2016-2017学年北师大版高中数学选修1-1检测：第三章

第三章 §4
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知函数f (x )＝x e x 则f ′(2)等于( )
A ．3e 2
B ．2e 2
C ．e 2
D ．2ln 2
解析： f ′(x )＝(x )′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ，
∴f ′(2)＝e 2＋2e 2＝3e 2，故选A.
答案： A
2．设f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )
A.193 B ．163
C.133 D ．103
解析： f ′(x )＝3ax 2＋6x ，f ′(－1)＝3a －6＝4，
所以a ＝103.
答案： D
3．若f (x )＝－2e x sin x ，则f ′(x )等于( )
A ．－2e x cos x
B ．－2e x sin x
C ．2e x sin x
D ．－2e x (sin x ＋cos x )
解析： y ′＝－2(e x sin x )′＝－2[(e x )′sin x ＋e x (sin x )′]
＝－2[e x sin x ＋e x cos x ]＝－2e x (sin x ＋cos x )．
答案： D
4．已知f (x )＝x 2＋2x ·2f ′(1)，则f ′(0)等于( )
A ．0
B ．－2
C ．－4
D ．－6
解析： f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，
∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，
∴f ′(1)＝－2，故得f ′(x )＝2x －4.
∴f ′(0)＝－4.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．若函数f (x )＝x －sin x 2cos x 2
的导数为g (x )，则函数g (x )的最小值为________． 解析： 由于f ′(x )＝(x －sin x 2cos x 2
)′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′ ＝x ′－⎝⎛⎭⎫12sin x ′＝1－12
cos x ， 所以g (x )＝1－12
cos x ， 故函数g (x )的最小值等于12
. 答案： 12
6．曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．
解析： ∵f ′(x )＝(x e x ＋2x ＋1)′＝e x ＋x e x ＋2，
∴f ′(0)＝3.
∴函数f (x )在点(0,1)处的切线方程为y －1＝3x ，
即y ＝3x ＋1.
答案： y ＝3x ＋1
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．求下列函数的导数：
(1)y ＝x 2
sin x
； (2)y ＝x ＋3x 2＋3
； (3)y ＝x sin x －2cos x
. 解析： (1)y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′sin 2x ＝2x sin x －x 2cos x sin 2x
； (2)y ′＝1·(x 2＋3)－2x (x ＋3)(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2
； (3)y ′＝(x sin x )′－(2cos x
)′， ＝sin x ＋x cos x －(cos x )·2′－2(cos x )′cos 2x
＝sin x ＋x cos x －2sin x cos 2x
. 8．设定函数f (x )＝a 3
x 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式．
解析： 由f (x )＝a 3
x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ，
因为f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝016a ＋8b ＋c －36＝0(*)， 当a ＝3时，(*)式为⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＋c －6＝08b ＋c ＋12＝0， 解得b ＝－3，c ＝12，
又因为曲线y ＝f (x )过原点，所以d ＝0，
故f (x )＝x 3－3x 2＋12x . 尖子生题库☆☆☆
9．(10分)(1)设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，求f ′(0)；
(2)利用导数求和：S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －
1(x ≠0且x ≠1，n ∈N ＋)． 解析： (1)令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )，
则f (x )＝x ·g (x )，
∴f ′(x )＝x ′·g (x )＋x ·g ′(x )＝g (x )＋x ·g ′(x )，
∴f ′(0)＝g (0)＝1×2×3×4×…×n .
(2)∵x ＋x 2＋x 3＋…＋x n
＝x (1－x n )1－x (x ≠1且x ≠0)． 对上式两边求导，得：1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －
1 ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －x n ＋11－x ′＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋x －x n ＋1(1－x )2，
∴S n ＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nx n －1 ＝1－(n ＋1)x n ＋nx n ＋
1
(1－x )2.。