10.2 事件的相互独立性 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第二册

对 B， A
B
，
P
A
1 6
，
P
B
2 6
1 3
，所以
P
AB
P
A
P
B
，A
与
B
不
独立，故 B 选项错误；
对 C， A B ， A B Ω ，所以 A 与 B 不对立，故 C 选项错误；
对
D，
P
B
2 6
1 3
2 3
，故
D
选项错误.故选：A.
这节课我们学到了什么
1.独立事件的公式 P(AB) P(A)P(B) 2.独立事件的对立事件也相互独立
10.2 事件的相互独立性
学习目标
01 了解两个随机事件独立性的含义
02 利用独立性的概率，解决简单问题
学习重点
相互独立事件的概念以及概率的计算
学习难点
独立性的应用
新课导入
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得 事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?
试验1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正 面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.
5
4
5
1
A.
B.
C.
D.
9
9
12
3
解析：该用户第 1 次点球没进球且该用户获胜可分为点球 4 次后获胜、点球 5 次后
获胜，记对应的概率分别为 p1 ， p2 .若点球 4 次后获胜，则只有一种情况，第 2 次、
第
3
次和第
4
次均进球，
P1
2 3
1 2
1 2
1 6
；若点球
5
次后获胜，则共有
3
种情况，
1 个，2 个成语的事件.根据独立性假定，得
P A1
2
3 4
1 4
3 8
，
P A2
3 4
2
9 16
.
PB1
2
2 3
1 3
4 9
， P B2
2 3
2
4 9
.
设 A=“两轮活动‘星队’猜对 3 个成语”，则 A A1B2 A2B1 ，且 A1B2 与 A2B1 互斥，A1
与 B2 ， A 20102 与 B1 分别相互独立，所以
tle here
.故该用户获胜的概率为
P
P1
P2
1 6
5 18
4 9
.故选
B.
5.甲，乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为 1 ， 1 ，则密码被破译的概 32
率为( B)
1
2
5
A. 6
B. 3
C. 6
D.1
解析：设“甲独立地破译一份密码”为事件 A，“乙独立地破译一份密码”为事件 B，
则 P A 1 ， PB 1 ， P A 1 1 2 ， P B 1 1 1 ，
立，故 A、B 错误；又 P A 1 ，P B 1 ，P AB 1 ，所以 P AB PB P A ，
2
2
4
所以 A 与 B 相互独立，故 C 正确，D 错误.故选：C.
4.在 2022 年卡塔尔世界杯决赛中，阿根廷队通过点球大战击败法国队，最终获得世
界杯冠军.某游戏公司据此推出了一款“AR 点球大战”的游戏，规则如下：游戏分
C.0.7
D.0.98
解析：由题意，得飞行目标不被甲、乙发现的概率分别为 0.1，0.2，所以飞行目标 被雷达发现的概率为10.10.2 0.98 .故选 D.
2.“三个臭皮匠顶ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多.假设每个“臭皮匠”单独
解决某个问题的概率均为 0．6 ，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少
互斥事件的公式 P A B P A PB 对立事件的公式 P A PB 1
独立事件的公式 P AB P A PB
探究一下
如果事件 A 与事件 B 相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？A 与 B ， A 与 B， A 与 B 是否独立？
结论
对于 A 与 B ，因为 A AB AB ，而且 AB 与 AB 互斥， 所以 P(A) P(AB AB) P(AB) P(AB) P(A)P(B) P(AB) ，
在试验 2 中，样本空间 Ω {(m,n) | m, n {1,2,3,4}} ，而
A {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2, 3),(2,4)} ，
B {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)} ，
P( A)
P
A1B2
P
A2B1
P
A1 P B2
P
A2
P B1
3 8
4 9
9 16
4 9
5 12
.
因此，“星队”在两轮活动中猜对
3
个成语的概率是 5
12
.
课堂巩固
1.甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是 0.9 和 0.8，飞行目标
D 被雷达发现的概率为( )
A.0.72
B.0.26
成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称为独立.
相互独立事件的性质
1.必然事件和不可能事件的关系
必然事件 、不可能事件 都与任意事件是相互独立的
2.必然事件的性质
必然事件 总会发生，不会受任何事件是否发生的影响
3.不可能事件的性质 不可能事件 总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响
互斥事件、对立事件与独立事件公式辨析
A.A 与 B 互为对立事件
B.A 与 B 互斥
C.A 与 B 相互独立
D.
P
AB
1 3
解析：抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），
（反，反），事件 A 包含的结果有：（正，正），（正，反），事件 B 包含的结果有：（正，
反），（反，反），事件 AB 包含的结果有：（正，反），所以 A 与 B 不互斥，且不对
B {(1, 2),(2,1),(3,1),(3, 2)P,l(4e ,a1s),e(4,e2n)}t e，r y o u r t i t l e h e r e
所以
P(
A)
P(B)
6 12
1 2
,
P(
AB)
2 12
1 6
.
此时 P(AB) P(A)P(B) ，因此，事件 A 与事件 B 不独立.
试验2:一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除 标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出 两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到 球的标号小于3”.
问题：分别计算 P A ， PB ， P AB，你有什么发现？
结论
对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结 果与第二枚硬币的抛请掷在结此果处五输互入相您不的受标影题响，所以事件A发
所以 P(AB) P(A) P(A)P(B) P(A)(1 P(B)) P( A)P(B) . 由事件的独立性定义，A 与 B 相互独立.类似地，可以证明事件 A 与 B，A 与 B 也 都相互独立.
例题来了
例 1 一个袋子中有标号分别为 1，2，3，4 的 4 个球，除标号外没有其他差异.采用
①第 2 次没进，第 3 次、第 4 次和第 5 次进球，②第 3 次没进，第 2 次、第 4 次和
第 5 次进球，③第 4 次没进请，在第此2 次处、输第入3 次您和的第标5 题次进球，
P2
1 3
2 3
1 2
1 2
2 3
1 2
2 3
Pl
1e
as
2
2e 3
e
1n
te
1r
22
y
o2ur 3
5t i 18
不放回方式从中任意摸球两次.设事件 A=“第一次摸出球的标号小于 3”，事件 B=
“第二次摸出球的标号小于 3”，那么事件 A 与事件 B 是否相互独立？ 解：因为样本空间 Ω {(m, n) | m, n {1,2,3,4}, 且 m n} ，
A {(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,请3),(在2,4此)}，处输入您的标题
B
{(1, 0), (0, 0)} ，所以
AB
{(1, 0)}
.由古典概型概率计算公式，得
P( A)
P(B)
1 2
，
P( AB)
1 4
.于是
P( AB)
P(A)P(B)
.积事件
AB
的概率
P( AB)
恰好等于
P( A)
与
P(B)
的
乘积.
对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二 次摸201球0 的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响 事件B发生的概率.
AB {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)} ，
所以
P(
A)
P(B)
1 2
,
P( AB)
1 4
.于是也有
P( AB)
P(
A)P(B)
.积事件
AB
的
概率 P(AB) 也等于 P(A) ， P(B) 的乘积.
新课学习
相互独立事件
对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB) P(A)P(B)
D 有一人解决该问题的概率为( )
A. 0．6
B. 0．784
C. 0．8
D.0.936
解析：“至少有一人解决该问题”的对立事件为“三人都未解决”，故所求的概率为
P 110.610.6 10.6 0.936 .
3.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 A “第一枚硬币正面朝上”，事件 B “第二
C 枚硬币反面朝上”，则下列对事件 A, B 的表述正确的是( )
Please enter your title here
生与否不影响事件B发生的概率.
在试验 1 中，用 1 表示硬币“正面朝上”，用 0 表示硬币“反面朝上”，则样
本空间为 Ω {(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)} ，包含 4 个等可能的样本点.而 A {(1,1),(1,0)} ，
2010
3
2
33
22
设“密码被破译”为事件 C，则
PC P AB P AB P AB 1 1 2 1 1 1 2 ， 32 32 32 3
故选：B.
6.一个盒子中装有标号为 1，2，3，4 的 4 张号签，从中随机地选取两张号签，事件
A “取到标号为 1 和 3 的号签”，事件 B “两张号签标号之和为 5”，则下列说法正
为进攻方和防守方，进攻方最多连续点球 5 次，若进球则进攻方得 1 分，若没进则
防守方得 1 分，先得 3 分者获胜，本次游戏结束.已知某用户作为进攻方时，若某次
点球进球，则下次进球的概率为 1 ；若没有进球，则下次进球的概率为 2 .在某次游
2
3
B 戏中，该用户第 1 次点球没进，则该用户获胜的概率为( )
确的是( A)
A.A 与 B 互斥
B.A 与 B 独立
C.A 与 B 对立
D.
P
B
2 3
解析：根据题意，选取两张号签用 x, y 表示一次实验结果，
则随机试验结果的样本空间Ω 1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4，
A 1,3 ， B 1,4,2,3 .
对 A， A B ，所以 A 与 B 互斥，故 A 选项正确；
例 2 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，
已知甲每轮猜对的概率为
3 4
，乙每轮猜对的概率为
2 3
.在每轮活动中，甲和乙猜对与
否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率.
解：设 A1, A2 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件，B1, B2 分别表示乙两轮猜对