西安市高新第一中学数学代数式单元测试卷(解析版)

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）
1．从2012年4月1日起厦门市实行新的自来水收费阶梯水价，收费标准如下表所示：
②．以上表中的价格均不包括1元/吨的污水处理费
（1）某用户12月份用水量为20吨，则该用户12月份应缴水费是多少？
（2）若某用户的月用水量为m吨，请用含m的式子表示该用户月所缴水费．
【答案】（1）解：该用户12月份应缴水费是15×2.2+5×3.3+20=69.5（元）
（2）解：①m≤15吨时，所缴水费为2.2m元，
②15＜m≤25吨时，所缴水费为2.2×15+（m﹣15）×3.3=（3.3m﹣16.5）元，
③m＞25吨时，所缴水费为2.2×15+3.3×（25﹣15）+（m﹣25）×4.4=（4.4m﹣110）元．【解析】【分析】（1）该用户12月份应缴水费三两部分构成：不超过15吨的水费+超过15吨不超过25吨的9吨的水费+20吨的污水处理费，列代数式求解即可。

（2）分①m≤15吨,②15<m≤25吨,③m>25吨三种情况分别根据图表的收费标准列出代数式并计算即可得解。

2．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收贵的价目表如下（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
5m3和8m3，则应收水费分别是________元和________元.
（2）若该户居民3月份用水量am3（其中6＜a≤10），则应收水费多少元？（用含a的式子表示，并化简）
（3）若该户层民4、5两个月共用水14m3（5月份用水量超过4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的式子表示，并化简）
【答案】（1）10；20
（2）解：由依题意得：6×2+（a﹣6）×4＝4a﹣12（元）
答：应收水费（4a﹣12）元。

（3）解：当0＜x≤4时，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4×4+6（14﹣x﹣10）＝52
﹣4x；
当4＜x≤6，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4（14﹣x﹣6）＝﹣2x+44；
当6＜x＜7时，该户居民4、5两个月共缴水费＝12+4（x﹣6）+12+4（14﹣x﹣6）＝32.【解析】【解答】（1）解：该户居民1月份用水5m3，应缴水费＝5×2＝10（元）；
2月份用水8m3，应缴水费＝6×2+2×4＝20（元）；
故答案是：10；20
【分析】（1）①按照价目表可知，不超过6m3的用水量的水费=5×不超过6m3的用水量的价格计算即可求解；
②按照价目表可知，超过6m3的不超过10m3的用水量的水费=6×不超过5m3的用水量的价格+超过6m3的用水量×超过6m3的价格计算即可求解；
（2）由题意知，用水量属于第二档，按照（1）中②的方法可求解；
（3）结合（1）的方法，分类可求解.
3．温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地台，杭州厂可支援外地台．现在决定给武汉台，南昌台．每台机器的运费（单位：百元）如表．设杭州运往南昌的机器为台．
南昌武汉
温州厂
杭州厂
（1）用的代数式来表示总运费（单位：百元）．
（2）若总运费为元，则杭州运往南昌的机器应为多少台?
（3）试问有无可能使总运费是元?若有可能，请写出相应的调运方案；若无可能，请说明理由．
【答案】（1）解：设总费用为W百元，由杭州运往南昌x台，运往武汉(4-x)台，
温州运往南昌(6-x)台，运往武汉(4+x)台，根据题意得：
W=4(6-x)+8(4+x)+3x+5(4-x)=2x+76，
∴总运费为(2x+76)百元
（2）解：当W=8200元=82百元时，76+2x=82，解得x=3．
答：总运费为8200元，杭州运往南昌的机器应为3台
（3）解：当W=7400元=74百元时，
74=2x+76，解得：x=－1，
∵0≤x≤4，
∴x=－1不符合题意，
总运费不可能是7400元．
【解析】【分析】（1）设总费用为W百元，由杭州运往南昌x台，运往武汉(4-x)台，温州运往南昌(6-x)台，运往武汉(4+x)台，杭州运往南昌x台需要的运费为：3x百元，杭州运往武汉(4-x)台需要的运费为：5(4-x)百元，温州运往南昌(6-x)台需要的运费为4(6-x)百元，温州运往武汉(4+x)台需要的运费为：8(4+x)百元，根据总运费等于各条线路的运费之和即可列出W与x之间的函数关系式；
（2）把W=8200元=82百元代入（1）列的函数关系式即可算出x的值，从而得出答案；（3）把W=7400元=74百元代入（1）列的函数关系式即可算出x的值，根据x的取值范围进行检验即可得出结论。

4．小明是个爱动脑筋的同学，在发现教材中的用方框在月历中移动的规律后，突发奇想，将连续的偶数2，4，6，8，…，排成如表，并用一个十字形框架框住其中的五个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题：
（1）十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？
（2）设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和；
（3）若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，其他五个数的和能等于2016吗？如能，写出这五个数，如不能，说明理由．
【答案】（1）解：十字框中的五个数的和为6+14+16+18+26=80=16×5，∴十字框中的五个数的和为中间的数16的5倍
（2）解：设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10，∴十字框中的五个数的和为（x﹣10）+（x+10）+（x﹣2）+（x+2）+x=5x
（3）解：假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，根据题意得：5x=2016，解得：x=403.2．∵403.2不是整数，∴假设不成立，∴不能框住五个数，使它们的和等于2016．
【解析】【分析】（1）算出十字框中的五个数的和，即可发现是16的5倍；
（2）设中间的数为x，则另外四个数分别为x﹣10、x﹣2、x+2、x+10 ，利用整式加法法则即可算出十字框中的五个数的和；
（3）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x ，根据（2）计算的结果及这五个数的和是2016,，列出方程，求解如解是整数即可，不是整数即不可。

5．某公司派出甲车前往某地完成任务，此时，有一辆流动加油车与他同时出发，且在同一条公路上匀速行驶（速度保持不变）．为了确定汽车的位置，我们用OX表示这条公路，原点O为零千米路标，并作如下约定：速度为正，表示汽车向数轴的正方向行驶；速度为负，表示汽车向数轴的负方向行驶；速度为零，表示汽车静止．行程为正，表示汽车位于零千米的右侧；行程为负，表示汽车位于零千米的左侧；行程为零，表示汽车位于零千米
处．两车行程记录如表：
时间（h）057x
甲车位置（km）190﹣10
流动加油车位置（km）170270
（1）甲车开出7小时时的位置为________km，流动加油车出发位置为________km；
（2）当两车同时开出x小时时，甲车位置为________km，流动加油车位置为________km （用x的代数式表示）；
（3）甲车出发前由于未加油，汽车启动后司机才发现油箱内汽油仅够行驶3小时，问：甲车连续行驶3小时后，能否立刻获得流动加油车的帮助？请说明理由．
【答案】（1）-90；-80
（2）190﹣40x；﹣80+50x
（3）解：当x=3时，甲车开出的位置是：190﹣40x=70（km），
流动加油车的位置是：﹣80+50x=70（km），
则甲车能立刻获得流动加油车的帮助
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：
甲车开出7小时时的位置为：190﹣7×（200÷5）=﹣90（km），
流动加油车出发位置为：270﹣（270﹣170）÷2×7=﹣80（km）；
故答案为：﹣90，﹣80；
⑵根据题意得：
当两车同时开出x小时时，甲车位置为：190﹣40x，
流动加油车位置为：﹣80+50x；
【分析】（1）根据题意可知甲车开出5小时时的位置为-10，得到甲车的速度是（190+10）÷5，求出甲车开出7小时时的位置；根据流动加油车出发5小时的位置是170和出发7小时的位置是270，得到流动加油车的速度是（270-170）÷2；求出流动加油车出发的位置；（2）根据题意当两车同时开出x小时时，甲车位置是190﹣40x，流动加油车位置是﹣80+50x；（3）根据题意当x=3时，甲车开出的位置是70km，流动加油车的位置是70km，得到甲车能立刻获得流动加油车的帮助.
6．某商场将进货价为40元的台灯以50元的销售价售出，平均每月能售出800个．市场调研表明：当销售价每上涨1元时，其销售量就将减少10个．若设每个台灯的销售价上涨元．
（1）试用含的代数式填空：
①涨价后，每个台灯的销售价为________元；
②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为________台；
③涨价后，商场每月销售台灯所获得总利润为________元．
（2）如果商场要想销售总利润平均每月达到20000元，商场经理甲说“在原售价每台50元的基础上再上涨40元，可以完成任务”，商场经理乙说“不用涨那么多，在原售价每台50元的基础上再上涨30元就可以了”，试判断经理甲与乙的说法是否正确，并说明理由．【答案】（1）；；
（2）解：甲与乙的说法均正确，理由如下：
依题意可得该商场台灯的月销售利润为：（600﹣10a）（10+a）；
当a=40时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×40）（10+40）=10000（元）；
当a=10时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×10）（10+10）=10000（元）；
故经理甲与乙的说法均正确
【解析】【解答】解：（1）①涨价后，每个台灯的销售价为50+a（元）；
②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为800-10a（元）；
③涨价后，商场的台灯台每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 − 10 a )；
故答案为：50+a，800-10a，( 10 + a ) ( 800 − 10 a )．
【分析】（1）根据题意由每个台灯的销售价上涨a元，得到每个台灯的销售价为50+a；商场的台灯平均每月的销售量为800-10a；商场每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 − 10 a )；（2）根据题意商场每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 − 10 a )，把a=40时和a=10时代入，求出月销售利润的值，判断即可.
7．已知点A、B、C在数轴上对应的实数分别为a、b、c，满足（b+5）2+|a﹣8|=0，点P 位于该数轴上．
（1）求出a，b的值，并求A、B两点间的距离；
（2）设点C与点A的距离为25个单位长度，且|ac|=﹣ac．若PB=2PC，求点P在数轴上对应的实数；
（3）若点P从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…（以此类推）．则点p 能移动到与点A或点B重合的位置吗？若能，请探究需要移动多少次重合？若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：依题意，b+5=0，a﹣8=0，
所以，a=8，b=﹣5，
则AB=8﹣（﹣5）=13
（2）解：点C与点A的距离是25个单位长度，所以A点有可能是﹣17，33，
因为|ac|=﹣ac，所以点A点C所表示的数异号，所以点C表示﹣17；
设点P在数轴上对应的实数为x，
∵PB=2PC，
∴|x+5|=2|x+17|，
∴x+5=2（x+17），或x+5=﹣2（x+17），
解得x=﹣29或﹣13，
即点P在数轴上对应的实数为﹣29或﹣13
（3）解：记向右移动为正，则向左为负．
第一次点P对应的实数为﹣1，第二次点P对应的实数为2，第三次点P对应的实数为﹣3，第四次点P对应的实数为4，
…
则第n次点P对应的实数为（﹣1）n•n，
∵点A在数轴上对应的实数为8，点B在数轴上对应的实数为﹣5，
∴点P移动8次到达点A，移动5次到达B点
【解析】【分析】（1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得a、b的值，根据两点间的距离，可得答案；（2）根据根据两点间的距离公式，可得答案；（3）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案．
8．如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案.
（1）第1个图案中有6根小棒；第2个图案中有________根小棒；第3个图案中有________根小棒；
（2）第n个图案中有多少根小棒？
（3）第25个图案中有多少根小棒？
（4）是否存在某个符合上述规律的图案，由2032根小棒摆成？如果有，指出是滴几个图案；如果没有，请说明理由.
【答案】（1）11；16
（2）解：由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2-1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3-2=16根小棒，…，因此第n个图案中有5n+n-（n-1）=5n+1根（3）解：令n=25，得出，故第25个图案中有126根小棒
（4）解：令，得出n=406.2，不是整数，故不存在符合上述规律的图案，由2032根小棒摆成
【解析】【解答】（1）第2个图案中有11根小棒；第3个图案中有16根小棒；
【分析】（1）（2）由图可知：第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2-1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3-2=16根小棒，…由此得出第n个图案中有5n+n-（n-1）=5n+1根小棒；（3）把数据代入（2）中的规律求得答案即可；（4）利用（2）中的规律建立方程求得答案即可.
9．观察下列等式:
31－30=2×30,
32－31=2×31,
33－32=2×32,
（1）试写出第个等式，并说明第个等式成立的理由;
（2）计算30+31+32+…+32018+32019的值.
【答案】（1）根据题意得第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1，
证明如下：3n-3n-1=3×3n-1-3n-1=2×3n-1，所以成立；
（2）31－30=2×30,
32－31=2×31,
33－32=2×32,
…
32019-32018=2×32018
32020-32019=2×32019
将这些等式相加
得(31－30)+(32－31)+(33－32)+…+(32019-32018)+(32020-32019)=2×(30+31+32+…+32018+32019)
故32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019)
∴30+31+32+…+32018+32019=
【解析】【分析】（1）通过观察即可发现：等式的左边是一个减法算式，被减数的底数是3，指数与等式的序号一致，减数的底数也是3，指数比等式的序号小1；等式的右边是一个乘法算式，一个因数是2 ，另一个因数与左边的减数一致，利用发现的规律即可得出通用公式：第n个等式为3n-3n-1=2×3n-1；
（2）利用（1）发现的规律得出 31－30=2×30,32－31=2×31,33－32=2×32,…32019-32018=2×32018，32020-32019=2×32019根据等式的性质，将这些等式直接相加，得出32020-30=2×(30+31+32+…+32018+32019) ，从而根据等式的性质即可得出答案。

10．如图：在数轴上A点表示数，B点示数，C点表示数c,b是最小的正整数，
且a、b满足|a+2|+ （c－7）2=0．
（1）a=________，b=________，c=________；
（2）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数________表示的点重合；
（3）点A．B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB，点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C 之间的距离表示为BC．
则AB=________，AC=________，BC=________．（用含t的代数式表示）
（4）请问：3BC－2AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）-2；1；7
（2）4
（3）3t+3；5t+9；2t+6
（4）解：不变．
3BC-2AB=3（2t+6）-2（3t+3）=12
【解析】【解答】解：（1）∵|a+2|+（c-7）2=0，
∴a+2=0，c-7=0，
解得a=-2，c=7，
∵b是最小的正整数，
∴b=1；
故答案为：-2，1，7．
（ 2 ）（7+2）÷2=4.5，
对称点为7-4.5=2.5，2.5+（2.5-1）=4；
故答案为：4．
（ 3 ）AB=t+2t+3=3t+3，AC=t+4t+9=5t+9，BC=2t+6；
故答案为：3t+3，5t+9，2t+6．
【分析】（1）根据绝对值的非负性，偶次幂的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个数都为0，列出方程组a+2=0，c-7=0，求解得出a,c的值，再根据最小的正整数是1，得出b的值；
（2）根据（1）可知A、C两点间的距离为2+7=9，根据折叠的性质得出折迹处到A、C两点的距离是（7+2）÷2=4.5，折叠处表示的数是7-4.5=2.5，B点距离折叠处的距离是 2.5-1=1.5，根据对称的性质即可得出与点B重合的点所表示的数是2.5+1.5=4；
（3）根据路程等于速度乘以时间得出：A点运动的路程为t，B点运动的路程为2t，C点运动的路程为4t，由AB=A点运动的路程加上B点运动的路程再加上一开始AB两点间的距离得出AB=t+2t+3=3t+3，由AC=A点运动的路程加上C点运动的路程再加上一开始AC两点间的距离得出AC=t+4t+9=5t+9，由BC=C点运动的路程减去B点运动的路程再加上一开始BC两点间的距离得出BC=4t-2t+6=2t+6；
（4）将（3）中得出的BC,AB的长度分别代入3BC-2AB ，即可列出一个整式的加减法算式，再去括号合并同类项后发现是一个常数，于是得出 3BC-2AB 的值与字母t无关。

11．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按月份结算）：
（1）填空：若某户居民2月份用水4立方米，则应收水费________元；
（2）若该户居民3月份用水a立方米（其中6<a<10），则应收水费________元；（用含a 的代数式表示，并化简）
（3）若该户居民4、5两个月共用水15立方米（5月份用水量超过了4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的代数式表示，并化简）
【答案】（1）8
（2）4a-12
（3）解：当0<x<5时，则15-x>10，
应收水费为：2x+2×6+4×4+（15-x-10）×8=-6x+68（元）；
当5≤x<6时，则9≤15-x≤10，
应收水费为：2x+2×6+(15-x-6)×4=-2x+48（元）；
当6≤x，则6<x<15-x<9，
应收水费为：2×6+（x-6）×4+2×6+（15-x-6）×4=36（元）。

【解析】【解答】解：（1）4×2=8（元）；
故答案为：8.
（2）因为6<a<10，
所以应收水费为：6×2+（a-6）×4=12+4a-24=4a-12（元）
故答案为：4a-12。

【分析】（1）水量不超过6立方米，故每立方米按2元/立方米；（2）因为6<a<10 ，所以a中6立方米水费按2元/立方米，(a-6)立方米水费按4元/立方米计算；（3）需要分类讨论x的取值范围，对15-x的取值范围的影响。

分别假设0<x<5，5≤x<6，6≤x时，再判别15-x的取值范围，并用x分别表示出4月和5月的水费，并求它们的和。

12．如图
设a1=22－02， a2=32－12，…，a n=(n+1)2－(n－1)2（n为大于1的整数）
（1）计算a15的值；
（2）通过拼图你发现前三个图形的面积之和与第四个正方形的面积之间有什么关系：
________（用含a、b的式子表示）；
（3）根据(2)中结论，探究a n=(n+1)2－(n－1)2是否为4的倍数．
【答案】（1）解：a15=162－142=256－196=60
（2）(a+b)2=a2+2ab+b2
（3）解：a n=(n+1)2－(n－1)2 =(n2+2n+1)－(n2－2n+1) =n2+2n+1－n2+2n－1=4n 是4的倍数.
【解析】【分析】（1）把n=15代入计算；
（2）通过观察可以得到前三个图形的面积与第四个图形面积之间的关系，从而可以用式子进行表示；
（3）利用（2）的关系式展开，合并同类项后可判断.。