【精】北师大版九年级数学下册教案：3.4.1圆周角定理

【探究 2】 探究同一条弧所对圆周角与圆心角的关系 画一个 80°的圆心角，然后再画同弧所对的圆周角，动手画 一画并思考下列问题： 问题 1：你所画的这几个圆周角与圆心角的大小有什么关系？ 如果改变圆心角度数，这个关系依然成立吗？ 问题 2：通过上述问题，你有何猜想？ 问题 3：对于有限次的测量得到的结论， 必须通过其论证，怎 么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流． (几何画板展示 ) 教师适时引导：能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角
特殊
1
――→ 一边经过圆心．由图 3－ 4－ 15 可知，显然∠ ABC ＝ ∠
2
AOC ，结论成立． (预设学生口述，并展示 ) 证明：∵∠ AOC 是△ ABO 的外角， ∴∠ AOC ＝∠ ABO ＋∠ BAO. ∵OA ＝ OB，∴∠ ABO ＝∠ BAO. ∴∠ AOC ＝ 2∠ ABO.
图 3－ 4－ 15
教师在教学中要注意 逐一渗透．通过类比 思想、分类讨论思想、 特殊到一般思想，让 学生进一步体会 “ 猜 想、试验、证明 ” 探 究问题的一般步骤 .
即∠ ABC ＝ 12∠ AOC.
通过这样的启发提
如果∠ ABC 的两边都不经过圆心 (如图 3－ 4－ 16)，那么结果 怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种 情况分别转化成上图中的情况去解决吗？ (学生互相交流、讨 论)
问，可提高学生的思 维能力，为推理论证
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圆周角定理打下了良
好的基础．解决困难
问题的同时，首先考
图 3－4－ 16 如图①，当点 O 在∠ ABC 内部时，只要作出直径 BD ，将这 个角转化为上述情况的两个角的和即可证出． 由刚才的结论可知：∠ ABD ＝12∠ AOD ，∠ CBD ＝ 12∠COD ，
这里要注意引 导学生学以致 用，通过作辅
助线添加圆心
活动 二： 实践 探究 交流 新知
环节，获得正确学习方式．培养学生的探索精神和解决问题的
能力．
圆周角定理及其应用．
圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透．
新授课
课时
多媒体课件 教学活动
师生活动
设计意图
【课堂引入】
回答下列问题：
1．圆心角的定义是什么？
2．圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系？
3．下列命题是真命题的是 ( ) ①垂直于弦的直径平分这条弦；
虑其特殊情形，然后 再设法解决一般问
题．有意识地向学生
∴∠
ABD
＋∠
CBD
＝
1 2(∠
AOD
＋∠
COD)
，即∠
ABC
＝
1 2
∠
渗透解决问题的策略
AOC. 如图②，当点 O 在∠ ABC 外部时，仍然是作出直径 BD ，将
这个角转化成上述情形的两个角的差即可 .
由前面的结果，有∠ ABD ＝1∠ AOD ，∠ CBD ＝ 1∠ COD ，
关证明题是很有必要的 .
圆周角有 ∠BAC ，∠ABC ，∠ACB. 处理方式：图中圆里有 3 条半径和 3 条弦，当学生讲出正
确答案后，则需要老师从旁总结寻找圆心角和圆周角的方 法．寻找圆心角关注的是半径，任意两条半径所夹的角就
是一个圆心角，个数由半径的条数决定．寻找圆周角则应 关注弦和弦与圆的交点，任意两弦和两弦的交点组成一个 圆周角，数圆周角关键是看弦与圆的交点，看以这个交点
触类旁通的目的 .
在学习了圆周角的定义后， 为下面 学习圆周角的定理做铺垫， 有必要
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活动 二： 实践 探究 交流 新知
先让学生熟练判断圆中哪些是同 一条弧所对的圆周角， 并掌握如何
图 3－ 4－14 解： 圆心角有∠ AOB ，∠AOC ，∠BOC ；
在比较复杂的图形中按照一定的 规律寻找所有的圆周角和圆心角， 这一能力对于学习后续的圆的相
这个活动既帮助学生达到了 温故知新的目的， 又对本节课的教 学任务的实施进行了非常好的铺
垫，起到了承上启下的作用 .
本环节的设置， 采用分类讨论和类 比的思想方法得出圆周角的定
义．问题当中的角的顶点位置发生 变化可得到几种情况， 其实是点和 圆的位置关系知识点的应用， 老师 在此应注意知识之间的联系， 达到
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以及转化、分类、归 纳等数学思想方法 .
∴∠
ABD
－∠
CBD
＝
1 2(∠
AOD
－∠
COD)
，即∠
ABC
＝
1 2
∠
AO了什
么结论？ 教师适时总结：这一结论称为圆周角定理．板书：圆周角的度数等于 它所对弧上的圆心角度数的一半． 问题 5：在上述经历探索圆周角和圆心角的关系的过程中，我们学到 了什么方法？
课题
教 学 目 标
教学 重点 教学 难点 授课 类型 教具
教学 步骤
活动 一： 创设 情境 导入 新课
活动 二： 实践 探究 交流 新知
知识技能 数学思考 问题解决 情感态度
第 1 课时 圆周角定理
授课人
1.理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论
.
2. 认识到圆周角定理及其推论是证明和圆有关的角相等的重要
定理，并能运用这些知识进行有关的计算和证明．
经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程，了解
并证明圆周角定理，发展合情推理和演绎推理的能力．
经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况
为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类讨论的
数学思想．
在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等
②相等的圆心角所对的弧相等；
③圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．
A．①②
B ．①③
C．②③
D ．①②③
处理方式：问题 1， 2，3 由学生口答完成．
【探究 1】 圆心角、圆周角 问题：我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那么当 角的顶点发生变化时，我们能得到几种情况？
图 3－ 4－13 处理方式：学生根据上图的几种情况，类比圆心角定义， 得出圆周角定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另 一个交点的角叫做圆周角． 试一试：指出图 3－ 4－14 中的圆心角和圆周角．
为顶点能引出多少条弦，每两条弦所夹的角即是一个圆周 角，数完一个交点后，再数另一个交点．这里要注意，因
为半径 AO没有延长， 所以∠ OAB严格来说还不算是一个圆 周角，这里有必要向学生说明一下，但以后在解题中，我 们又往往会忽略这些角， 因为只要把半径 AO延长与圆相交
后，就会形成圆周角了，所以这里要特别注意．