安徽省河历中学2011届高三上学期期中考试(数学文)

安徽省河历中学 2011届高三上学期期中考试
数学试题（文科）
一、选择题（每小题只有一个答案正确，每小题5分，共55分） 1．已知集合M={R
x x x y y ∈-+=,322},集合N={
3
2≤-y y }，则M =⋂N （ ）
A ．{4-≥y y }
B ．{
5
1≤≤-y y }
C ．{
1
4-≤≤-y y }
D ．φ
2、圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为 （ ） A ．22(2)1x y +-= B ．22(2)1x y ++=
C ．22(1)(3)1x y -+-=
D ．
22(3)1x y +-= 3．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝，事件B =｛抽到二等品｝，事件
C =｛抽到三等品｝，且已知 P （A ）= 0．65 ,P （B ）=0．2 ,P （C ）=0．1。

则事件“抽到的不是一等品”的概率为 （ ） A ．0．7 B ． 0．65 C ． 0．35
D ． 0．3 4．已知函数
(),(),()log (01)
x a a f x a g x x h x x a a ===≠且>，在同一直角坐标系中画出其
中两个函数在第一象限内的图像，其中正确的是 （ ）
A B C D 5．下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是 （ ）
A ．()x
f x e =
B ．3
()f x x =
C ．()ln f x x =
D ．()sin f x x =
6．设2
()3x f x x =-，则在下列区间中，使函数()f x 有零点的区间是 （ ）
A ．[0，1]
B ．[1，2]
C ．[-2，-1]
D ．[-1，0]
7．已知圆C ：1
)sin ()cos (22=-++θθy x ，那么直线l ：ax+by=0与圆的位置关系是（ ）
A ．相离或相切
B ．相交或相切
C ．一定相交
D ．不能确定
8．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 （ ）
O A
B
C D A1
B1
C1 D1 · A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂
C ．若，则l β⊥
D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
9．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号…，196－200号）．若第5组抽出的号码为23，则第8组抽出的号码应是 。

若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。

（ ） A ．37，20 B ．38，20 C ．37，21 D ．38，21
10．如图，已知球O 为棱长为1的正方体
1111
ABCD A B C D -的 内切球，则平面
1
ACD 截球
O 的截面面积为（ ）
A ．6π
B ．3π
C ．
D ．
11．把函数
3
()3f x x x =-的图像1C 向右平移u 个单位长度，再向下平移v 个单位长度后得到图像2
C ．若对任意的0u >，曲线
1
C 与
2
C 至多只有一个交点，则v 的最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
二、填空题（每小题5分，共25分） 12．直线
013=++y x 的倾斜角等于
13．如果执行下面的程序框图，那么输出的S = 14．一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、
左视图、俯视图的面积分别是1，
2，4， 则这个几何体的体积为___________________。

15．在圆x2＋y2－5x ＝0内，过点（25，23
） 有n 条长度成等差数列的弦， 最小弦为a1最大弦为an 若公差d ∈[61，31
]，那么n 的取值集合是 ．
16．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f （x ）=m （m ＜0）在区间[]8,8-上有四个不同的根1234
,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++=
三、解答题
17．（本题10分）求(
)
2
3
20
)3
1(027
.02
52lg 3.0lg 2
1
1000
lg 8lg 27lg
--
-⨯+-+
+-+的值
18．（本题12分）
随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高（单位: cm ）,获得身高数据的茎叶图如图。

（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; （2）计算甲班的样本方差
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率． 19．（本题12分）在如图所示的几何体中．EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ＝BD ＝2AE=2，M 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；
（Ⅱ）求多面体ABCDE 的体积
（Ⅲ）求直线DE 与平面EMC 所成角的正切值．
20．（本小题12分）
在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=．
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆
1
C 截得的弦长为l 的方程；
（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l
，它们分别与圆
1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求
所有满足条件的点P 的坐标。

21．（本题12分）设函数)x (f y =是定义在+R 上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对正数x 、y 都有)y (f )x (f )x y (f +=；（2）当1x >时，0)x (f <；（3）1)3(f -=。

则
（Ⅰ）求)1(f 和)
91(f 的值；
（Ⅱ）如果不等式2)x 2(f )x (f <-+成立，求x 的取值范围．
（Ⅲ）如果存在正数k ，使不等式2)x 2(f )kx (f <-+有解，求正数k 的取值范围．
22．（本题12分）已知函数
2
(),()2ln h x x x e x ϕ==（其中e 为自然对数） （1）求F （x ）=h （x ）()x ϕ-的极值。

（2）设
/()()()2a
G x h x x e ϕ=+⋅
（常数a>0），当x>1时，求函数G （x ）的单调区
间，并在极值存在处求极值。

参考答案
BACBD CBCBA B 12．150°
13．420 14．4/3
15．{4，5，6，7} 16． 8
17．解：∵原式2
lg )13(lg 21232lg 33lg 23+--
+=+1+
99100⨯12lg 23lg 32lg 63lg 3-+-+=+1+100
12lg 23lg )
12lg 23(lg 3-+-+=
+101=104
18．（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160179:之间，而乙班身高集中于170180: 之间。

因此乙班平均身高高于甲班;
（2）
158162163168168170171179179182
170
10x +++++++++=
=
甲班的样本方差为()()()()
2222
21[(158170)16217016317016817016817010-+-+-+-+-
()()()()()22222
170170171170179170179170182170]
+-+-+-+-+-＝57
（3）设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ； 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） （178, 176） （176，173）共10个基本事件，而事件A 含有4个基本事件；
()42
105P A ∴=
=
；
19．解:（I ）证明： AC BC =，M 是AB 的中点，∴ CM AB ⊥．
又 EA ⊥平面ABC ，∴CM EM ⊥． （4分） （II ）解：连结MD ，设AE a =，则2BD BC AC a ===，
在直角梯形EABD
中，AB =，M 是AB 的中点．
∴3DE a =
，EM =
，MD =． ∴DM EM ⊥． （6分）
CM ⊥平面EMD ，∴CM DM ⊥，
E
D
C
M
A
B
∴DM ⊥平面EMC ，
∴DEM ∠是直线DE 和平面EMC 所成的角． （8分）
在Rt EMD △
中，MD =
，EM =
，
tan MD
DEM EM ∠=
=
所以直线DE 与平面EMC 所成的角的正切值为2． （12分
20．（1）设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --=
由垂径定理，得：圆心
1
C 到直线l
的距离
1d ==，
1,
=
化简得：
27
2470,0,,24k k k or k +===-
求直线l 的方程为：
0y =或
7
(4)24y x =-
-，即
0y =或724280x y +-=
（2） 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l
、2l
的方程分别为：
1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：11
0,0
kx y n km x y n m k k -+-=--++=
因为直线1l
被圆
1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。

由垂
径定理，得：：圆心
1
C 到直线1l
与
2C 直线2l 的距离相等。

故有：41|5|
n m --++=
化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或
关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=⎧⎧⎨⎨
--=⎩
⎩m-n+8=0
或m+n-5=0
解之得：点P 坐标为313(,)22-或51
(,)
22-。

21．解：（Ⅰ）令1y x ==易得0)1(f =．而211)3(f )3(f )9(f -=--=+=
且0)1(f )91(f )9(f ==+，得2
)91
(f =．
（Ⅱ）设+∞<<<21x x 0，由条件（1）可得
)x x (
f )x (f )x (f 1212=-，因1x x 1
2
>，由（2）
知
0)x x (
f 1
2
<，所以)x (f )x (f 12<，即)x (f 在+R 上是递减的函数．
由条件（1）及（Ⅰ）的结果得：
)
91
(f )]x 2(x [f <-其中2x 0<<，由函数)x (f 在+R 上的递减性，可得：⎪⎩⎪
⎨⎧
<<>-2x 091)x 2(x ，由此解得x 的范围是)32
21,3221(+-．
（Ⅲ）同上理，不等式2)x 2(f )kx (f <-+可化为
91
)x 2(kx >
-且2x 0<<，
得
)x 2(x 91
k ->
，此不等式有解，等价于min )x 2(x 91k ⎥
⎦⎤⎢⎣⎡->，在2x 0<<的范围内，易
知1)x 2(x max =-，故91
k >
即为所求范围．
22．
解：（1）
2
()2ln F x x e x =- （x>0）
/2()2e F x x x ∴=-
=
当
时, /()F x <0, 此时F （x ）递减, 当
,
/()F x >0,此时F （x ）递增
当
,F （x ）取极小值为0
（2）可得
22()2e a G x x x e =+
⋅=2a
x x +
3/222()2()2a x a G x x x x -=-=,
当
,G （x ）递减，当
,G （x ）递增
x>1, ∴
≤1时，即a ≤2,G （x ）在（1，+∞）递增．，无极值。

若时，即a>2,G （x ）在（1
+∞））递增。

所以
x =。