高中数学人教A版选修4-5 4-2 用数学归纳法证明不等式

诱学·导入
材料：英国天文学家、数学家哈雷从小就爱好数学和天文.哈雷对天文学的最大贡献是对彗星的研究.他在观测了大彗星之后，又对24颗彗星的轨道进行了计算，他注意到1456年、1531年、1607年及1682年彗星运行轨道的相似性.他用不完全归纳法得出了下面一个特性.即1531年-1456年=75年，1607年-1531年=76年，1682年-1607年=75年.这表明，这三次彗星出现的间隔时间几乎相同，于是哈雷猜想，过去天文学家认为这三颗不同的彗星也许是同一颗彗星.就是说，它可能先后三次经过那里.它以76年为周期绕日运转.哈雷预言这颗彗星再次出现的时刻终于到来，1759年3月13日，这颗明亮的彗星，拖着长长的尾巴果然出现在天空之中.大家为了纪念哈雷的预言，称这颗彗星为“哈雷彗星”，哈雷受到全世界人们的尊敬.
问题：曾有些胆小的人（包括某些天文学家）认为哈雷彗星必将与地球相撞，地球的末日将到来，有个别人甚至胆小到为避免见到惨剧，事先自杀了.地球真的会与哈雷彗星相撞吗？
导入：数学归纳法看似极平常，蕴含的递推的思想却如奔腾河水一样扫荡整个自然数集.人类有了数学归纳法，便第一次拥有了征服无限的能力，这难道不是一种伟大的进步吗？在我们高中数学中，数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，以数列为背景的不等式证明题，因是与自然数n 相关的命题，我们很容易联想到用数学归纳法证明.
温故·知新
用数学归纳法证明不等式与已学的哪些知识和方法是息息相关的？
答：我们在前面学习证明不等式时，已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明不等式，还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中，有大量的关于自然数的不等式，如何证明它们呢？这就是我们学习本节的目的所在.
基础·巩固
1.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n≥3,n ∈N )第一步应验证（ ）
A..n=1
B..n=2
C..n=3
D..n=4
思路分析：由题意知n≥3，∴应验证n=3.
答案：C
2.用数学归纳法证明1+1
213121-+++n <n(n ∈N ,n>1)时，第一步即证明不等式__________成立.
思路分析：因为n ＞1，所以第一步n=2.
答案：1+21+3
1<2 3.用数学归纳法证明(1+
31)(1+51))(1+71)…(1+121-k )>212+k (k>1)，则当n=k+1时，左端应乘上__________，这个乘上去的代数式共有因子的个数是_________.
思路分析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是(1+
121+k )，最后一个是(1+121
1-+k )，共有2k -2k-1=2k-1项.
答案：(1+121+k )(1+3
21+k )…(1+1211-+k ) 2k-1 4.用数学归纳法证明n n n b a b a )2
(2+≥+（A.，B.是非负实数，n ∈N ）时，假设n=k 命题成立之后，证明n=k+1命题也成立的关键是__________.
思路分析：要想办法出现a k+1+b k+1，两边同乘以
2b a +，右边也出现了要求证的(2b a +)k+1. 答案：两边同乘以2
b a + 5.用数学归纳法证明2
121)1(13121222+->++++n n ，假设n=k 时，不等式成立之后，证明n=k+1时，应推证的目标不等式是_______________.
思路分析：把n=k 时的不等式中的k 换成k+1即可. 答案：3
121)2(1)1(131212222+->+++++k k k 综合·应用 6.若n 为大于1的自然数，求证：
.2413212111>+++++n n n 思路分析：注意对数学归纳法证明不等式时放缩技巧的合理使用.
解：(Ⅰ)当n=2时，
24
131********>=+++. (Ⅱ)假设当n=k 时成立，即24
13212111>+++++k k k . 则当n=k+1时，1
111221*********+-+++++++++++k k k k k k k 221121241311211212413+-++=+-++++>k k k k k . 7.求证：2
)1()1(32212)1(2
+<+++∙+∙<+n n n n n (n ∈N +) 思路分析：用数学归纳法证明与正整数n 有关的不等式，是考试中的重点题型之一，在n=k+1的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧.
解：记a n =)1(3221+++∙+∙n n ，
（Ⅰ）当n=1时，a 1=21∙=2>1=221⨯,而a 1=2<2=2
)11(2
+， ∴当n=1时，不等式221⨯<a 1<2
)11(2
+正确.
（Ⅱ）假设n=k 时不等式正确，即2
)1(2)1(2
+<<+k a k k k . 当n=k+1时， ∵)2)(1(2
)1()2)(1()2)(1(2)1(2
++++<+++<++++k k k k k a k k k k k , 而
2
)1()1(2)1()2)(1(2)1(2+=+++>++=+k k k k k k k k k +(k+1) =(k+1)(2k +1)=2)2)(1(++k k , 2
)2(2442)2)(1(2)1()2)(1(2)1(2
222+=++=++++<++++k k k k k k k k k , ∴2
)2(2)2)(1(2
1+<<+++k a k k k , 即n=k+1时不等式正确；
根据(Ⅰ)(Ⅱ)知对n ∈N *，不等式正确.
8.已知数列{B.n }是等差数列，B.1=1,B.1+B.2+…+B.10=145.
(1)求数列{B.n }的通项公式B.n ;
(2)设数列{A.n }的通项A.n =log A.(1+n
b 1)(其中A.＞0且A.≠1)，记S n 是数列{A.n }的前n 项和.试比较S n 与3
1log A.B.n+1的大小，并证明你的结论. (1)解：设数列{b n }的公差为d,由题意得
⎩⎨⎧==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=.3,1,1452)110(1010,1111d b d b b ∴b n =3n-2. (2)证明：由b n =3n-2知
S n =log a (1+1)+log a (1+
41)+…+log a (1+231-n )=log a ［(1+1)(1+41)…+231-n )］, 而31log a b n+1=log a 3
13+n ,于是，比较S n 与31log a b n+1的(1+1)(1+41)…(1+231-n )与313+n 的大小.
取n=1，有(1+1)=33311348+∙=>；
取n=2，有(1+1)(1+
4
1）>33312378+⨯=>. 推测：(1+1)(1+41)…(1+231-n 0＞313+n ①
(Ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.
(Ⅱ)假设n=k(k≥1)时①式成立，即(1+1)(1+41)…+2
31-k )>313+k . 则当n=k+1时，(1+1)(1+41)…(1+231-k )［1+2
)1(31-+k ］>313+k (1+131+k ) =3131323+++k k k .∵(3131
323+++k k k )3-(343+k )3 =2223)
13(49)13()13)(43()23(++++++-+k k k k k k >0, ∴1
3133
++k k (3k+2)>343+k =31)1(3++k . 从而(1+1)(1+41)…(1+231-k )(1+1
31-k )>31)1(3++k ，即当n=k+1时，①式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知，①式对任意正整数n 都成立. 于是，当a ＞1时，S n ＞31log a b n+1,当0＜a ＜1时，S n ＜3
1log a b n+1. 回顾·展望 9.(江西高考) 已知数列{A.n }的各项都是正数，且满足：A.0=1,A.n+1=
21A.n (4-A.n ),n ∈N .证明：A.n <A.n+1<2,n ∈N .
思路分析：对第一问用数学归纳法证明比较简洁，但是用数学归纳法证明时，在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，也有作差比较和利用单调性两种方法.
证明：［方法一］用数学归纳法证明：
（Ⅰ）当n=1时，a n =1,a 1=21a 0(4-a 0)=2
3，∴a 0<a 1<2，命题正确. (Ⅱ)假设n=k 时有a k-1<a k<2.
则n=k+1时,a k -a k+1=
21a k-1(4-a k-1)-2
1a k (4-a k ) =2(a k-1-a k )-21(a k-1-a k )(a k-1+a k )=21(a k-1-a k )(4-a k-1-a k ). 而a k-1-a k <0,4-a k-1-a k >0,∴a k -a k -1<0.
又a k+1=2
1a k (4-a k )=12［4-(a k -2)2］<2. ∴n=k+1时命题正确.
由(Ⅰ)(Ⅱ)知，对一切n ∈N 时有a n <a n+1<2.
［方法二］用数学归纳法证明.
(Ⅰ)当n=1时，a 0=1,a 1=21a 0(4-a 0)=2
3,∴0<a 0<a 1<2. (Ⅱ)假设n=k 时有a k-1<a k <2成立，
令f(x)=2
1x(4-x)，f(x)在［0，2］上单调递增，
所以由假设有f(a k-1)<f(a k )<f(2), 即21a k-1(4-a k-1)<21a k (4-a k )<2
1×2×(4-2), 也即当n=k+1时a k <a k+1<2成立，
所以对一切n ∈N ,有a k <a k+1<2.
10.(辽宁高考) 已知函数f(x)=1
3++x x (x≠-1).设数列{A.n }满足A.1=1,A.n+1=f(A.n )，数列{B.n }满足B.n =|A.n -3|,S n =B.1+B.2+…+B.n (n ∈N *).
（1）用数学归纳法证明:B.n ≤1
2)13(--n n
; （2）证明:S n <3
32. 证明：(1)当x≥0时,f(x)=1+
12+x ≥1.因为a 1=1，所以a n ≥1(n ∈N *) 下面用数学归纳法证明不等式b n ≤1
2)13(--n n
. （Ⅰ）当n=1时，b 1=3-1，不等式成立，
（Ⅱ）假设当n=k 时，不等式成立，即b k ≤1
2)13(--k k
. 那么b k+1=|a k+1-3|=k k n k k b a a 2)13(2131|3|)13(1
+-≤-≤+=-. 所以，当n=k+1时，不等式也成立.
根据（Ⅰ）和（Ⅱ），可知不等式对任意n ∈N *都成立.
（2）由（Ⅰ）知，b n ≤1
2)13(--n n
.所以 S n =b 1+b 2+…+b n ≤(3-1)+12
22
)13(2)13(--++-n =（3-1）·33221311)13(2131)213(
1=--∙-<----n . 故对任意n ∈N *,S n <
33
2.。