山西省运城市空港新区高三数学模拟考试试题(一)文

山西省运城市空港新区2017届高三数学模拟考试试题（一）文
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题（5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）
1. 已知集合{}{
}
Z x x x B x x A ∈<<-=<<=,23,502，则B A ⋂＝ A. {-2，-1，0，1}
B. {-2，-1, 1，2}
C. {-2，-1，1}
D. {-1，0，1}
2. 已知i 是虚数单位，则复数i
i
z -=12在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知函数⎩⎨⎧
>---≤-=0
),2()1(0
),
1(log )(2x x f x f x x x f ，则=)3(f A. -3
B. -1
C. 0
D. 1 4. 设n m l ,,表示三条直线，γβα,,表示三个平面，则下列命题中不成立的是 A. 若m n m ,,αα⊄⊂∥n ，则n ∥α B. 若γα⊥，α∥β，则γβ⊥
C. 若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，若l m ⊥，则n m ⊥
D. 若m l m ⊥=⋂⊥,,βαβα，则β⊥l
5. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b x a y 的焦点到渐近线的距离等于实轴长的4
1
，则该双曲线的离
心率为 A.
2
5
B. 5
C.
4
17
D. 3
6. 在矩形ABCD 中，3,4==AD AB ，若向该矩形内随机投一点P ， 那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为 A.
4
1
B.
3
1 C.
7
4
D.
9
4 7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆里面内切一
个
小
圆，若该几何体的表面积为π1616+，则正视图中的a 值为 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.《九章算术》中有这样一则问题：“今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里.良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.”现有如下说法：
①驽马第九日走了九十三里路； ②良马前五日共走了一千零九十五里路； ③良马和驽马相遇时，良马走了二十一日. 则以上说法错误的个数为
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
9. 执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为 A. 0
B. -1
C.
1
2
D. 32
-
10. 设函数)2
,0)(cos(
)sin()(π
ϕωϕωϕω<>+++=x x x f 的最小正周期为π，且)6
(π
+
x f 是偶
函数，则 A. ()f x 在)6
,4(ππ-单调递增
B. ()f x 在3
(
,)44ππ单调递增 C. ()f x 在)6
,4(π
π-
单调递减
D. ()f x 在3
(,)44
ππ单调递减
11. 已知直线1:=-y x l 与圆0122:2
2
=-+-+Γy x y x 相交于C A ,两点，点D B ,分别在圆Γ上运动，且位于直线l 的两侧，则四边形ABCD 面积的最大值为
A ．30 B. 302 C. 51 D. 512
12. 定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x 有()()f x f x '>，且
()2017f x +为奇函数，则不等式()20170x f x e +<的解集是
A ．(),0-∞
B ．()0,+∞
C ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知向量a 与b 的夹角为120°，且19||,3||=-=，则||b = .
14. 已知实数y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤++≥x
y y x x y 4242
，则y x z -=2)21(的最小值为 .
15.已知抛物线x y C 6:2
=的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于两点B A ,，交抛物线的准线于点C ，若FA FC 3=，则FB =
16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22()n n S a n N +=-∈，
若数列{}n b 满足)(1
,111++∈=
+=N n a b b b n
n n ，则数列{}n b 的前32+n 项和=+32n T . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. （本小题满分12分）
如图，在平面四边形ABCD 中，,1,AB AD AB ⊥=
2,33
AC ABC ACD ππ=∠=
∠= （I ）求sin BAC ∠； （II ）求DC 的长.
18. （本小题满分12分）
某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从 本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试， 成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数
据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一 部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为 0.04，0.10，0.14，0.28，0.30.第6小组的频数是7. （1）求这次铅球测试成绩合格的人数；
（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知a 、b 的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率.
19. （本小题满分12分）
如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，EF //AC ，2AD =，
EA ED EF ===
（I ）求证：AD BE ⊥;
（II ）若BE =BCD F -的体积.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率1
2
e =，直线l 过椭圆的右顶点和上顶点，且右焦点到
直线l 的距离7
d =
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）过点坐标原点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于B A ,两点，证明点O 到直线AB 的距离为定值，并求出定值.
21. （本小题满分12分） 已知函数21()(1)2x f x x x e =
+-（e 为自然对数的底数）
，()(1)ln ,1a
g x x a x a x
=-+-<. （1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）讨论函数()g x 的极小值；
（3）若对任意的1[1,0]x ∈-，总存在2[,3]x e ∈，使得12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为
)4
π
ρθ=+．
（1）将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）过点P (2,0)作斜率为1直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11
PA PB
+的值.
23．（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲． 设函数()|1||4|.f x x x a =++-- （1）当1,()a f x =时求函数的最小值； （2）若4
()1f x a
≥
+对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.
高三数学文（一）答案
1—5 CBCDA 6—10 DBBCA 11—12 AB
13. 2 14. 2 15. 6 16. 1
2431
4++⨯-n n
17. （I ）在ABC ∆中，由余弦定理得2
2
2
2cos ,AC BC BA BC BA B =+-⋅即2
60BC BC +-=，
解得2BC =或3BC =-（舍去）. ………………………3分
由正弦定理得
sin sin BC AC
BAC B
=
∠，
所以sin sin 7
BC B BAC AC ∠=
= ………………………6分
（II
）cos sin CAD BAC CAD ∠=∠=∠==
……………………7分
则1sin sin()3
2D CAD π
=∠+
=
+= ……………………9分
由正弦定理得
sin sin DC AC CAD D
=
∠，
所以sin sin 5AC CAD
DC D
∠=
=
= …………………………12分
19.解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次测试总人数为
7
500.14
=(人). ∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．……………4分 (2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等.前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为
0.56，∴中位数位于第4组内. …………………………………………..7分 (3)设成绩优秀的9人分别为,,,,,,,,,a b c d e f g h k 则选出的2人所有可能的情况为：
,,,,,,,;ab ac ad ae af ag ah ak ,,,,,,;bc bd be bf bg bh bk ,,,,,;
cd ce cf cg ch ck ,,,,;de df dg dh dk ,,,;ef eg eh ek ,,;fg fh fk ,;gh gk hk .共36种，其中a 、b 到少有1人入选
的情况有15种，
∴a 、b 两人至少有1人入选的概率为155
.3612
P == ……………………………….12分
19. （I ）如图，取AD 中点O ，连接EO ，BO.
∵EA=ED， ∴EO AD ⊥
……………………1分
∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB=AD
∴又60DAB ∠=︒ ∵ABC ∆为等边三角形， ∴BA=BD ∴BO AD ⊥
…………………3分
∵,BO EO O BO ⋂=⊂平面BEO ，EO ⊂平面BEO ∴AD ⊥平面BEO ， ……………………4分
∴BE ⊂平面BEO ，
∴AD BE ⊥ …………………5分
（I I ）在EAD ∆中，2EA ED AD ===
∴EO =∵ABD ∆为等边三角形， ∴2AB BD AD ===,
∴BO = ………………7分
又BE =
∴2
2
2
EO BO BE +=,
∴EO BO ⊥ …………………8分 ∵,AD BO O AD ⋂=⊂平面ABCD ，BO ⊂平面ABCD ∴EO ⊥平面ABCD.
……………………9分
又11
222
ABD S AD OB ∆=
⋅⋅=⨯=…………………….10分
∴BCD ABD S S ∆∆==又∵ EF//AC， ∴F BCD E BCD V V --=
……………11分
∴F BCD E BCD V V --=
11
33BCD S EO ∆=⋅== ………………12分
21.（1）因为()(1)(1)x
x
x
f x x e x e x e '=-+-=-
所以(1)1f e '=-，即切线的斜率为1e -. ………………………2分
又1(1)2f =
，则切点坐标为1(1,)2
， 故曲线()f x 在1x =处的切线方程为1
(1)(1)2
y e x -
=-- 即2(1)2210e x y e -+-+= ………………………….4分
（2）
2222
1(1)()(1)
()1a a x a x a x a x g x x x x x +-++--'=-+==，
1a <，又()g x 的定义域{|0}x x >，
∴当01a <<时，令()0,0g x x a '><<或1x >
令()0,1g x a x '<<<
∴()g x 在(0,)a 上单调递增，在(,1)a 上单调递减，在(1,)+∞单调递增.
∴()g x 的极小值为(1)1,g a =-当0a ≤时，()g x 极小=(1)1g a =-
综上()g x 极小=1a - …………………………8分 （3）对任意的1[1,0]x ∈-，总存在2[,3]x e ∈
12()()f x g x >成立，等价于()f x 在[-1,0]上的最小值大于()g x 在[e, 3]上最小值
当1[1,0]x ∈-时，()(1)0x
f x x e '=-≤，
()f x 在[-1, 0]上递减，()f x min ＝(0)1f =
由（2）知，()g x 在[e, 3]上递增，()g x min ＝()(1)a
g e e a e
=-+-
∴1(1)a
e a e
>-+-即221e e a e ->+又1a <
∴22(,1)1
e e
a e -∈+ …………………………….........12分
22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程 解：（1）由)4
(24π
θρ+
=Cos 得：θθρSin Cos 44-=,θρθρρSin Cos 442-=∴
即：0442
2=+-+y x y x ,∴C 的直角坐标方程为：()()8222
2
=++-y x ………4分
(2)设A,B 两点对应的 参数分别为21,t t ，直线t
t y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=22222和圆的 方程联立得：
,04222=-+t t 所以,4,222121-=-=+t t t t <0
所以,2
6
1111212121=
-=+=+t t t t t t PB PA ………………………………………….10分 23. （1）当1a =时，()22,1,
1414,
14,24, 4.x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪
=++--=-<<⎨⎪-≥⎩
………3分 ()min 4f x ∴= ………………4分
（2）()41f x a ≥
+对任意的实数x 恒成立⇔4
141x x a a ++--≥+对任意的实数x 恒成立 ⇔4
4a a
+≤ ……………………6分
当0a <时，上式成立； 当0a >
时，44a a +≥=
当且仅当4a a =
即2a =时上式取等号，此时4
4a a
+≤成立。

…………………9分 综上，实数a 的取值范围为(){},02-∞⋃ ……………………10分。