第四章中值定理与导数应用

第四章 中值定理与导数应用
一、填空
1、)4()3()2()1(f f f f ===，)(x f 在[1,2] ，[2,3] ，[3,4] 上均满足罗尔定理条件，所以在每个开区间内都存在且仅存在一点i ξ使得0)(='i f ξ，即方程0)(='x f 在每个区间内都有且仅有一个根，共有3个根。

2、3
4)(x x f ='，151
212)(4
4=--='ξf ，即1543=ξ，3415=ξ
3、因为)(x F 在0=x 处连续，所以有)(lim )0(0
x F F x →=即)(lim 0
x F A x →=
4、3ln ,13
ln 3ln 3lim 13lim
00====-→→a a
a ax x x x x 5、0232
=+='p x y ，将驻点1±=x 代入得2
3
-=p 6、令2
2)1(2
)1()1()1(+=+--+=
'x x x x y 函数在[0,4]内无驻点和不可导点，
1|0-==x y ，5
3
|4=
=x y ，函数在[0,4]上的最小值是1min -=y 7、令01
34)1()1(32)(32231
2=-='-⋅-='-x x
x x x f ，得驻点01=x ，
函数有不可导点13,2±=x ， 1)0(=f ，0)1()1(==-f f 函数在[-1,1]上的最大值是1，最小值是0 8、∞=-→x
x e 11
lim
0，铅垂渐近线为0=x ；
111lim =--∞→x x e ，011
lim =-+∞→x
x e ， 水平渐近线是0=y 和1=y
9、由于函数只有一条水平渐近线1=y 且∞=+∞
→)(lim x f x ，所以1)(lim =-∞
→x f x 10、2
arctan lim lim ,2arctan lim lim
21π
π-====⋅==-∞→-∞→+∞→+∞
→x x x x y a x x x x y a x x x x
斜渐近线为2条，分别为12
-=x y π
和12
--
=x y π
11
、
0)()
()()()(lim )()(2)(lim 020=''=----
-+=-+-+→→a f h
h a f h a f h a f h a f h h a f a f h a f h h 12、0)(6|),
(6212
=-=''-=''=b a a y b ax a y x ，a 与b 的关系为0≠=b a
13、a x x f b ax x x f 26)(,
23)(2
+=''++='
二、选择题
1、A ，B 不满足第三个条件，C 不满足第二个条件，选D
2)(x f 在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，在(a,b)内至少存在一点ξ使得
a
b a f b f f --=
')
()()(ξ成立，0)(,0,0)()(>'∴>->-ξf a b a f b f 选B
3、)(x f 在[1,3]上满足拉格朗日中值定理条件，在(1,3)内至少存在一点ξ使得
2113)1()3()(-=
--=
'f f f ξ成立，由导数的几何意义知曲线在ξ点的切线与x y 2
1
-=平行。

选D
4、设0)()()(),
()()(>'-'='-=x g x f x F x g x f x F ，)(x F 在),0[+∞是单调增加函
数，0)0()(=>F x F ，即0)()(>-x g x f ，)()(x g x f >， 选B
5、e e e e e
x f f f x f x f x x f x
x f x x
x x x =====''→→→→)
0()0()()
(1
lim
)(ln lim
)(ln 0
10
00lim )]([lim ，选C
6、选D
7、因为)(x f 是偶函数，所以)(x f '是奇函数，其图像关于原点对称，在)0,(-∞内因为
0)(,0)(<''>'x f x f ，由)(x f '图像的对称性得在),0(+∞内,0)(<'x f 且单调减少0)(<''x f ， 选C
8、因为)(x f 二次可导，0x 是拐点那么说明0x 点的左右两侧)(x f ''异号，)(x f '在0x 点的左右两侧单调性相异，而)(0x f '存在，所以)(0x f '一定是函数)(x f '的极值。

选A 9、观察1)(lim
-=-'→a x x f a
x ，当a x →时分母0→-a x ，而1)
(lim -=-'→a
x x f a x 说明a x →时
0)(lim ='→x f a
x ，即有0)(='a f ，a x =是函数)(x f 的一个驻点；
1)()
()(lim )(lim
-=''=-'-'=-'→→a f a
x a f x f a x x f a x a
x ，所以)(x f 在a x =取极大值。

选A 10、因为)(x f 是偶函数且有连续的二阶导数，由图像的对称性知0)0(='f ，而0)0(≠''f 所以函数)(x f 在0=x 处取极值。

选B
11、3
4
)2(31--='x y ， 37
)2(9
4--=''x y ；在),2(+∞内0,0<''>'y y ， 选D
12、2122lim 1lim )
1()1)(1(lim
20220220-=-=--=-+-→→→x e x x e x x x e x
x x x x x 函数有1条铅垂渐近线1=x 选C 13、,1
lim
,
1
lim
2
1
2
1
∞=-∞=--→→x x x x x x ,11
lim
,
11
lim
2
2
-=-=--∞
→+∞
→x x x x x x
01
1
lim lim
2=-==∞→∞
→x x y a x x ， 由上分析得函数铅垂渐近线：1,
1-==x x ，水平渐近线：1,
1-==y y ，选A
14、0)2(lim 12
=+-→x
x e x ，所以A 不正确；∞=++
→x
x e x 10
)2(lim ，0=x 是一条铅垂渐近线 函数无水平渐近线；1)2(lim
1
=+=∞→x
e
x a x
x ，
函数有倾斜渐近线：3+=x y ， 选C
15、1|0===c y x ，b ax y bx ax y 26,
232
+=''+='，因为(0,1)是函数的拐点，所以有
0,02|0===''=b b y x ；当a =0时函数变为y = 1,显然不合题意。

选A
16、由0)(,0)(0<'''=''x f x f 得导函数)(x f '在点0x 取得极大值，因而在0x 的左侧
0)(>''x f ，在0x 的右侧0)(<''x f ，也即在0x 的左侧函数图形上凹，在0x 的右侧函数图
形下凹〔凸〕。

选B。