人教高中数学必修一A版《任意角和弧度制》三角函数说课教学课件复习(第2课时弧度制)

XX
[解] 30°＝π6 rad,150°＝56π rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是
βπ6＋kπ＜β＜56π＋kπ，k∈Z
.
栏目导航
弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
1．用公式|α|＝rl求圆心角时，应注意什么问题？ XX
的，与半径大小无关．
栏目导航
3．角度制与弧度制的换算
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
π 180
(1π80)°
栏目导航
4．一些特殊角与弧度数的对应关系
度 0° 30° 45° _6_0_° _9_0_° 120° 135° 150° _1_8_0_° _2_7_0_° 360°
1关键：抓住互化公式 π rad＝180°是关键；
2方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×1π80°＝度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
栏目导航
1．(1)将－157°30′
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
化成弧度为________．
α，β，γ，θ，φ 的大小．
栏目导航
(1)①5πradXX
XX
XX
XX
XX
XX
8 XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
②－75°
[(1)①因为1°＝1π80rad，
所以112°30′＝1π80×112.5 rad＝58πrad.
②因为1 rad＝1π80°， 所以－51π2rad＝－51π2×1π80°＝－75°.]
XX
提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大
小，又要注意其正负． 2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以
“度”为单位，需注意什么问题？ 提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再
计算，否则结果易出错．
栏目导航
【例3】 (1)如图所示，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
________．(用弧XXXXXXXX 度表示)
25π，152π [因为终边与72°角相同的角 为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝25π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝152π rad，
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25
半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数
XX
XX
XX
XX
XX
XX
大小为________． XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
(2)已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心 角的弧度数．
栏目导航
XX
XX
XX
(2)将－115π rad化为度
是________．
(1)－78π rad (2)－396° [(1)－ 157°30′＝－157.5°＝－3215×1π80 rad＝ －78π rad.
(2)－115π rad＝－115π×1π80°＝ －396°.]
栏目导航
2．在[0,4π]中，与72°
角终边相同的角有
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
即与角 α 终边相同的角可以表示成 α 加上 2π 的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤：
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
(2)扇形面积公式：S＝
1 2lR
＝12αR2.
栏目导航
1．下列转化结果错误的是( )
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
A．60°化成弧度是π3 XX
XX
rad
B．－130π rad 化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－76π rad
D.1π2 rad 化成度是 15°
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
探
究
提素养
栏目导航
【例 1】
角度与弧度的互化与应用
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
(1)①将 112°30′化为弧度为________．
②将－51π2rad 化为角度为________．
(2)已知 α＝15°，β＝1π0 rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝712π rad，试比较
栏目导航
C
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
[对于A,60°＝60×1π80 rad＝π3 rad；对于B，－130π rad＝－130 XX
XX
×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×1π80 rad＝－56π rad；对于D，
π 12
rad＝112×180°＝15°.故选C.]
栏目导航
2.296π是( )
A．第一象限角 XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
B [296π＝4π＋56π.∵56π是第二 象限角，∴296π是第二象限角．]
β＝1π0 rad＝1π0×1π80°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°， φ＝71π2×1π80°＝105°. 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.
故α＜β＜γ＜θ＝φ.
栏目导航
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
角度制与弧度制互化的关键与方法
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ
＋π6，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋π2，k∈Z，从而终边落在阴影
部分内的角的集合为θkπ＋6π<θ<kπ＋π2，k∈Z
.
栏目导航
1．弧度制下与角 α 终边相同的角的表示：
在弧度制下，与角 α 的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}， XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
[思路点拨]XX XX
XX XX
XX
XX
(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求
∠EAD的弧度数．
(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和
半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．
栏目导航
(1)2－π2
XX
XX
XX
栏目导航
2．弧度数的计算
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
正数 负数 0
l r
栏目导航
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
思考：比值l与所取的圆的半径大小是否有关？ XX
XX
r
提示：一定大小的圆心角 α 所对应的弧长与半径的比值是唯一确定
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
[设AB＝1，∠EAD＝α，∵S ＝S ， XXXX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
扇形ADE
阴影BCD
由题意可得12×12×α＝12－π×4 12，
∴解得α＝2－π2.]
栏目导航
(2)设扇形的弧长为l，半径为r，
2r＋l＝60，
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
栏目导航
(2)法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×1π80 rad＝1π2 rad，θ＝105°＝105×1π80 rad＝172π rad.
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
显然1π2＜1π0＜1＜71π2.故α＜β＜γ＜θ＝φ. XX
XX
法二(化为角度)：
栏目导航
(1)D [因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
π XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
所以角α的集合是αα＝4＋kπ，k∈Z XX
XX
.]
(2)[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝76π rad，
素养．
的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊
2．借助弧度制与角度制的
角的弧度数．(重点、难点)
换算，提升学生的数学运
3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联
算素养.
系．(易错点)
栏目导航
自
XX XX XX XX XX XX XX XX
主 XX
XX XX XX XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
π，152π.]
栏目导航
用弧度数表示角
【例 2】 (1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角 α 的集合是(
A.π4
XX

XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
B.π4，54π
C.αα＝4π＋2kπ，k∈Z
D.αα＝4π＋kπ，k∈Z
)
栏目导航
rad.]
栏目导航
4．半径为 2，圆心角为π6的扇形
π 3
的面积是________． XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
π3.]
[由已知得S扇＝12×π6×22＝
栏目导航
合
XX XX XX XX XX XX XX XX
作 XX
XX XX XX XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
弧 度
_0__
XX XX
XX XX
πXX XX
XX XX
XX
XX
_6__
π __4_
π 3
π 2
2π 3π 5π _3__ _4__ _6__
π
3π 2
_2_π_
5.扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为 R，弧长为 l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ αR .
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
第2课时 弧度制
XX
学习目标
核心素养
1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一
一对应关系．
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
1.通过对弧度制概念的学
习，培养学生的数学抽象
2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度
B．k·360°＋94π(k∈Z)
315°也与 45°终边相同．故选 C.]
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋54π(k∈Z)
栏目导航
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX XX
XX
XX
XX
预
习
探新知
栏目导航
1．度量角的两种单位制
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX XX
XX XX
(1)角度制：XX XX
XX XX
XX
XX
①定义：用度作为单位来度量角的单位制． 1
②1 度的角：周角的_3_6_0_.
(2)弧度制：
①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．
②1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角 θ 的集
合．
XX
XX
XX
XX
XX
XX