2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1 课时跟踪训练二

课时跟踪训练(二) 量 词
1.下列全称命题是真命题的是( )
A ．所有的质数都是奇数
B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥1
C ．对每一个无理数x ，x 2也是无理数
D ．所有的平行向量均相等
2．下列命题为存在性命题的是( )
A ．偶函数的图像关于y 轴对称
B ．正四棱柱都是平行六面体
C ．不相交的两条直线是平行直线
D ．有很多实数不小于3
3．有四个关于三角函数的命题：
p 1：∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12
； p 2：∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；
p 3：∀x ∈[0，π], 1－cos2x 2
＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2
. 其中的假命题是( )
A ．p 1，p 4
B ．p 2，p 4
C ．p 1，p 3
D ．p 2，p 3
4．有下列四个命题：
①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；
②∀x ∈{1，－1,0},2x ＋1>0；
③∃x ∈N ，x 2≤x ；
④∃x ∈N ＋，x 为29的约数．其中真命题的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．
①正方形的四条边相等；
②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
6．下列语句是真命题的是________(填序号)．
①所有的实数x 都能使x 2－3x ＋6>0成立；
②存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋6<0成立；
③存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＝0.
7．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．
(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；
(2)对所有实数a 、b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x 、y ，使得3x －2y ＝10成立；
(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12
x ＋1是有理数．
8．确定m 的范围，使下列命题为真命题．
(1)∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m ；
(2)∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m .
答 案
1．选B 判断全称命题是假命题，只需举一个反例即可．A ，C ，D 都是假命题．
2．选D A 、B 、C 都是全称命题，D 命题可以改为“有一些实数不小于3”，是存在性命题．
3．选A sin 2x 2＋cos 2x 2
＝1恒成立，p 1错； 当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，p 2对；
当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，
∴ 1－cos2x 2
＝sin 2x ＝sin x ，p 3对； 当x ＝23π，y ＝π6时，sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ≠π2
，p 4错． 4．选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x 2－3x ＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是存在性命题，当x ＝0或x ＝1时，有x 2≤x 成立，故③为真命题；对于④，这是存在性命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以④为真命题．
5．解析：①②③为全称命题，④为存在性命题．
答案：①②③ ④
6．解析：∵x 2－3x ＋6中，Δ＝(－3)2－4×6＝－15<0，
∴x 2－3x ＋6＝0无解，x 2－3x ＋6>0恒成立．
∴①正确，②③错误．
答案：①
7．解：(1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，真命题；
(2)∀a 、b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解，假命题；
(3)∃x 、y ∈Z,3x －2y ＝10，真命题；
(4)∀x ∈Q ，13x 2＋12
x ＋1是有理数，真命题． 8．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，
∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥－2， 又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为真命题， ∴只要m <－2即可．
∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)．
(2)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R ，
∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]． 又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为真命题，
∴只要m <2即可，
∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。