福建省莆田第十中学2020学年高一数学下学期期中试题

莆田十中2020学年度下学期期中考试卷
高一 数学
(考试时间：120分钟 满分150分)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项符合题目要求
1．设向量(1,2),(1,1),a b c a kb ===+r r r r r
，若b c ⊥r r ，则实数k 的值等于（ ）
A. 2
3
-
B. 35-
C. 35
D. 23
2. 已知直线l 03:=-+m y x )(R m ∈的倾斜角为θ，则θcos 的值为（ ）
A. 3-
B.
23 C. 2
1
- D. 1 3. 下列函数中，在定义域上是单调函数的是（ ） A. 1
2-=x y B . )1ln(+=x y C. )2
sin(π-=x y D. )2
tan(x y π
=
4. 下列各式中，值为
1
2
的是 （ ）
A 、1515sin cos o
o
B 、2
2
1212cos sin
π
π
- C 、22251225tan .tan .-o o D 5. 三个数0.32
0.32,0.3,log 2的大小顺序是（ ）
A . 20.30.30.3log 22<<
B . 20.3
0.30.32log 2<<
C . 0.3
20.3log 22
0.3<< D. 20.30.3log 20.32<<
6. 圆心在直线072=--y x 上的圆与y 轴交于两点)2,0(),4,0(--B A ，则该圆的方程为（ ）
A. 5)3()2(22=-++y x
B. 5)3()2(2
2=++-y x
C. 5)3()2(2
2=
-++y x D. 5)3()2(22=++-y x
7．已知
1cos sin 21cos sin x x
x x
-+=-++，则x tan 的值为（ ） A 、
43 B 、34- C 、34 D 、4
3-
8. 函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6
x π
=对称，
则ϕ的最小值为（ ）
Ａ．116π Ｂ．512π Ｃ．1112π
Ｄ．6
5π 9.平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线
交CD 于点F 。

若a AB =，b AD =，则=AF （ ） A.
b a +31 B. b a 31+ C. b a 4341+ D. b a 4
143+ 10．设()0,x π∈，关于x 的方程2sin()3
x a π
+=有2个不同的实数解，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．()
3,2-
B ．()3,3-
C ．()2,3-
D ．
(
)
3,2
11.已知点Q 是ABC ∆底边BC 的垂直平分线l 上的任一点，设向量m AB =，n AC =，
a AQ =。

若4=m ，2=n ，则)(n m a -⋅等于（ ）
A ．6
B ．4
C ．2
D ．不确定 12. 设函数()f x x x bx c =++，给出下列4个判断：
①0c =时，()y f x =是奇函数； ②00b ,c =>时，方程()0f x =只有一个实根； ③()y f x =的图像关于点()0,c 对称； ④方程()0f x =至多有两个实根. 上述四个判断中是正确判断的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

请把答案填在答题卡相应的位置上）
13.在边长为1正三角形ABC 中，点D 是BC 上的点，且BC BD 3
1
=，则=⋅AD AB 14. 函数x x x f 2
cos sin 2)(--=的最大值是 15.已知函数x x x f 2cos 3)4
(
sin 2)(2
-+=π
，则函数)(x f 图象相邻的两个对称中心之间
的距离是
16. 已知函数)2sin()(θ+=x A x f ，其中)2
,
0(,0π
θ∈>A ，若函数)(x f 的图象过点
)1,12(π-
E ，)3,6
(π
F ，则函数)(x f 的解析式=)(x f
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。

每题均应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17. (本小题满分10分)
在平面直角坐标系xoy 中，已知点)2,1(--A ，)3,2(B ，)1,2(--C ，设以线段AC AB ,为邻边的平行四边形为CABM
（1）求平行四边形CABM 的两条对角线的长和点M 的坐标；
（2）设实数t 满足t //)(- （O 为坐标原点），求实数t 的值．
18. (本小题满分12分)
已知函数x
x x f cos )
42sin(21)(π
-
-=
(Ⅰ)求函数)(x f 的定义域；
(Ⅱ)设α是第四象限的角，且13
12
sin -=α，求)(αf 的值.
19. (本小题满分12分)
已知向量)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a ，παβ<<<0. （Ⅰ）
的夹角；
与，求若b a b a 2||=-
（Ⅱ）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值.
20. (本小题满分12分)
P
D
B
C E
F
A
设1
22
+-
=x a )x (f ， (其中a 为常数) (1)若)(x f 为奇函数，求a 的值；
(2).在（1）的条件下，设)(log )(2x f x g =，求函数)(x g 的值域。

21. (本小题满分12分)
如图，三棱锥ABC P -中，平面ABC PAC 平面⊥，2
π
=
∠ABC ，
点D 、E 在线段AC 上，且2===EC DE AD ，4==PC PD ， 点F 在线段AB 上，且//EF 平面PBC ， (1)证明：BC EF //. (2)证明：⊥AB 平面PEF .
（3）若四棱锥DFBC P -的体积为7，求线段BC 的长.
22. (本小题满分12分)
已知函数)(,1cos 2cos sin 32)(2
R a a x x x x f ∈+-+=，且当⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-
∈3,6ππx 时，)(x f 的最大值为3.
⑴求)(x f 在[]π,0上的单调递增区间；
⑵将函数)(x f y =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的
2
1
倍，再把所得图象向右平移12π个单位，得到函数)(x g y =，求方程2)(=x g 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的所有实根之和.
莆田十中2020学年度下学期期中考试题卷
高一数学
参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项符合题目要求
1—5 ACDCD 6—10 BCBAD 11—12 AC
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

请把答案填在答题卡相应的位置上） 13.
65 14. 3 15. 2
π
16. )32sin(2π+x 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。

每题均应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 17. (本小题满分10分)
解:(1)由题设知)5,3(=AB , ,)1,1(-=AC 则)6,2(=+AC AB ，)4,4(=-AC AB ,.
所以102=+AC AB |,24=-AC AB ……………………4分 设),(y x M ΘAB CM OC OM ==- )5,3()1,2(),(=---∴y x 4,1==∴y x )4,1(M ∴……………………6分 故所求的两条对角线长分别为4,2
. 点M 的坐标)4,1(M
(2).由题设知)1,2(--=OC , )5,23(t t OC t AB ++=- )4,4(--=BC
Θt //)(⋅- )4()5()4()23(-⨯+=-⨯+∴t t 2=∴t (10)
分
18. (本小题满分12分)
解：（1）由0cos ≠x ，得Z k k x ∈+
≠,2
π
π.所以函数)(x f 的定义域为
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ ……………………4分
(Ⅱ) Θα是第四象限的角，且1312sin -
=α ，13
5
cos =∴α ……………………5分 x
x x
x x x x x x x
x x f sin 2cos 2cos cos sin 2cos 2cos 2cos 2sin 1cos )
42sin(21)(2
-=-=+-=--=
π
……………………10分
αααsin 2cos 2)(-=∴f 13
34)1312135(
2=+= ……………………12分
19.(本小题满分12分)
P
D
B
C E
F
A
解：（1）由题意得22
=-b a ，即22)(2
22=+⋅-=-b b a a b a ，又因为
12
222====b a b a
所以222=⋅-b a ，即0=⋅b a . 故. a 与b 的夹角是
2
π
……………………6分 （2）因为)1,0()sin sin ,cos (cos =++=+βαβαb a ，所以⎩
⎨⎧=+=+1sin sin 0
cos cos βαβα
由此得)cos(
cos βπα-=，由παβ<<<0得πβπ<-<0，故βπα-=，代入 1sin sin =+βα得21
sin sin =
=βα，而παβ<<<0，所以6
,65πβπα==
. ……………………12分 20. (本小题满分12分) 解：(1)函数的定义域是R 122)(+-
=--x a x f ，1
22
)(++-=-x a x f Θ)(x f 为奇函数 ∴ 122+--x a 122
++-=x a 即=a 2+
+-122x 1
22+x 212222=++⋅=x x ，1=∴a （另解：因为,x R ∈所以(0)01f a ==得.
经检验1=a 符合题意 所以1=a ） ……………………6分 （2）12
11
221)(log )(2log 2+-
=+-
==x x f x g x )0(>x
……………………9分 11,0>+∴>x x Θ 1110<+<
∴x ∴2120<+<x 11
2
11<+-<-x ∴函数)(x g 的值域为()1,1-……………………12分
21.(本小题满分12分)
（1）证明： EF//面PBC. EF ⊂面ABC, 面PBC I 面ABC=BC,
所以根据线面平行的性质可知EF// BC. ……………………4分 （2）由DE=EC,PD=PC 可知：E 为等腰∆PDC 中D C 边的中点，
故PE ⊥AC,又平面PAC ⊥平面ABC ，又平面PAC I 面ABC=AC,PE ⊂平面PAC, 所以PE ⊥平面ABC ，又⊂AB 平面ABC 所以PE AB ⊥, 因为∠ABC=2
π
，EF// BC.所以AB ⊥EF 又E PE EF =I 所以AB ⊥面PEF ………… 8分
（3）设x BC = 过D 作AB DG ⊥于G ，则BC DG 31=
，又AB AF 3
2
= ABC ADF S S ∆∆=
∴9
2
2197S 97ABC DFBC ⨯==∴∆四边形S 2x 36x -23618
7
x x -=
由（2）可知PE 是四棱锥P-DFBC 的高，PE=23，所以V=217
36237318
x x ⨯-⨯=
所以42
362430x x -+=，所以3x =或者33x =，所以BC=3或BC=33 (12)
分
22. (本小题满分12分) 解： （1）a x x x f ++=
2cos 2sin 3)(a x ++
=)6
2sin(2π
，
因为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈3,6ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+65,662πππx ，
32)(max =+=a x f ，故1=a ， 所以 1)6
2sin(2)(++=π
x x f
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
，解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
()k Z ∈,又[]π,0∈x
60π
≤
≤∴x 或
ππ
≤≤x 3
2 故)(x f 在[]π,0上的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π和⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ,32. ……………………6分 ⑵. 依题意可得=)(x g 2sin 416x π⎛
⎫
-+ ⎪⎝
⎭
. 由2)(=x g 得1
sin 462
x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，则4266x k πππ-=+或526k π
π+, 解得212k x ππ=
+或24k x ππ=
+()k Z ∈. 因为0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
所以12x π=或4π， 故方程所有根之和为
12
4
3
π
π
π
+
=
. ……………………12分。