图所示，可知所求概率为41
2
)
2(21)(2
2
=⨯=Ω=L
L M M P 的面积的面积.
答案:0.25 三、解答题
10.为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查员某天逮住这种动物600只做好
标记后放回，经过一星期后，又逮到这种动物500只，其中做过标记的有50只，根据上述数据，估算保护区内有多少只动物?
解:设保护区内这种野生动物有x 只，每只动物被逮到的可能性是相同的，那么第一次逮到的
600只占所有这种动物的概率为
x
600
，第二次逮到的
500只中，有50只是第一次逮到的，即事件发生的频数为50，说明第一次逮到的在总的动物中的频率为10
1
，由概率的定义知
10
1
600=x ，解得x ＝6 000,即按此方法计算，估计保护区内有6 000只这种野生动物. 11.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.
解:这是一个几何概型问题.设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“甲、乙两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，且基本事件所构成的区域为Ω＝{(x ，y)|0≤x ≤24，0≤y ≤24}.
要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1小时以上或乙比甲早到达2小时以上，即y －x ≥1或x －y ≥2，故A ＝{(x ，y)|y －x ≥1或x －y ≥2}，x ∈［0，24］，y ∈［0，24］.
A 为图中阴影部分，Ω为边长是24的正方形，
∴所求概率的面积
的面积
Ω=
A A P )(
＝
2
222421)224(21)124(⨯-+⨯
- ＝115210135765.506=
. 12.平面上有一个边长为34的等边△ABC 网格，现将直径等于2的均匀硬币抛掷在此网格上(假定都落在此网格上)，求硬币落下后与网格线没有公共点的概率. 解:设事件M ＝{硬币落下后与等边△ABC 的网格线没有公共点}.
要使硬币落在网格上的条件是硬币的重心需落在此△ABC 的边上或内部，故所有的随机基本事件所构成的区域为△ABC.
当硬币与边恰有一个公共点的重心位置就是临界点的位置.如图，所有临界点形成三条临界线，三条临界线构成一个小△EFG 区域，因此事件M 所构成的区域为△EFG 区域. 经计算得△EFG 的边长为32.
∴41
34344
3
3
23243
)(=⨯⨯⨯⨯==
∆∆ABC
EFG S S M P .。