4-泊松过程

定义4.1.2
P{N (t1 ) N (0) k1}gP{N (t2 ) N (t1 ) k2 k1}gL gP{N (tn ) N (tn 1 ) kn kn 1}
[ (t t )]kn kn1 e (tn tn1 ) (t ) k1 e t1 [ (t2 t1 )]k2 k1 e (t2 t1 ) 1 g gL g n n1 k1 ! (k2 k1 )! (kn kn1 )!
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第四章 泊松过程
§4.1 泊松过程概念
§4.2 随机质点的到达时间与 时间间隔 §4.3 复合泊松过程与非平稳 泊松过程
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本章基本要求
了解泊松过程的概念，掌握泊松过程的
一维分布、增量的分布，及数字特征， 了解其一维特征函数; 会用定义2证明泊松过程;
掌握随机质点的到达时间及时间间隔分

k e t t1k (t2 t1 ) k k gL g(tn tn 1 ) k
n n 1 2 1
n k n1
k1 !g(k2 k1 )!g L g(kn kn 1 )!
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2! 1 t o(t )
二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则 1. 均值函数 mN (t ) E ( N (t )) t
（2）对于任意两个时刻 0 t1 t 2，应有N (t1 ) N (t 2 )； （3）对于任意两个时刻0 t1 t 2，增量 N (t1 , t 2 )
N (t 2 ) N (t1 )等于在时间间隔 [ t1 , t 2 )内出现或
到达的随机质点个数。
5
则称随机过程 {N (t ), t 0} 为一计数过程。
4. 自相关函数
RN (t1 , t2 ) E ( N (t1 ) N (t2 )) min(t1, t2 ) 2t1t2
5. 自协方差函数 CN (t1 , t2 ) min(t1 , t2 )
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[例2] 设粒子按平均率为4个/分钟的泊松过程到达 某计数器，N (t ) 表示在[0,t)内到达计数器的粒子
(2) P ( N (5) N (3) k ) P ( N (2) k ) ...
(2) E ( N (60)) 60 60 0.5 30
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[例4] 设顾客依泊松过程到达某商店，平均每小时
到达4人。已知商店上午9：00开门，试求： 至9：30仅到一位顾客而11：30时总计已到达5位 顾客的概率。
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随机质点流：质点（或事件）陆续地随机到达 （或随机发生），则形成一个随机质点流．
例如：商店接待的顾客流、 等车的乘客流、 数字通信中已编码信号的误码流、 经过中国上空的流星流、 放射性物质所放射出的粒子流、 要求在机场降落的飞机流，等等。
随机质点流的强度：通常称单位时间内平均 出现的质点的个数为随机质点流的强度，记 为 ．
2 的泊松过程数值模拟
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25
20
则计数过程{N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程。
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注:(4)中实际上假设了在足够小的时间间隔 内出现一个质点的概率与时间间隔成正比，而 出现质点数不少于2的概率是关于时间间隔的 高阶无穷小——这一般是与实际情况相吻合的。
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5
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0
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2 2 3. 均方值函数 2 N (t ) E[ N (t )] t (t )
6. 一维特征函数
N (t , ) N (t ) ( ) E (ei N (t ) )
ei k
k 0
i (t ) k t (tei ) k t tei t e e e e et ( e 1) k! k! k 0
2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
2 2 3. 均方值函数 2 N (t ) E[ N (t )] t (t )
增量独立
t 1 ( t 2 t 1 ) t1 2 t 1 2
4. 自相关函数
2 t1 t 2 t 1
子个数的概率分布。
解 以分钟为单位。 N ( t ) : (4t ) (1)m N ( t ) DN ( t ) 4t ,
RN ( t1 , t 2 ) 16t1t 2 4min( t1 , t 2 ), C N ( t1 , t 2 ) 4min( t1 , t 2 ),
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[定义4.1.1]（泊松过程的定义1）
设 {N (t ), t T [0, )}为一计数过程，若满足条件 增量 （1） N (0) 0 ； 零初值性 平稳 （2）对任意的 s t 0, t 0，增量 N ( s t ) 性或 齐次 N (t t ) 与 N ( s) N (t ) 具有相同的分布函数； 性 （3）对任意的正整数 n ，任意的非负实数 0 t0 t1 L tn ，增量 N (t1 ) N (t0 ), N (t2 ) N (t1 ), L , N (tn ) N (tn 1 ) 相互独立； 增量独立性 （4）对于足够小的时间 t ， P( N (t ) 1) t o(t ), P( N (t ) 0) 1 t o(t ) P( N (t ) 2) o(t ), （ 0 是常数） 则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。 7
2 1
( t ) t P ( N (t ) k ) e , k 0,1, 2,L k!
则称{N (t ), t T [0, )}是强度为 的泊松过程。
k!
试利用定理1说明上述两个泊松过程定义 的等价性。
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• 泊松过程的n维分布如下: 对 0 t1 t2 L tn ， P{N (t1 ) k1 , N (t2 ) k2 ,L , N (tn ) kn }
个数，试求： （1）N (t ) 的均值、方差、自相关函数和自协方差 函数； （2）在第3分钟至第5分钟之间到达计数器的粒
[例3] 设到达某汽车站的乘客数为一泊松过程，平
均每10分钟到达5位乘客，试求： （1）在20分钟之内到达汽车站至少有2位乘客的
概率；
（2）60分钟内平均到达车站的乘客数。
解 设N(t)为[0,t)内到达的乘客数，则N(t)为泊松过程。 5 以分钟为单位。 N ( t ) : (0.5t ) 10 (1) P ( N (20) 2) 1 P ( N (20) 0) P ( N (20) 1) ...
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（4）在足够小的时间间隔 t 内，
P(t时间间隔内无呼叫) P( N (t ) 0) 1 t o(t ) P(t时间间隔内有一呼叫) P( N (t ) 1) t o(t ) P(t时间间隔内收到2次以上呼叫) P( N (t ) 2) o(t )
利用定理1， P( N (t1 , t2 ) k ) P( N (t2 t1 ) k )
[ (t2 t1 )]k ( t2 t1 ) e , k 0,1, 2,L k!
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[定义4.1.2]（泊松过程的定义2）
设 {N (t ), t T [0, )}为一计数过程，若满足条件 （1） N (0) 0 ； 零初值性 增量独立性 （2）N (t ) 是独立增量过程； （3）对任意的 t1 t2 [0, )，对应的增量 N (t1 , t2 ) 增量平 N (t2 ) N (t1 ) 服从参数为 (t2 t1 )的泊松分布，即 稳性或 k 齐次性 P ( N (t , t ) k ) [ (t2 t1 )] e ( t t ) , k 0,1, 2,L （ 0 ） 1 2
一、泊松（Poisson）过程的定义 对于一随机质点流，令N (t ) 表示在时间段 [0, t ), t 0 内随机质点出现（或到达）的个数， 则 { N (t ), t T [0, )}是一随机过程。 [计数过程]若随机过程 {N (t ), t 0}满足如下条件： （1） N (t ) 0，并取非负整数值；
[例1] 设 N (t ) 为[0,t)时段内某电话交换台收到的
呼叫次数， t [0, )，N (t ) 的状态空间为 {0,1, 2,L }， 且具有如下性质： （1）N (0) 0，即初始时刻未收到任何呼叫；
（2）在[t,s)这段时间内收到的呼叫次数只与 时间间隔s-t有关，而与时间起点t无关； （3）在任意多个不相重叠的时间间隔内收到 的呼叫次数相互独立；
2 若t1 t 2， RN ( t1 , t 2 ) N ( t ) t ( t )2
若t1 t 2， RN ( t1 , t 2 ) E ( N ( t1 ) N ( t 2 ))
E[( N ( t1 ) 0)( N ( t 2 ) N ( t1 )) E ( N ( t1 )2 )
若t1 t 2， RN ( t1 , t 2 ) 2 t1 t 2 t 2 同理，
2 综上， RN ( t1 , t 2 ) t1t 2 min(t1 , t 2 )
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二、泊松过程的数字特征与一维特征函数
设 {N (t ), t 0} 是强度为 的泊松过程，则 1. 均值函数 mN (t ) E ( N (t )) t 2. 方差函数 DN (t ) D( N (t )) t
布;
2
§4.1 泊松过程概念
了解复合泊松过程及其特征函数，会求 其均值函数、方差函数; 了解非齐次泊松过程概念，会求其均值
和方差函数;
本章不要求的内容：§4.1中泊松过程 的叠加与分解、§4.3中更新过程。
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泊松过程是研究随机质点流的 计数性质的基本数学模型之一， 是一类重要的随机过程。在通信 工程、服务行业、生物学、物理 学、公用事业等领域的许多问题 都可以用泊松过程来描述。如： 商店接待的顾客流，数字通信中 已编码信号的误码流等。
P{N (t1 ) N (0) k1 , N (t2 ) N (t1 ) k2 k1 ,L , N (tn ) N (tn1 ) kn kn 1}
定理1 (3)中令t1 0, t2 t [t ]1 t e P( N (t ) 1) 1! t t e 2 t L t 1 t 2! t o(t ) 0 [t ] t P( N (t ) 0) e 0! 2 13 t L 1 t
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[定理1]设 {N (t ), t T [0, )}是一强度为 的泊 松过程，则对任意固定的 t 0，N (t ) 服从泊松 一维分布 分布 (t ) ，即 k
证明：略。 注：该定理指明了泊松过程的一维分布，即， 在每个固定时刻t，N(t)服从泊松分布。 下面考察增量N (t1 , t2 ) N (t2 ) N (t1 ), 0 t1 t2 的分布： N (t2 ) N (t1 )与N (t2 t1 ) N (0)同分布， 由增量平稳性，