位运算讲义

位运算由于位运算直接对内存数据进行操作，不需要转成十进制，因此处理速度非常快。

当然有人会说，这个快了有什么用，计算6 and 11没有什么实际意义啊。

这一系列的文章就将告诉你，位运算到底可以干什么，有些什么经典应用，以及如何用位运算优化你的程序。

Pascal和C中的位运算符号下面的a和b都是整数类型，则：C语言| Pascal语言-------+-------------a&b| a and ba|b| a or ba ^ b| a xor b~a| not aa << b| a shl ba >>b | a shr b注意C中的逻辑运算和位运算符号是不同的。

520|1314=1834，但520||1314=1，因为逻辑运算时520和1314都相当于True。

同样的，!a和~a也是有区别的。

各种位运算的使用=== 1. and运算===and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数and 1的结果就是取二进制的最末位。

这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数.相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。

0011111100（&或者and）----------------00100=== 2. or运算===or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。

如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

相同位只要一个为1即为1。

0011111100（|或者or）----------------11111=== 3. xor运算===异或的符号是⊕。

xor运算通常用于对二进制的特定一位进行取反操作，因为异或可以这样定义：0和1异或0都不变，异或1则取反。

xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即(a xor b) xor b = a。

xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。

1314520 xor 19880516 =20665500，我就把20665500告诉MM。

MM再次计算20665500xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。

相同位不同则为1，相同则为0。

0011111100（^或者xor）----------------11011运算结果x <- x # yy <- x @ yx <- x @ y执行了第一句后x变成了x #y。

那么第二句实质就是y <- x # y@ y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。

第三句中x实际上被赋值为(x # y) @ x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。

这三句话的结果是，x和y的位置互换了。

加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。

把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程(Pascal)。

procedure swap(vara,b:longint);begina:=a + b;b:=a - b;a:=a - b;end;好了，刚才不是说xor的逆运算是它本身吗？于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程：procedure swap(vara,b:longint);begina:=a xor b;b:=a xor b;a:=a xor b;end;注意：位运算版本的交换两数不适用于一个数的自我交换。

也就是说，如果上述程序的“b”改成“a”的话，其结果是变量a变成零。

因此，在使用快速排序时，由于涉及到一个数的自我交换，因此如果要在其中使用位运算版的交换两数的话，应该先判断。

具体的时间损耗在此略过。

=== 4. not运算===not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。

使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。

如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用00到$FFFF依次表示的。

下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。

vara:word;begina:=100;a:=not a;writeln(a);end.#include <stdio.h>int main(){unsigned short a=100;a = ~a;printf( "%d\n", a );return 0;}如果not的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

=== 5. shl运算===a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。

例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。

可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。

通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。

因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。

定义一些常量可能会用到shl运算。

你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。

很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. shr运算===和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。

我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。

想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。

最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

位运算的简单应用有时我们的程序需要一个规模不大的Hash表来记录状态。

比如，做数独时我们需要27个Hash表来统计每一行、每一列和每一个小九宫格里已经有哪些数了。

此时，我们可以用27个小于2^9的整数进行记录。

例如，一个只填了2和5的小九宫格就用数字18表示（二进制为000010010），而某一行的状态为511则表示这一行已经填满。

需要改变状态时我们不需要把这个数转成二进制修改后再转回去，而是直接进行位操作。

在搜索时，把状态表示成整数可以更好地进行判重等操作。

这道题是在搜索中使用位运算加速的经典例子。

以后我们会看到更多的例子。

下面列举了一些常见的二进制位的变换操作。

功能| 示例| 位运算----------------------+---------------------------+--------------------去掉最后一位| (101101->10110) | x shr 1在最后加一个0| (101101->1011010) | x shl 1在最后加一个1| (101101->1011011) | x shl 1+1把最后一位变成1| (101100->101101) | x or 1把最后一位变成0| (101101->101100) | x or 1-1最后一位取反| (101101->101100) | x xor 1把右数第k位变成1 | (101001->101101,k=3) | x or (1 shl (k-1))把右数第k位变成0 | (101101->101001,k=3) | x and not (1 shl (k-1))右数第k位取反| (101001->101101,k=3) | x xor (1 shl (k-1))取末三位| (1101101->101) | x and 7取末k位| (1101101->1101,k=5) | x and (1 shl k-1)取右数第k位| (1101101->1,k=4) | x shr (k-1) and 1把末k位变成1| (101001->101111,k=4) | x or (1 shl k-1)末k位取反| (101001->100110,k=4) | x xor (1 shl k-1)把右边连续的1变成0 | (100101111->100100000) | x and (x+1)把右起第一个0变成1 | (100101111->100111111) | x or (x+1)把右边连续的0变成1 | (11011000->11011111) | x or (x-1)取右边连续的1 | (100101111->1111) | (x xor (x+1)) shr 1去掉右起第一个1的左边| (100101000->1000) | x and (x xor (x-1))最后这一个在树状数组中会用到。

Pascal和C中的16进制表示Pascal中需要在16进制数前加$符号表示，C中需要在前面加0x来表示。

这个以后我们会经常用到。

整数类型的储存我们前面所说的位运算都没有涉及负数，都假设这些运算是在unsigned/word类型（只能表示正数的整型）上进行操作。

但计算机如何处理有正负符号的整数类型呢？下面两个程序都是考察16位整数的储存方式（只是语言不同）。

#include <stdio.h> int main(){short int a, b;a = 0x0000;b = 0x0001;printf( "%d %d ", a,b );a = 0xFFFE;b = 0xFFFF;printf( "%d %d ", a,b );a = 0x7FFF;b = 0x8000;printf( "%d %d\n",a, b );return 0;}两个程序的输出均为0 1 -2 -1 32767 -32768。

其中前两个数是内存值最小的时候，中间两个数则是内存值最大的时候，最后输出的两个数是正数与负数的分界处。

由此你可以清楚地看到计算机是如何储存一个整数的：计算机用00到$7FFF依次表示0到32767的数，剩下的$8000到$FFFF依次表示-32768到-1的数。

32位有符号整数的储存方式也是类似的。

稍加注意你会发现，二进制的第一位是用来表示正负号的，0表示正，1表示负。

这里有一个问题：0本来既不是正数，也不是负数，但它占用了00的位置，因此有符号的整数类型范围中正数个数比负数少一个。

对一个有符号的数进行not运算后，最高位的变化将导致正负颠倒，并且数的绝对值会差1。