上海民办行知二中八年级数学上册第十五章《分式》经典练习(培优提高)

一、选择题
1．化简221
x x x ++÷(1－11x +)的结果是（ ） A ．11x + B ．11x - C ．x+1 D ．x-1A
解析：A
【分析】
首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简．
【详解】
解：原式=22211(1)1(1)1(1)1
x x x x x x x x x +-+÷=⋅=++++ ， 故选A.
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键．
2．关于x 的一元一次不等式组31,224x m x x x
⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程
13122my y y y
--+=--有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9
B ．10
C ．13
D ．14A
解析：A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出m 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m 的值，进而求出之和即可．
【详解】 解：31224x m x x x ⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩①②
，
解①得
x≤2m+2，
解②得
x≤4，
∵不等式组31224x m x x x
⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，
∴2m+2≥4，
∴m≥1．
13122my y y y
--+=--， 两边都乘以y-2，得
my-1+y-2=3y ， ∴32
y m =-， ∵m≥1，分式方程
13122my y y y --+=--有整数解， ∴m=1，3，5，
∵y-2≠0，
∴y≠2， ∴322
m ≠-， ∴m≠
72， ∴m=1，3，5，符合题意，
1+3+5=9．
故选A ．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 3．下列变形不正确的是（ ）
A ．1122x x x x +-=---
B ．b a a b c c
--+=- C ．a b a b m m
-+-=- D ．22112323x x x x
--=--- A 解析：A
【分析】 答题首先清楚分式的基本性质，然后对各选项进行判断．
【详解】
解：A 、
1122x x x x +--=---，故A 不正确； B 、
b a a b
c c --+=-，故B 正确； C 、a b a b m m
-+-=-，故C 正确； D 、22
112323x x x x
--=---，故D 正确． 故答案为：A ．
【点睛】
本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
4．若x2
y5
=，则
x y
y
+
的值为（）
A．2
5
B．
7
2
C．
5
7
D．
7
5
D
解析：D 【分析】
根据同分母分式的加法逆运算得到x y x y
y y y
+
=+，将
x2
y5
=代入计算即可．
【详解】
解：∵x2
y5 =，
∴x y x y2
y y y5
+
=+=+17
5
=，
故选：D．
【点睛】
此题考查同分母分式的加减法，已知式子的值求分式的值．
5．张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，则张明平均每分钟清点图书（）
A．20本B．25本C．30本D．35本A
解析：A
【分析】
设张明平均每分钟清点图书的数量为x，则李强平均每分钟清点图书的数量为x＋10，由张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书所用的时间相等这个条件可列分式方程，求解即可．
【详解】
设张明平均每分钟清点图书x本，
则李强平均每分钟清点(10)
x+本，
依题意，得：200300
10
x x
=
+
，解得：20
x，
经检验，20
x是原方程的解，
所以张明平均每分钟清点图书20本．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用．找到题中的等量关系，列出分式方程，注意分式方程一定要验根．
6．若整数a 使得关于x 的不等式组3(1)32(1)x a x x >⎧⎨-+>+⎩
的解集为2x >，且关于x 的分式方程
21111ax x x
+=---的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2D 解析：D
【分析】
先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集为2x >，得出a 的范围，根据分式方程的解为整数即得到a 的值，结合a 的范围即可求得符合条件的所有整数a 的和．
【详解】
解：关于x 的不等式组3(1)32(1)x a x x >⎧⎨-+>+⎩
①② 解不等式①得，x a >；
解不等式②得，2x >；
∵不等式组的解集为2x >，
∴a≤2， 解方程
21111ax x x
+=---得：21x a =- ∵分式方程的解为整数，
∴11a -=±或2±
∴a=0、2、-1、3
又x≠1， ∴211a
≠-，∴a≠-1， ∴a≤2且a≠-1，
则a=0、2，
∴符合条件的所有整数a 的和=0+2=2，
故选：D ．
【点睛】 本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为整数结合不等式组有解，找出a 的值是解题的关键．
7．在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为1a ，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为2a ，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为()3,,1a n ⋅⋅⋅+条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为n a ，若
121111011111
n a a a ++⋅⋅⋅+=---，则n =（ ） A ．10 B ．11 C ．20 D ．21C
解析：C
【分析】
根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可解题．
【详解】
根据题意得，
2条直线最多将平面分成4个区域1=4a ，
3条直线最多将平面分成7个区域2=7a ，
4条直线最多将平面分成11个区域3=11a ，
5条直线最多将平面分成16个区域4=16
a
则11=3=1+2a -， 21=6=1+2+3a -，
31=10=1+2+3+4a -，
41=15=1+2+3+4+5
a - 1=1+2+3+4+51n a n ∴-++
12111111n a a a ∴
++⋅⋅⋅+--- 111=1+21+2+31+2+3++(n+1)++⋅⋅⋅+ 111=(1+2)2(1+3)3(1+n+1)(n+1)222
++⋅⋅⋅+⨯⨯
11122334(1)(2)n n ⎡⎤=+++⎢⎥⨯⨯++⎣
⎦ 11111122334
12n n ⎡⎤=-+-++
-⎢⎥++⎣⎦ 11222n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦ 2
n n =+ 121111011111
n a a a ++⋅⋅⋅+=--- 10211
n n ∴=+ 2101211n ∴-
=+
21211
n ∴=+ 222n ∴+=
20n ∴=
经检验n=20是原方程的根
故选：C ．
【点睛】
本题考查相交线，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
8．若分式293
x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．4
B ．4-
C ．3或－3
D ．3D 解析：D
【分析】
先根据分式的值为0可得2
90x ，再利用平方根解方程可得3x =±，然后根据分式
的分母不能为0即可得．
【详解】 由题意得：2903
x x -=+， 则290x ，即29x =，
由平方根解方程得：3x =±，
分式的分母不能为0，
30x ∴+≠，
解得3x ≠-，
则x 的值为3，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了分式的值、分式有意义的条件、利用平方根解方程，掌握理解分式的值是解题关键．
9．从7-、5-、3-、1-、3、6这六个数中，随机抽取一个数，记为k ，若数k 使关于x 的分式方程
3211
k x x +=--的解为非负数，那么这6个数中所有满足条件的k 的值之和是（ ）
A ．4-
B ．0
C ．3
D ．6C 解析：C
【分析】
先对分式方程进行求解，即用含k 的代数式表示分式方程的解，然后根据题意可进行求解．
【详解】
解：由3211k x x +=--可得：52
x k =+， ∵分式方程的解为非负数，且1x ≠， ∴
502k +≥且512
k +≠，解得：5k ≥-且3k ≠- ∴满足条件的有5-、1-、3、6，
∴它们的和为51363--++=；
故选C ．
【点睛】 本题主要考查分式方程及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程及一元一次不等式的解法是解题的关键．
10．已知227x ,y ==-，则
221639y x y x y ---的值为（ ） A ．-1
B ．1
C ．-3
D ．3B 解析：B
【分析】
先通分，再把分子相加减，把x 、y 的值代入进行计算即可．
【详解】
原式=()()
16333y x y x y x y --+- =()()3633x y y x y x y +-+-
=()()333x y x y x y -+- =13x y
+， 当227x ,y ==-，原式=
112221
=-， 故选B ．
【点睛】 本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
二、填空题
11．计算：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝_____．2a4b5【分析】直接利用积的乘方运算法则化简再利用整式的除法运算法则计算得出答案【详解】解：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3＝4a ﹣4b2÷2a ﹣8b ﹣3＝2a-4-(-8)b2-(-3)=2a
解析：2a 4b 5．
【分析】
直接利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【详解】
解：（﹣2a ﹣2b ）2÷2a ﹣8b ﹣3
＝4a ﹣4b 2÷2a ﹣8b ﹣3
＝2a -4-(-8)b 2-(-3)，
=2a 4b 5．
故答案为：2a 4b 5．
【点睛】
本题考查了整数指数幂的运算，熟练应用法则是解题关键．
12．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校，已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的12
，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校结果甲同学比乙同学早到2分钟，若甲同学到达学校时，乙同学离学校还有m 米，则m =________．600【分析】设乙骑自行车的速度为x 米/分钟则甲步行速度是x 米/分钟公交车的速度是2x 米/分钟根据题意找到等量关系：甲步行的时间+甲公车时间=乙的时间-2分钟列方程即可得到乙的速度甲同学到达学校时乙
解析：600
【分析】
设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是12
x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意找到等量关系：甲步行的时间+甲公车时间=乙的时间-2分钟，列方程即可得到乙的速度，甲同学到达学校时，乙同学离学校还有2x 米,即可得到结论；
【详解】
解：设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是
12
x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，
根据题意得 600300060030002122
x x x -+=- ， 解得：x=300米/分钟，
经检验x=300是方程的根，
则乙骑自行车的速度为300米/分钟．
那么甲同学到达学校时，乙同学离学校还=2×300=600米．
故答案为：600．
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
13．若关于x 的分式方程233x m x x
=---的解为正数，则常数m 的取值范围是______．且【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程的解为正数确定出a 的范围即可【详解】解：∵∴∴∵方程的解为正数则∴∵∴；∴常数的取值范围是且；故答案为：且【点睛】此题考查了分式方程的解分式有意义的条 解析：6m <且3m ≠-
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数确定出a 的范围即可．
【详解】
解：∵
233x m x x
=---， ∴62x x m =--， ∴63
m x -=， ∵方程的解为正数，则
603
m x -=
>， ∴6m <， ∵633
m x -=≠， ∴3m ≠-；
∴常数m 的取值范围是6m <且3m ≠-；
故答案为：6m <且3m ≠-．
【点睛】
此题考查了分式方程的解，分式有意义的条件，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．已知实数a 、b 满足32
a b =，则a b a b +-_________．5【分析】根据已知用b 表示a 然后把a 的值代入所求的代数式分子分母约掉b 后可以得到解答【详解】∴∴故答案为：5【点睛】本题考查分式的化简与求值熟练掌握分式化简与求值的各种方法是解题关键
解析：5
【分析】
根据已知用b 表示a ，然后把a 的值代入所求的代数式，分子分母约掉b 后可以得到解答．
【详解】 32
a b =，
∴32a b = ∴32532b b
a b a b b b ++==--， 故答案为：5．
【点睛】
本题考查分式的化简与求值，熟练掌握分式化简与求值的各种方法是解题关键． 15．如图是一个数值转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x ，y ，z 时，对应输出的新数依次为11x y z ++，11y z x ++，11z x y ++．例如，输入1，2，3，则输出65，34，23．那么当输出的新数为13，14，15时，输入的3个数依次为____．
11【分析】
根据转换器转换后输出3个新数得到关于xyz 的方程组解之即可【详解】解：根据题意得：则3（x+y+z ）=xy+zx①4（x+y+z ）=xy+yz②5（x+y+z ）=yz+zx③①+②+③得
解析：
113，112
，11 【分析】 根据转换器转换后输出3个新数得到关于x 、y 、z 的方程组，解之即可
【详解】
解：根据题意得：
111=3++x y z ，111=4++y z x ，111=5
++z x y ， 则3（x+y+z ）=xy+zx①，4（x+y+z ）=xy+yz②，5（x+y+z ）=yz+zx③，
①+②+③，得6（x+y+z ）=xy+yz+zx ，④
④﹣①，得3（x+y+z ）=yz⑤，
④﹣②，得2（x+y+z ）=zx⑥，
④﹣③，得x+y+z=xy⑦，
∴23x y =
，z=2y ， 把23x y =
，z=2y 代入⑦，得y （2y ﹣11）=0， ∴y=112（由题意知y≠0），
∴x=
113，z=11， ∴x=113，y=112
，z=11 【点睛】
本题考查了分式的混合运算、方程组的计算．解题关键是求出6（x+y+z ）=xy+yz+zx ，进而用y 分别表示x 、z ．
16．化简23x x
+=____．【分析】原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果【详解】故答案为：【点睛】此题考查了分式的加减法熟练掌握运算法则是解本题的关键 解析：
5x
． 【分析】 原式利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．
【详解】
232+3x x x
+=5x =． 故答案为：
5x 【点睛】
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．计算22
111m m m ---，的正确结果为_____________．【分析】根据分式的加减法运算法则平方差公式因式分解计算即可解答【详解】解：===故答案为：【点睛】本题考查分式的加减运算平方差公式因式分解熟记公式掌握分式的加减运算法则是解答的关键 解析：11
m - 【分析】
根据分式的加减法运算法则、平方差公式因式分解计算即可解答．
【详解】 解：
22111m m m --- =22111
m m m +-- =1(1)(1)
m m m ++-
=11
m -， 故答案为：
11m -． 【点睛】
本题考查分式的加减运算、平方差公式因式分解，熟记公式，掌握分式的加减运算法则是解答的关键．
18．计算35232
()()()a a a ⎡⎤-÷-⋅-⎣⎦＝__．【分析】首先计算积的乘方再计算中括号内的同底数幂的乘法最后计算单项式除以单项式即可得出答案【详解】解：===故答案为：【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法以及单项式除以单项式熟练掌握运算法则是解答此
解析：7a ．
【分析】
首先计算积的乘方，再计算中括号内的同底数幂的乘法，最后计算单项式除以单项式即可得出答案．
【详解】
解：35232()()()a a a ⎡⎤-÷-⋅-⎣⎦
=1526()a a a -÷-
=158()a a -÷-
=7a ．
故答案为：7a ．
【点睛】
此题主要考查了同底数幂的乘法以及单项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
19．已知114y x
-=，则分式2322x xy y x xy y +---的值为______．【分析】先根据题意得出x-y=4xy 然后代入所求的式子进行约分就可求出结果【详解】∵∴x-y=4xy ∴原式=故答案为：【点睛】此题考查分式的基本性质正确对已知式子进行化简约分正确进行变形是关键 解析：112
【分析】
先根据题意得出x-y=4xy ，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果．
【详解】 ∵114y x
-=，
∴x-y=4xy ，
∴原式=2()383112422
x y xy xy xy x y xy xy xy -++==---， 故答案为：
112 ． 【点睛】
此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键． 20．某工人现在平均每天比原计划多做20个零件，现在做4000个零件和原来做3000个零件的时间相同，问现在平均每天做______个零件．80【分析】设现在每天做x 个零件则原计划每天做个零件根据工作时间=工作总量÷工作效率结合现在做4000个零件和原来做3000个零件的时间相同即可得出关于x 的方程求解即可【详解】设现在每天做x 个零件则
解析：80
【分析】
设现在每天做x 个零件，则原计划每天做()20x -个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合现在做4000个零件和原来做3000个零件的时间相同，即可得出关于x 的方程，求解即可．
【详解】
设现在每天做x 个零件，则原计划每天做()20x -个零件， 依题意得：4000300020
x x =-， 解得：80x =；
经检验x=80是原方程的解
∴现在平均每天做80个零件
故答案为：80．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解答本题的关键．
三、解答题
21．列分式方程解应用题：
刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩，根据他们的谈话内容，求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？
刘峰：我查好地图，你看看
李明：好的，我家门口的公交车站，正好又一趟到野生动物园那站的车，我坐明天8:30的车
刘峰：从地图上看，我家到野生动物园的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8:00从家出发，如果顺利，咱俩同时到达
解析：刘峰骑自行车每小时行20千米，李明乘公交车每小时行60千米
【分析】
设刘峰骑自行车每小时行x 千米，则李明乘公交车每小时行3x 千米，根据他们的行驶时间相差30分钟列出分式方程并解答，注意分式方程的结果要检验．
【详解】
解：设刘峰骑自行车每小时行x 千米，则李明乘公交车每小时行3x 千米，
根据题意列方程得：
203030360x x =+ 即201012
x x =+ 解这个方程得20x
检验：当20x 时，20x ≠
所以，20x 是原分式方程的解，当20x 时，332060x =⨯=
答：刘峰骑自行车每小时行20千米，则李明乘公交车每小时行60千米
【点睛】
本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
22．计算：
（1）2202
()2(3)(71)3---；
（2）22(1)(21)(21)3(4)m m m m ⎡⎤+-+--÷-⎣⎦；
（3）2221121
x x x x x x --+-+ 解析：（1）0；（2）
112m -；（3）x 【分析】
（1）根据实数的混合运算的法则计算即可；
（2）利用完全平方公式，平方差公式去括号、合并同类项后再计算除法即可； （3）根据分式乘法的法则进行计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝232912⎛⎫- ⎪⎝⎭
=
92314
--+ ＝0.25﹣3＋1
＝-1.75； （2）原式＝()
()222424134m m m m ++-+-÷- ＝()
()2244m m m -+÷- ＝22444m m m m
-+-- =112
m -； （3）原式＝()()()()
2111·11x x x x x x +--+- ＝x ．
【点睛】
本题考查实数的混合运算、整式的混合运算、完全平方公式，平方差公式，分式的乘法运算，正确计算负整数指数幂、零指数幂、多项式乘法公式和因式分解是解题关键． 23．在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A 、B 两种不同型号的口罩，已知A 型口罩的单价比B 型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同．
（1）求A 、B 两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A 型口罩的数量最多是多少个？ 解析：（1）4元；2.5元 （2）800个
【分析】
（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为( 1.5)x 元，根据“用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，根据“增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元”列出不等式并解答即可．
【详解】
解：（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为()1.5x -元， 根据题意，得800050001.5
x x =-． 解方程，得：4x =．
经检验：4x =是原方程的根，且符合题意．
所以 1.5 2.5x -=．
答：A 型口罩的单价为4元，则B 型口罩的单价为2.5元．
（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，
根据题意，得：2.5247200m m ⨯+≤．
解不等式，得：800m ≤．
答：增加购买A 型口罩的数量最多是800个．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
24．（1）计算：22
y x x y x y
-++ （2）解方程：
4322x x x
=+-- 解析：（1）y x -；（2）5x =． 【分析】
（1）根据分式运算的性质，结合平方差公式计算，即可得到答案；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1）22
y x x y x y
-++， =22
y x x y
-+， =()()
x y x y x y +--+，
=()x y y x --=-，
y x =-；
（2）4322x x x
=+--， 去分母得()4=32x x --，
去括号得436x x =--，
移项合并得210x =，
系数化1得5x =，
当x=5时，25230x -=-=≠，
所以x=5是原方程的解．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算及解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简以及掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意解分式方程要验根．
25．2020年初武汉爆发新冠肺炎疫情，使得口罩成为人们生活的必需品，爱民药店准备购进95N 和普通医用两种类型的口罩，已知每个普通医用口罩的进价比每个95N 口罩的进
价少8元，且用300元购进普通医用口罩的数量与用1500元购进95N 口罩的数量相同，设每个普通医用口罩进价为x 元．
（1）每个95N 口罩的进价为________元，1500元购进95N 口罩的数量为________个（用含x 的式子表示）；
（2）求每个普通医用口罩、每个95N 口罩的进价分别为多少元？
（3）若爱民药店本次购进这两种口罩共800个，并将两种口罩均按进价加价50%全部售出利润不少于1600元（不考虑其他因素），则这次至少购进95N 口罩多少个？
解析：（1）(8)x +，
15008
x +；（2）每个普通医用口罩、每个95N 口罩的进价分别为2元和10元；（3）200个
【分析】
（1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意列出方程30015008
x x =+，求解即可； （3）设购进N95口罩m 个，根据题意得出不等式2×50%（800-m ）+10×50%m≥1600，求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意得每个95N 口罩的进价为：(8)x +元，
1500元购进95N 口罩的数量为：
15008x +； （2）由题知：
30015008
x x =+ 解得2x =
检验：2x =是方程的解
∴810x +=
答：每个普通医用口罩、每个95N 口罩的进价分别为2元和10元；
（3）设购进N95口罩m 个，
根据题意得：2×50%（800-m ）+10×50%m≥1600
解得m≥200
答：至少购进95N 口罩200个．
【点睛】
本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式，根据题意列出式子是解题关键． 26．阅读理解
材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个计算的过程中，先计算分子中有几个分母求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数，例如：52211333
=+=． 类似的，我们可以将下列的分式写成一个整数与一个新分式的和．
x x
1(1)221111
x x x x x +-+==+---． 材料2：为了研究字母x 和分式
1x 值的变化关系，小明制作了表格，并得到数据如下： 0.3 0.5- 0.3
0.25请根据上述材料完成下列问题： （1）把下面的分式写成一个整数与一个新分式的和的形式：
2x x +=__________________；12
x x +=-___________________； （2）当0x >时，随着x 的增大，分式
2x x +的值___________（增大或减小）； （3）当1x >-时，随着x 的增大，分式
231x x ++的值无限趋近一个数，请写出这个数，并说明理由．
解析：（1）21x +
，312x +-；（2）减小；（3）2，理由见解析 【分析】
（1）把分子写成分母的倍数与另一个整式的和，再逆用分式的加减法则即可得到解答； （2）把
2x x +变成21x +，再根据 1x 随x 的变化趋势可以得解； (3)先得231211x x x +=+++，然后根据随着x 的值的增大， 11
x +的值逐渐减小并趋于0可以得到解答．
【详解】
解：（1）∵2221x x x x x x +=+=+，123233122222
x x x x x x x x +-+-==+=+-----, 故答案为2
3112x x ++-，
； （2）∵221x x x +=+，且由材料2可得： x>0时， 1x
随x 的增大而减小， ∴当 x>0 时，随着x 的增大，分式
2x x +的值减小； （3）2
理由如下：
11
x x ++随着x 的值的增大，11
x +的值逐渐减小并趋于0， ∴随着x 的值的增大，
231
x x ++的值无限趋近于2. 【点睛】 本题考查分式运算的规律探索，根据材料得到一定规律并灵活运用于所给问题的解决是解题关键．
27．列方程解应用题
为了提高学生的身体素质，落实教育部门“在校学生每天体育锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校开展了“阳光体育天天跑活动”，初中男生、女生分别进行1000米和800米的计时跑步．在一次计时跑步中，某班一名女生和一名男生的平均速度相同，且这名女生跑完800米所用时间比这名男生跑完1000米所用时间少56秒，求这名女生跑完800米所用时间是多少秒．
解析：这名女生跑完800米所用时间是224秒
【分析】
设这名女生跑完800米所用时间x 秒，由题意可得关于x 的分式方程，解分式方程并经过检验即可得到问题答案．
【详解】 解：设这名女生跑完800米所用时间x 秒，则这名男生跑完1000米所用时间(56)x +秒， 根据题意，得800100056
x x =+． 解得：224=x ．
经检验，224=x 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．
答：这名女生跑完800米所用时间是224秒.
【点睛】
本题考查分式方程的应用，根据题目中的数量关系正确地列出分式方程并求解是解题关键．
28．随着智能分拣设备在快递业务中的普及，快件分拣效率大幅提高．使用某品牌智能分拣设备，每人每小时分拣的快件量是传统分拣方式的25倍，经过测试，由5人用此设备分拣8000件快件的时间，比20人用传统方式分拣同样数量的快件节省4小时． （1）使用智能分拣设备后，每人每小时可分拣快件多少件？
（2）已知某快递中转站平均每天需要分拣10万件快件，每天工作时间为8小时，如果使用此智能分拣设备，每天只需要安排多少名工人就可以完成分拣工作？
解析：（1）使用智能分拣设备后每人每小时可分拣快件2100件；（2）每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作
【分析】
（1）设用传统方式每人每小时可分拣x 件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x
件，利用时间差为4小时列方程
80008000
4
52520
x x
=-
⨯
，再解方程，检验即可得到答案；
（2）利用每天工作总量（10万件）除以工作效率（每人每天分拣82584
⨯⨯件），结果取符合题意的正整数即可得到答案．
【详解】
（1）解：设用传统方式每人每小时可分拣x件，则用智能分拣设备后每人每小时可分拣25x件，
由题意，得
80008000
4 52520
x x
=-
⨯
．
解得84
x=．
经检验，84
x=是原方程的解，
∴252100
x=，
∴使用智能分拣设备后每人每小时可分拣快件2100件；
（2）∵
10000020
5 8425821
=
⨯⨯
，
∵20
556
21
<<，
∴每天只需要安排6名工人就可以完成分拣工作．
【点睛】
本题考查的是分式方程的应用，掌握工作量等于工作时间乘以工作效率是解题的关键．。