2022-2023学年苏教版选择性必修第一册 1-5-2 点到直线的距离 学案

课题:§1.5.2 点到直线的距离
目标要求
1、理解并掌握点到直线的距离公式的推导方法．
2、理解并掌握点到直线的距离公式．
3、理解并掌握两条平行线间的距离公式．
4、理解并掌握距离公式的综合运用．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
重点难点
重点：两条平行线间的距离公式．
难点：距离公式的综合运用．
教学过程
基础知识点
1.点到直线的距离
(1)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= ___________ .
(2)本质:用代数方法求平面内点到直线的距离.
【思考】
能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离?
2.两条平行直线间的距离
(1)定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 __________ 的长.
(2)公式:直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d= ___________________ .
(3)本质:用代数方法求平面内两条平行直线间的距离.
【思考】
直线l1,l2的方程具备什么特征时,才能直接应用公式求距离?
【课前基础演练】
题1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A．1 B． 3 C．2 D． 5
题2．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．1
2
题3．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )
A ．3
B ．53
C ．1
D ．2
2
题4．已知点M (1，4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )
A ．0
B ．34
C ．3
D ．0或3
4
题5．已知点P (1＋t ，1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为5
5
，则点P 的坐标为( )
A ．(0，－2)
B ．(2，4)
C ．(0，－2)或(2，4)
D ．(1，1)
题6．若第二象限内的点P (m ，1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2 ，则m 的值为________.
题7．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0之间的距离为________.
【当堂巩固训练】
题8．已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )
A ．79
B ．－13
C ．－79 或－13
D ．－79 或13
题9．已知点P (a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( )
A ．22 (a －b )
B ．22 (b －a )
C ．b －a
D ．a 2＋b 2
题10．若两平行直线x ＋2y ＋m ＝0(m >0)与x －ny －3＝0之间的距离是 5 ，则m ＋n ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－2 【
题11.到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于5
5
的直线方程为( )
A ．2x ＋y ＝0
B ．2x ＋y －2＝0
C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0
D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0
题12．直线l 过点A (3，4)，且与点B (－3，2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0 D ．3x ＋y －13＝0
题13．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A ．3x －2y －6＝0
B ．2x ＋3y ＋7＝0
C ．3x －2y －12＝0
D ．2x ＋3y ＋8＝0
题14．已知直线l ： 3 x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A ．直线l 的倾斜角是π
6
B ．点( 3 ，0)到直线l 的距离是2
C ．若直线m ：x － 3 y ＋1＝0，则l ⊥m
D ．过(2 3 ，2)与直线l 平行的直线方程是 3 x －y －4＝0
题15．若点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为1，则a 的值为( )
A ．0
B ．103
C ．5
D ．－10
3
题16．两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________.
题17．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________.
题18．已知直线l 经过点(－2，3)，且原点到直线l 的距离等于2，求直线l 的方程．
【课堂跟踪拔高】
题19．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2
＋y 2
的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2 D ．16
题20．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：()a －2 x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )
A ． 2
B ．823
C ． 3
D ．83
3
题21．已知点A (1，3)，B (3，1)，C (－1，0)，则△ABC 的面积等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
题22．(多选题．．．)S ＝{直线l |sin θm x ＋cos θ
n y ＝1，m ，n 为正常数，θ∈[0，2π)}，下
列结论中错误的是( ) A ．当θ＝π4 时，S 中直线的斜率为n
m
B ．S 中所有直线均经过同一个定点
C ．当m ≥n 时，S 中的两条平行直线之间的距离的最小值为2n
D ．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
题23．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则实数k 的值是________.
题24．直线l 1：2mx ＋(m －2)y ＋4＝0(m ∈R )恒过定点________；若过原点作直线l 2∥l 1，则当直线l 1与l 2的距离最大时，直线l 2的方程为________.
题25．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和
坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l2的方程．
题26．已知△ABC中，A(1，1)，B(m，m )(1<m<4)，C(4，2)，求m为何值时，△ABC 的面积S最大？
编号：008 课题:§1.5.2 点到直线的距离
目标要求
1、理解并掌握点到直线的距离公式的推导方法．
2、理解并掌握点到直线的距离公式．
3、理解并掌握两条平行线间的距离公式．
4、理解并掌握距离公式的综合运用．
学科素养目标
本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．
重点难点
重点：两条平行线间的距离公式．
难点：距离公式的综合运用．
教学过程
基础知识点
1.点到直线的距离
(1)公式:点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d= .
(2)本质:用代数方法求平面内点到直线的距离.
【思考】
能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离?
提示:不能,必须先化成一般式,再代入公式求距离.
2.两条平行直线间的距离
(1)定义:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 公垂线段 的长.
(2)公式:直线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0间的距离d = .
(3)本质:用代数方法求平面内两条平行直线间的距离. 【思考】
直线l 1,l 2的方程具备什么特征时,才能直接应用公式求距离? 提示:直线l 1,l 2的方程必须是一般式,且一次项系数A ,B 相同.
【课前基础演练】
题1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B ． 3 C ．2 D ． 5
【解析】选D .d ＝|0＋2×0－5|
12＋2
2
＝ 5 . 题2．两条平行线l 1：3x ＋4y －7＝0和l 2：3x ＋4y －12＝0的距离为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．1
2
【解析】选C .d ＝|－7－（－12）|
32＋4
2
＝1. 题3．点P (1，－1)到直线l ：3y ＝2的距离是( )
A ．3
B ．53
C ．1
D ．2
2
【解析】选B .点P (1，－1)到直线l 的距离d ＝|3×（－1）－2|02＋32
＝5
3 . 题4．已知点M (1，4)到直线l ：mx ＋y －1＝0的距离为3，则实数m ＝( )
A ．0
B ．34
C ．3
D ．0或3
4
【解析】选D .点M 到直线l 的距离d ＝|m ＋4－1|m 2＋1 ＝|m ＋3|m 2＋1 ，所以|m ＋3|
m 2
＋1
＝3， 解得m ＝0或m ＝3
4 .
题5．已知点P (1＋t ，1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为5
5
，则点P 的坐标为( ) A ．(0，－2) B ．(2，4) C ．(0，－2)或(2，4) D ．(1，1)
【解析】选C .直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2（1＋t ）－（1＋3t ）－1|
22＋（－1）2
＝
5
5
，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1. 当t ＝1时，点P 的坐标为(2，4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2).
题6．若第二象限内的点P (m ，1)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2 ，则m 的值为________.
【解析】由|m ＋1＋1|
12＋1
2
＝ 2 ，得m ＝－4或m ＝0， 又因为m <0，所以m ＝－4. 答案：－4
题7．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0之间的距离为________.
【解析】直线8x －6y ＋5＝0化为4x －3y ＋5
2 ＝0，
则由两条平行直线之间的距离公式得⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪5－5242＋（－3）2
＝12 . 答案：1
2
【当堂巩固训练】
题8．已知点A (－3，－4)，B (6，3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( )
A ．79
B ．－13
C ．－79 或－13
D ．－79 或13
【解析】选C .由点到直线的距离公式可得|－3a －4＋1|a 2＋1 ＝|6a ＋3＋1|
a 2
＋1 ， 化简得|3a ＋3|＝|6a ＋4|，解得实数a ＝－79 或－1
3
.
题9．已知点P (a ，b )是第二象限的点，那么它到直线x －y ＝0的距离是( )
A ．22 (a －b )
B ．22
(b －a ) C ．b －a D ．a 2＋b 2
【解析】选B .因为P (a ，b )是第二象限的点，所以a <0，b >0.所以a －b <0.
所以点P 到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b|2 ＝2
2 (b －a ).
题10．若两平行直线x ＋2y ＋m ＝0(m >0)与x －ny －3＝0之间的距离是 5 ，则m ＋n ＝( )
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．－2
【解析】选A .由直线x ＋2y ＋m ＝0(m >0)与x －ny －3＝0平行可得－n ＝2即n ＝－2，
又因为直线x ＋2y ＋m ＝0(m >0)与x ＋2y －3＝0的距离为 5 ，所以|m ＋3|
12＋2
2 ＝ 5 ，解得m
＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝2＋()－2 ＝0.
题11.到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于5
5
的直线方程为( )
A ．2x ＋y ＝0
B ．2x ＋y －2＝0
C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0
D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0
【解析】选D .因为所求与直线2x ＋y ＋1＝0的距离为5
5
，所以可得所求直线与已知直线
平行，设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，
所以d ＝||c －122＋1
2
＝5
5 ，解得c ＝0或c ＝2，
题12．直线l 过点A (3，4)，且与点B (－3，2)的距离最远，则直线l 的方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x －y ＋5＝0 C ．3x ＋y ＋13＝0 D ．3x ＋y －13＝0
【解析】选D .由题意知，当l 与AB 垂直时，符合要求，因为k AB ＝4－23－（－3） ＝1
3
，所以
直线l 的斜率k ＝－3，所以直线l 的方程为y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0. 题13．直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y －6＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0
【解析】选D .方法一：设所求直线的方程为2x ＋3y ＋C ＝0，由题知|2－3－6|22＋32 ＝|2－3＋C|
22＋3
2
，解得C ＝－6(舍去)或C ＝8.故所求直线的方程为2x ＋3y ＋8＝0.
方法二：令(x 0，y 0)为所求直线上任意一点，则点(x 0，y 0)关于(1，－1)的对称点为(2－x 0，－2－y 0)，此点在直线2x ＋3y －6＝0上，代入可得所求直线方程为2x ＋3y ＋8＝0. 题14．已知直线l ： 3 x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A ．直线l 的倾斜角是π
6
B ．点( 3 ，0)到直线l 的距离是2
C ．若直线m ：x － 3 y ＋1＝0，则l ⊥m
D ．过(2 3 ，2)与直线l 平行的直线方程是 3 x －y －4＝0 【解析】选BD .直线l ： 3 x －y ＋1＝0的斜率k ＝
tan θ＝ 3 ，故直线l 的倾斜角是π
3 ，A 错误；点( 3 ，0)到直线l 的距离d ＝
|3×3－0＋1|（3）2
＋（－1）
2
＝2，B 正确；因为直线m ：x － 3 y ＋1＝0的斜率k ′＝3
3
，k ·k ′＝1≠－1，故直线l 与直线m 不垂直，C 错误；过(2 3 ，2)与直线l 平行的直线方程是y －2＝ 3 (x －2 3 )，整理得 3 x －y －4＝0，D 正确．
题15．若点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为1，则a 的值为( )
A ．0
B ．103
C ．5
D ．－10
3
【解析】选AB .点A (a ，1)到直线3x －4y ＝1的距离为||3a －4－15 ＝1，故||
3a －55
＝1，
解得a ＝0或a ＝10
3
.
题16．两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________.
【解析】由题意，得63 ＝m
1
，所以m ＝2，
将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，
由两平行线间距离公式，得|－1＋6|62＋22
＝540 ＝10
4 . 答案：
10
4
题17．已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________.
【解析】设直线l 的方程为2x －y ＋C ＝0，
由题意，得|3－C|22＋12 ＝|C ＋1|
22＋12 ，
答案：2x －y ＋1＝0
题18．已知直线l 经过点(－2，3)，且原点到直线l 的距离等于2，求直线l 的方程． 【解析】①当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝－2，符合原点到直线l 的距离等于2.
②当直线l 的斜率存在时，
设所求直线l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，
即kx －y ＋2k ＋3＝0，由d ＝|0－0＋2k ＋3|
1＋k
2
＝2， 得k ＝－5
12
，即直线l 的方程为5x ＋12y －26＝0.
综上所求直线的方程为x ＝－2或5x ＋12y －26＝0.
【课堂跟踪拔高】
题19．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2
＋y 2
的最小值是( ) A ．8 B ．2 2 C ． 2 D ．16
【解析】选A .x 2＋y 2＝(（x －0）2＋（y －0）2 )2，它表示原点到(x ，y )距离的平方，x 2
＋
y 2
的最小值即为原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方，⎝ ⎛⎭
⎪⎫|0＋0－4|2 2 ＝8.
题20．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：()a －2 x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A ． 2 B ．823 C ． 3 D ．83
3
【解析】选B .由直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：()a －2 x ＋3y ＋2a ＝0平行，
则3＝a ()a －2 ，即a 2
－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1， 当a ＝3时，直线l 1：x ＋3y ＋6＝0与l 2：x ＋3y ＋6＝0重合；
当a ＝－1时，直线l 1：x －y ＋6＝0与l 2：x －y ＋2
3
＝0平行，
两直线之间的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232
＝82
3 .
题21．已知点A (1，3)，B (3，1)，C (－1，0)，则△ABC 的面积等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【解析】选C .设AB 边上的高为h ，
则S △ABC ＝12
AB ·h ，AB ＝（3－1）2＋（1－3）2
＝2 2 ，AB 边上的高h 就是点C 到直
线AB 的距离．AB 边所在的直线方程为y －31－3 ＝x －1
3－1
，
即x ＋y －4＝0.点C 到直线x ＋y －4＝0的距离为|－1＋0－4|2 ＝5
2
，
因此，S △ABC ＝12 ×2 2 ×5
2 ＝5.
题22．(多选题．．．)S ＝{直线l |sin θm x ＋cos θ
n y ＝1，m ，n 为正常数，θ∈[0，2π)}，下
列结论中错误的是( ) A ．当θ＝π4 时，S 中直线的斜率为n
m
B ．S 中所有直线均经过同一个定点
C ．当m ≥n 时，S 中的两条平行直线之间的距离的最小值为2n
D ．S 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
【解析】选ABD .当θ＝π4 时，sin θ＝cos θ，S 中直线的斜率为－n m ，故A 不正确；根据sin θ
m
x ＋cos θn
y ＝1，可知S 中所有直线不可能经过一个定点，B 不正确；当m ≥n 时，S 中的
两条平行直线间的距离为d ＝2
sin 2θm 2
＋cos 2
θ
n
2 ≥2n ，即最小值为2n ，C 正确；(0，0)不满足方程，所以S 中的所有直线不可覆盖整个平面，D 不正确．
题23．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则实数k 的值是________.
【解析】因为|5×2－12k ＋6|
52＋12
2
＝4， 所以|16－12k |＝52，所以k ＝－3或k ＝17
3
.
答案：－3或17
3
题24．直线l 1：2mx ＋(m －2)y ＋4＝0(m ∈R )恒过定点________；若过原点作直线l 2∥l 1，则当直线l 1与l 2的距离最大时，直线l 2的方程为________.
【解析】由2mx ＋(m －2)y ＋4＝0得(2x ＋y )m ＋(4－2y )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝04－2y ＝0 得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－1
y ＝2 ，所
以l 1恒过定点(－1，2).
设直线l 2的方程为：2mx ＋(m －2)y ＋C ＝0，
因为l 2过原点，所以C ＝0，所以l 2：2mx ＋(m －2)y ＝0，则l 1，l 2之间距离
d ＝44m 2＋（m －2）2 ＝4
5m 2
－4m ＋4 . 当m ＝25 时，(5m 2
－4m ＋4)min ＝165 ，所以d max ＝ 5 .所以l 2的方程为：y ＝12
x .
答案：(－1，2) y ＝1
2
x
题25．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2，l 1和坐标轴围成的梯形的面积为4，求直线l 2的方程．
【解析】设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，
则A (1，0)，D (0，1)，B (b ，0)，C (0，b ).所以AD ＝ 2 ，BC ＝ 2 b .
梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b|2 ＝|b －1|2 ＝b －1
2 (b >1)，
由梯形的面积公式得
2＋2b 2 ×b －12
＝4，所以b 2
＝9，b ＝±3. 又b >1，所以b ＝3. 从而得直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.
题26．已知△ABC 中，A (1，1)，B (m ，m )(1<m <4)，C (4，2)，求m 为何值时，△ABC
的面积S 最大？
【解析】因为A (1，1)，C (4，2)，所以AC ＝（4－1）2＋（2－1）2
＝10 . 又AC 边所在直线的方程为x －3y ＋2＝0，
根据点到直线的距离公式，可得点B (m ，m )到直线AC 的距离d ＝|m －3m ＋2|
10
.
所以S ＝12 AC ·d ＝12 |m －3m ＋2|＝12 |⎝ ⎛
⎭⎪⎫m －32 2 －14
|.
因为1<m <4，所以1<m <2，－12 <m －32 <1
2
.
所以0≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32 2 <14 ，所以S ＝12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－⎝ ⎛⎭⎪⎫m －322 . 所以当m －32 ＝0，即m ＝94 时，S 最大．故当m ＝9
4
时，△ABC 的面积最大．。