人教版初中数学九年级上册期末测试题(2017-2018学年河南师大附中

2017-2018学年河南师大附中
九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实根，则k的值为（）A．k＝﹣4B．k＝4C．k≥﹣4D．k≥4
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
3．（3分）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A．B．C．D．
4．（3分）掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（）A．掷2次必有1次正面朝上B．必有5次正面朝上
C．可能有5次正面朝上D．不可能10次正面朝上
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为6，则圆心O到弦CD的距离OE长为（）
A．6B．5C．3D．3
6．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
7．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
8．（3分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆P A的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆P A的高度为（）
A．B．C．D．
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+5与双曲线y＝（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是．若将直线y＝﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y＝（x＞0）的交点有（）
A．0个B．1个
C．2个D．0个，或1个，或2个
10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC•BC；③OE：AC＝：6；④S△OCF＝2S△OEF
成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如果两个相似三角形的周长比为3：4，那么它们的面积比是．12．（3分）如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是．
13．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为．
14．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）计算：|﹣3|+tan30°﹣+2cos45°﹣（2018﹣π）0．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
18．（9分）将如图所示的牌面数字1、2、3、4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是；
（2）从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是3的倍的概率．
19．（9分）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）求证：DF2＝BF•AF．
20．（9分）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
21．（10分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
22．（10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD ＝120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AD＝AB，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系；
（2）类比发现
如图2，若AD＝2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求的值；
（3）深入探究
如图3，若AD＝4AB，探究得：的值为常数t，则t＝．
23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．（1）求b、c的值；
（2）如图1直线y＝kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求的最大值；
（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2017-2018学年河南师大附中九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实根，则k的值为（）A．k＝﹣4B．k＝4C．k≥﹣4D．k≥4
【分析】根据判别式的意义得到△＝42﹣4k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x+k＝0有两个相等的实根，
∴△＝42﹣4k＝0，
解得：k＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是不轴对称图形，也是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度
后与原图重合．
3．（3分）如图是由5个完全相同是正方体组成的立体图形，它的主视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边有一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握主视图是从正面看到的平面图形．
4．（3分）掷一枚质地均匀的硬币10次，则下列说法正确的是（）A．掷2次必有1次正面朝上B．必有5次正面朝上
C．可能有5次正面朝上D．不可能10次正面朝上
【分析】根据随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，可得答案．【解答】解：A、不是必然事件，故A错误；
B、不是必然事件，故B错误；
C、是随机事件，故C正确；
D、是随机事件，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为6，则圆心O到弦CD的距离OE长为（）
A．6B．5C．3D．3
【分析】根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB＝2∠CDB ＝60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．
【解答】解：连接CB．
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴圆心O到弦CD的距离为OE；
∵∠COB＝2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB＝30°，∴∠COB＝60°；
在Rt△OCE中，
OC＝3cm，OE＝OC•cos∠COB＝6×＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
6．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则该反比例函数的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第二、三象限D．第二、四象限
【分析】根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据（2，﹣1）所在象限即可作出判断．
【解答】解：点（2，﹣1）在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数y＝（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在第一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．7．（3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC，使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与
x的函数关系的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意作出合适的辅助线，可以先证明△ADC和△AOB的关系，即可建立y 与x的函数关系，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：作AD∥x轴，作CD⊥AD于点D，如右图所示，
由已知可得，OB＝x，OA＝1，∠AOB＝90°，∠BAC＝90°，AB＝AC，点C的纵坐标是y，
∵AD∥x轴，
∴∠DAO+∠AOD＝180°，
∴∠DAO＝90°，
∴∠OAB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠OAB＝∠DAC，
在△OAB和△DAC中，
，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB＝CD，
∴CD＝x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y＝x+1（x＞0）．
故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，建立相应的函数关系式，根据函数关系式判断出正确的函数图象．
8．（3分）小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆P A的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆P A的高度为（）
A．B．C．D．
【分析】设P A＝PB＝PB′＝x，在RT△PCB′中，根据sinα＝，列出方程即可解决问题．
【解答】解：设P A＝PB＝PB′＝x，
在RT△PCB′中，sinα＝，
∴＝sinα，
∴x﹣1＝x sinα，
∴（1﹣sinα）x＝1，
∴x＝．
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形、三角函数等知识，解题的关键是设未知数列方程，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，直线y＝﹣x+5与双曲线y＝（x＞0）相交于A，B两点，与x轴相交于C点，△BOC的面积是．若将直线y＝﹣x+5向下平移1个单位，则所得直线与双曲线y＝（x＞0）的交点有（）
A．0个B．1个
C．2个D．0个，或1个，或2个
【分析】令直线y＝﹣x+5与y轴的交点为点D，过点B作BE⊥x轴于点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及△BOC的面积是即可得出BE的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值，根据平移的性质找出平移后的直线的解析式将其代入反比例函数解析式中，整理后根据根的判别式的正负即可得出结论．
【解答】解：令直线y＝﹣x+5与y轴的交点为点D，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．
令直线y＝﹣x+5中y＝0，则0＝﹣x+5，解得：x＝5，
即OC＝5．
∵△BOC的面积是，
∴OC•BE＝×5•BE＝，
解得：BE＝1．
结合题意可知点B的纵坐标为1，
当y＝1时，有1＝﹣x+5，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，1），
∴k＝4×1＝4，
即双曲线解析式为y＝．
将直线y＝﹣x+5向下平移1个单位得到的直线的解析式为y＝﹣x+5﹣1＝﹣x+4，将y＝﹣x+4代入到y＝中，得：﹣x+4＝，
整理得：x2﹣4x+4＝0，
∵△＝（﹣4）2﹣4×4＝0，
∴平移后的直线与双曲线y＝只有一个交点．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，根据三角形的面积公式找出点B的坐标是解题的关键．10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：
①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC•BC；③OE：AC＝：6；④S△OCF＝2S△OEF
成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，根据角平分线的定义得到∠DCE＝∠BCE＝60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB ＝90°，求出∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD＝AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到AC＝BC，根据三角形的中位线的性质得到OE＝BC，于是得到OE：AC＝：6；故③正确；根据相似三角形的性质得到
＝2，求得S△OCF＝2S△OEF；故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵CE平分∠BCD交AB于点E，
∴∠DCE＝∠BCE＝60°
∴△CBE是等边三角形，
∴BE＝BC＝CE，
∵AB＝2BC，
∴AE＝BC＝CE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，故①正确；
∵AC⊥BC，
∴S▱ABCD＝AC•BC，故②正确，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴AC＝BC，
∵AO＝OC，AE＝BE，
∴OE＝BC，
∴OE：AC＝，
∴OE：AC＝：6；故③正确；
∵AO＝OC，AE＝BE，
∴OE∥BC，
∴△OEF∽△BCF，
∴＝2：1，
∴S△OCF：S△OEF＝＝2，
∴S△OCF＝2S△OEF；故④正确．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）如果两个相似三角形的周长比为3：4，那么它们的面积比是9：16．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为3：4，
∴两个相似三角形的相似比为3：4，
∴两个相似三角形的面积比为9：16，
故答案为：9：16．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
12．（3分）如果将抛物线y＝x2+2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是y＝x2+2x+3．
【分析】设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b，把点A的坐标代入进行求值即可得
到b的值．
【解答】解：设平移后的抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1+b，
把A（0，3）代入，得
3＝﹣1+b，
解得b＝4，
则该函数解析式为y＝x2+2x+3．
故答案是：y＝x2+2x+3．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．
13．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，
则取到的是一个红球、一个白球的概率为．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况，
∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是8﹣π．
【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，
∴AB＝＝，
由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，
∴DH＝OB＝2，
阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣
＝8﹣π，
故答案为：8﹣π．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式S＝和旋转的性质是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是
直角三角形时，DF的长为或．
【分析】点E与点C′重合时．在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC＝4，由翻折的性质可知：AE＝AC＝3，DC＝DE．则EB＝2．设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．在Rt△DBE 中，依据勾股定理列方程求解即可；当∠EDB＝90时．由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°，然后证明四边形ACDE为正方形，从而求得DB＝1，然后证明DF∥AC，△BDF∽△BCA，依据相似三角形的性质可求得DF＝．
【解答】解：如图1所示；点E与点F重合时．
在Rt△ABC中，BC＝＝＝4．
由翻折的性质可知；AE＝AC＝3、DC＝DE．则EB＝2．
设DC＝ED＝x，则BD＝4﹣x．
在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+22＝（4﹣x）2．
解得：x＝．
∴DE＝．
如图2所示：∠EDB＝90时．
由翻折的性质可知：AC＝AE，∠C＝∠AED＝90°．
∵∠C＝∠AED＝∠CDE＝90°，
∴四边形ACDE为矩形．
又∵AC＝AE，
∴四边形ACE′为正方形．
∴CD＝AC＝3．
∴DB＝BC﹣DC＝4﹣3＝1．
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△BCA．
∴＝，即．
解得：DF＝．
点D在CB上运动，假设∠DBE＝90°，则点A到BE的距离为BC的长，
而AE＝AC＜BC，
故∠DBE不可能为直角．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、正方形的判定、相似三角形的性质和判定，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）计算：|﹣3|+tan30°﹣+2cos45°﹣（2018﹣π）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+×﹣2+2×﹣1
＝3+1﹣2+﹣1
＝3﹣．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
17．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．
【分析】（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1即可；
（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可．
【解答】解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，
线段BC旋转过程中所扫过得面积S＝＝．
【点评】此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．
18．（9分）将如图所示的牌面数字1、2、3、4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是奇数的概率是；
（2）从中随机抽出两张牌，两张牌牌面数字的和是6的概率是；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用树状图或列表的方法求组成
的两位数恰好是3的倍的概率．
【分析】（1）根据概率的意义直接计算即可解答．
（2）找出两张牌牌面数字的和是6的情况再与所有情况相比即可解答．
（3）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【解答】解：（1）1，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为
＝；
（2）只有2+4＝6，但组合一共有3+2+1＝6，故概率为；
（3）列表如下：
其中恰好是3的倍数的有12，21，24，33，42五种结果．
所以，P（3的倍数）＝．
故答案为，．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（9分）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）求证：DF2＝BF•AF．
【分析】（1）连AD，OD，则∠ADB＝∠ADC＝90°，由直角三角形斜边上的中线性质得：EA＝ED，∠EDA＝∠EAD，由等腰三角形的性质得：∠ODA＝∠OAD，证得∠EDO ＝∠EAO，即可得出结论；
（2）证明：由切线的性质得：∠ODF＝∠FDB+∠ODB＝∠F AD+∠OBD＝90°，证出∠FDB＝∠F AD，∠F为公共角，得出△FDB∽△F AD，由对应边成比例即可得出结论．【解答】（1）证明：连AD，OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵E是AC的中点，
∴EA＝ED，
∴∠EDA＝∠EAD，
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠EDO＝∠EAO，
∵AB⊥AC，
∴∠EAO＝90°，
∴∠EDO＝90°，
∴DE为⊙O的切线；
（2）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴∠ODF＝∠FDB+∠ODB＝∠F AD+∠OBD＝90°，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠FDB＝∠F AD，
又∵∠F为公共角，
∴△FDB∽△F AD，
∴＝，
∴DF2＝BF•AF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
20．（9分）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．
【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，
在Rt△BFD中，
∵∠DBF＝30°，sin∠DBF＝＝，cos∠DBF＝＝，
∵BD＝6，
∴DF＝3，BF＝3，
∵AB∥CD，CE⊥AB，BF⊥CD，
∴四边形BFCE为矩形，
∴BF＝CE＝3，CF＝BE＝CD﹣DF＝1，
在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，
∴AE＝CE＝3，
∴AB＝3+1．
答：铁塔AB的高为（3+1）m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．
21．（10分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4）、点B（﹣4，n）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可；
（2）求出直线AB与y轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，
解得k＝4，b＝3，
所以反比例函数的解析式是y＝，一次函数解析式是y＝x+3；
（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，
当x＝﹣4时，y＝﹣1，
∴B（﹣4，﹣1），
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×3×4＝；
（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，用了数形结合思想．
22．（10分）数学活动课上，某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD（∠BAD ＝120°）进行探究：将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AD＝AB，试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系；
（2）类比发现
如图2，若AD＝2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求的值；
（3）深入探究
如图3，若AD＝4AB，探究得：的值为常数t，则t＝．
【分析】（1）先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE＝∠ACF，根据①的结论得到BE＝AF，由此即可证明；
（2）设DH＝x，由题意，CD＝2x，CH＝x，由△ACE∽△HCF，得＝由此即可证明．
（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN ∽△CEM，得出＝，由AB•CM＝AD•CN，AD：AD＝1：4，推出CM＝4CN，得出＝，设CN＝a，FN＝b，则CM＝4a，EM＝4b，再求出AC，AE+4AF，即可解决问题．
【解答】解：（1）AE+AF＝AC；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝120°，
∴∠D＝∠B＝60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠B＝∠CAD＝60°，∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵∠ECF＝60°，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝60°，
∴∠BCE＝∠ACF，
在△BCE和△ACF中，，
∴△BCE≌△ACF（ASA）．
∴BE＝AF，
∴AE+AF＝AE+BE＝AB＝AC；
故答案为：AE+AF＝AC；
（2）设DH＝x，由由题意，CD＝2x，CH＝，
∴AD＝2AB＝4x，
∴AH＝AD﹣DH＝3x，
∵CH⊥AD，
∴AC＝＝，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝30°，
∴∠ACH＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠HCF＝∠ACE，
∴△ACE∽△HCF，
∴，
（3），
理由如下：
如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．∵∠ECF+∠EAF＝180°，
∴∠AEC+∠AFC＝180°，
∵∠AFC+∠CFN＝180°，
∴∠CFN＝∠AEC，∵∠M＝∠CNF＝90°，
∴△CFN∽△CEM，
∴，
∵AB•CM＝AD•CN，AD＝4AB，
∴CM＝4CN，
∴，
设CN＝a，FN＝b，则CM＝4a，EM＝4b，
∵∠MAH＝60°，∠M＝90°，
∴∠AHM＝∠CHN＝30°，
∴HC＝2a，HM＝2a，HN＝a，
∴AM＝，AH＝，
∴AC＝＝，
AE+4AF＝（EM﹣AM）+4（AH+HN﹣FN）＝EM﹣AM+4AH+4HN﹣4FN＝4AH+4HN﹣AM＝，
∴．
∴t＝，
故答案为：．
【点评】本题考查几何变换综合题．全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
23．（11分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．（1）求b、c的值；
（2）如图1直线y＝kx+1（k＞0）与抛物线第一象限的部分交于D点，交y轴于F点，交线段BC于E点．求的最大值；
（3）如图2，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．问在直线BC下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A、B的坐标带入到抛物线解析式中，得出关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）作DN∥CF交CB于N，由DN∥CF可得出△DEN∽△FEC，根据相似三角形的性质得出，由（1）可得出抛物线的解析式，令抛物线解析式中x＝0则可得出点C 的坐标，由点B、C的坐标可得出直线BC的解析式，设出点D的坐标，则可得出点N 的坐标，由直线DF的解析式可得出点F的坐标，从而得出DN、CF的长度，由DN的长度结合二次函数的性质即可得出结论；
（3）假设存在符合题意的点Q．设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线．由抛物线的解析式可得出顶点P的坐标，由此得出对称轴的解析式，结合直线BC的解析式可得出点M的坐标，结合点G的坐标可知PM＝GM，由此得出满足题意的点Q为“过点G与直线BC平行的直线和抛物线的交点”，由G点的坐标结合直线BC的解析式即可得出过点G与BC平行的直线的解析式，联立直线与抛物线解析式得出关于x、y的二元二次方程组，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）带入到抛物线解析式中得：
，
解得：．
（2）作DN∥CF交CB于N，如图1所示．
∵DN∥CF，
∴△DEN∽△FEC，
∴．
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴点C的坐标为（0，3）．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
令直线y＝kx+1中x＝0，则y＝1，
即点F的坐标为（0，1）．
设点D的坐标为（m，﹣m2+2m+3），则点N的坐标为（m，﹣m+3），∴DN＝﹣m2+3m，CF＝3﹣1＝2，
∴＝，
∵DN＝﹣m2+3m＝﹣+的最大值为，
∴的最大值为．
（3）假设存在符合题意的点Q．
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴P点的坐标为（1，4），PM的解析式为x＝1，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴M的坐标为（1，2），
∵点G的坐标为（1，0），
∴PM＝GM＝2．
设PM与x轴交于点G，过点G作作直线BC的平行线，如图2所示．。