岩石界面上的反射折射系数的研究与应用ⅡSV波和SH波入射的情况

岩石界面上的反射/折射系数的研究与应用 II ：
SV 波和 SH 波入射的情况
林*
法 张 雯
丁鹏飞
（西安邮电大学电子工程学院）
摘要 在已讨论的 P 波入射到平面界面上的反射/折射系数的基础上，本文推导了 SV 波入射到固体/固体之间的 平面界面上的反射/折射系数以及 SH 波入射到固体/固体之间的平面界面上的反射/折射系数。

利用已报道的测量 出的岩石物理参数，对上述反射/折射系数进行了数值计算。

关键词 反射/折射系数 边界条件 岩石物理参数
为 P 波折射角。

对于以角频率 ω 作简谐振动的入射 SV 波, 质点位移矢量可表示为
1 引言
A VO 因其在岩性预测、油气检测和裂缝预测等 其 方面的诸多优点而广泛应用于油气勘探领域。

近年来，人们逐渐开始进行 SV 波震源的地球 物理勘探，因为 SV 波的传播速度低于 P 波，所以 采用 SV 波震源进行地球物理勘探要比采用 P 波震 源的分辨率高得多。

现在人们也在研究采用 SH 波震源进行地球物 理勘探，由于 SH 波的模式转换波要比 P 波和 SV 波的少，有利于对浅层及小幅度构造、小断层、尖 灭、超覆等现象的勘探[1,2]。

2 模型建立
2.1 SV 波入射到固体固体之间界面的情况
当 SV 波入射到两种不同固体的分界面上时， 将产生反射 P 波、反射 SV 波、折射 P 波和折射 SV 波，如图 1 所示。

⎛ (0)
⎫ u z ⎪ ⎪
0 ⎪exp[ j (ωt - k s x sin θ +k s z cos θ )]
S 0 = (0) ⎪ u x ⎪
⎝⎭ 反射 P 波和反射 SV 波的质点位移矢量可分别 表示为
⎛ (1) ⎫ u x
(2)
P 1 = R sp 0 ⎪exp[ j (ωt - k p x sin θ2 -
(1) ⎝ ⎭
(2)
⎫ ⎛ ⎪ S 1 = R ss
0 ⎪exp[ j (ωt - k s x sin θ1 - (3)
(2)
⎝ ⎭ 折射 P 波和折射 SV 波的质点位移矢量可分别
u x ⎪ z ⎝
(4) ⎫ ⎛ S 2 = T ss 0 ⎪exp[ j (ωt - k s 1x sin θ3 +
(5)
⎪ 图 1 SV 波从固体 I 入射到固体 II 的情况
(4)
⎪ ⎝ ⎭
图 1 中，θ 和 θ1 分别为 SV 波入射角和反射
角， 且 θ = θ ；θ 为 P 波反射角；θ 为 SV 波折射角，θ
式中： c 和 c 分别是在固体
I 中传播的 P 波和 1 2 3
4
p s
的波数； R sp 是 SV -P 波反射系数； R ss 是 SV -SV 波 图 2 SH 波从固体 I 入射到固体 II 界面的情况
对于以角频率 ω 作简谐振动的入射 SH 波，
其 质点位移矢量可表示为
的反射系数； T sp 是 SV -P 波的折射系数； T ss 是 SV -SV 波的折射系数。

在两种固体之间的边界
上，质点位移的法向分 量和切向分量连续，故得到
⎛ ⎫ ⎪ 0 (0) ⎪ (11)
u y ⎪exp[ j (ωt - k sh x sin θ
+k sh z cos θ )] S 0 = (6) u (0) + R u (1) + R u (2) = -T u (3)
+T u (4)
0 ⎪
x sp z ss x sp z ss x ⎝ ⎭ 反射 SH 波的质点位移矢量可表示为
(7)
(0) (1) (2) (3) (4)
u z + R sp u x - R ss u z = T sp u x
⎛ ⎫
(12)
S 1 = R ss
u (1) ⎪exp[ j (ωt - k sh x sin θ1 - k z cos θ)]
根据法向应力在边界处连续的边界条件，可以 得到
⎪
y
⎝ ⎭ 折射 SH 波的质点位移矢量可表示为
(8) (9)
(0) (1) (2) (3) (4)
T 3 + T 3 + T 3 = T 3
+ T ( 0 )
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )
T 5 + T 5 + T 5 = T 5 + T
⎛ ⎫
0 将式（6）—（9）写成如下矩阵形式，进而可 (13)
(2) ⎪ S 2 = T ss u
⎪exp[ j (ωt - k sh 1x sin θ2 + k sh 1z ⎪ 计算出 R 、 R 、 T 和 T 。

⎝
sp ss sp ss 式中： c 是在固体 I 中传播的 SH 波的相速度； sh
k sh = ω / c sh 是入射 SH 波和反射 SH 波的波数；c sh 1 是 在固体 II 中传播的 SH 波的相速度； k sh 1 = ω / c sh 1 是 折射 SH 波的波数； R ss 和 T s s 是 SH-SH 波的反射系 数和波折射系数。

因为入射 SH 波、反射 SH 波和折射，在 xoz 平面上传播，且所有的波的质点位移仅存在 y 分量， 所以有 u = 0 ， ∂ ∂x = 0 ， u = 0 ， ∂ ∂z = 0 ， 故 由 x z T = C : S = C : ∇s u 可知，在 z = 0 的界面上与边界条
cos
θ2
sin sin
θ
-co
⎡ ⎢
⎢
(
c u (1) sin θ ) ) (c u (2)
sin
θ u (2)cos θ ) ⎢u (1) cos θ
-k
⎢
p 12 x 2 11 z
2 s 12 z
11 x ⎢ -k c (
u (1) cos θ +
k c (u (2)
cos θ -
u (2)
)
⎢
p 44 x 2 z 2
s 44 z
x
cos θ
4
-sin -sin
θ3
-cos ⎤ ⎥ ⎥
-k (
c ' u (3) sin θ + c '
) -k (
c ' u (4) sin θ - c '
)p 1 12 x 4 11 z 4
s 1 12 z 3 11 x
3
⎥ -k c ' (u (3)
cos θ
+ u (3) )
-k c ' (
u (4)
cos θ - u (4) )
s 1 44 z 3
x
3 ⎥ p 1 4
4 x 4 z 4
关的应力分量是 T 。

4 在两种固体之间的边界上，质点位移的法向分 量和法向应力在边界处连续的边界条件，可以得到
-sin
θ
-co ⎡ ⎤ ⎥ ⎡R sp ⎤
⎢ R ⎥ ⎥ ⨯ss ⎥ = (
c u (0) sin θ - c )
⎢T ⎥ ⎢ s 12 z
⎥ (10)
( 0 ) ( 1 ) ( 2 ) y
(14) u y + R s s u y = T u
11 x sp ⎥
⎢ ⎢ ⎢ ⎢
⎥ ⎥ ⎥
-k c (u (0)
co s θ - u (0) ) ⎢⎣ T ss s 44 z x T (0) + T (1) = T
(2) (15)
4 4 4 2.2 SH 波入射到固体固体之间界面的情况
当 SH 波入射到两种不同固体的分界面上时，
将产生反射 SH 波，折射 SH 波，如图 2 所示。

其 我们可以把式（14）和式（15）写成矩阵形式， 进而计算出 R ss 和 T ss 。

中 θ 和 θ 分别为 SH 波入射角和 SH 波反射角，且 ⎡ u (1) -u (2) ⎤ ⎡R ⎡ -u (0) ⎤ 1 θ = θ1
； θ2
为 SH 波折射
(16)
y y ss = y
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢⎣u y k sh c 44cos θ (1) (2)
k sh 1c '44 cos θ2 ⎥⎦ T
⎢⎣k sh c 44cos
间 的 界 面 ， 存 在 一 个 反 射 P 波 的 入 射 临 界 角 3 数值计算和分析
我们选取文献[3]中表 和一个折射 P 波 的 入 射 临 界 角
θcp 1 =
36.13
1 中的物理参数进行计 算。

3.1 θcp 2 = 60.79 。

（1）由图 3a 可知， R ss 存在两个零点分别为 SV 波入射到固体固体之间界面的情况
选取 Mesaverd 钙质砂岩为入射介质，Wills 29.14 和 36.04 ；在θ < 29.14 的入射角范围内， R 的
Point 页岩为折射介质根据式（ 10）计算出的 R sp 、R ss 、
ss
相角为 0 ，所以 R 为正值， R 的模值随着入射角 ss ss T sp 和 T ss 。

如图
3 所示。

的增大而减小。

在 29.1
4 < θ < 36.04 的入射角范围，
R ss 的相角为180 ，所以 R ss 为负值， 随着入射角
1 0.5
的增大先增大再减小；在θ = 36.13 处，R 由负实数 ss
0 10 20 30 40
50 60 70 80 90
变为复数。

θ
/(°)
200
100
-100 （2）由图 3b 可以看出，R 在整个入射角范围 sp
-20 0
0 10
20
30
40
50
60
70
80
90
θ /(°)
内存在一个零点， θ = 44.65 ，当 θ < 36.13 的入
射角
(a) SV -SV 波反射系数
范围内，R 的相角为 0 ，所以 R 为正值，
R 随着 sp sp sp 3 2
入射角的增加而增大，当 θ = 36.13 处， R
达到极
1 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
θ /(°)
大值。

当 36.13 < θ < 44.65 的区
域， R
随着入射角
200
sp
100
0 的增加而减小，当 44.65 < θ < 66.16 的区域， R 随 -10 0
0 10
20
30
40
50
60
70
80
90
sp θ /(°)
(b) SV -P 波反射系数
着入射角的增加而增大，当 θ = 66.16 处， R
达到
sp 2
最大值。

随着入射角的继续增大， R 逐渐减小。

sp -2 -4
0 10
20
30
40
50
60
70
80
90
（3）由图 3c 可以看出，在 θ < 36.13 的入射角 θ /(°)
200 150
范围内， T 的相角为 180 ，所以 T 为负值， T 随 100 ss ss ss 50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
θ /(°)
着入射角的增大而减小，当θ = 36.13 时达到极小值，
之后随着入射角的增大再增大。

这里当 θ = 44.64 时 从180 跳跃到 -180 时，是由于负数的虚部发生了变 化，其实部依然保持不变。

（4）由图 3d 可以看出，在θ < 36.13 的范围内，
(c) SV -SV 波折射系数
1.5 1
0.5 0 0
10
20
30
40
50 60
70
80
90
θ
/(°)
200 150
100 50
射角范围时， T 的 模 值 达到 极 小 值 。

这里 当 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
sp θ
/(°)
θ = 36.12 时从 180 跳 跃到 -180 ，当 θ = 44 .64
时从
- 1 8 0跳跃到 180 和当 θ = 49.41 时从 180 跳跃到 -180
(d) SV -P 波折射系数
钙质砂岩与
Wills Point 页岩之间的界面 图 3 Mesaverd 对于 Mesaverd 钙质砂岩与 Wills Point 页岩之
φ
/(°)
φ /(°)
φ /(°)
φ
/(°) ∣T ∣
∣R
∣
∣T ∣
∣R ∣
持不变。

3.2 SH 波入射到固体固体之间界面的情况
当 SH 波入射到固体和液体之间的界面时，只 能产生反射 SH 波，所以在这里我们仅计算 SH 波 入射到固体和固体之间的界面的情况。

选取表 1 中 的 Mesaverd 钙质砂岩为入射介质，Wills Point 页岩 （2）当 SH 波入射到固体/固体之间界面时，
仅产生一个反射 SH 波和一个折射 SH 波。

这种模 式转换波很少，不会像 P 波和 SH 波那样有更多的 模式转换波混叠在地震波中，给我们分析带来干 扰，加之 SH 波的声速低，将使分辨率大大提高， 使我们更容易清晰地分析声波信息。

为折射介质根据式（16）计算出的 R sp 、 R ss 如图 所示。

4 参 考 文 献
[1] Aki K, Richards P G . Quantitative seismology: Theory and methods. New Y ork: Freeman, 1980, V olume 1
[2] Shuey R T. A simplification of Zoeppriz equations.
Geophysics, 1985, 50: 609～614
[3] 岩石界面上的反射/折射系数的研究与应用Ⅰ：P-波入射
的情况. 待发表
[4] Thomsen L. Weak elastic anisotropy of hydrocarbon source
rocks. Geophysics, 1992, 57: 727～735
[5] Wang Z. Seismic anisotropy in sedimentary rocks, Part 2:
Laboratory data. Geophysics, 2002, 67: 1423～1440
1
0.5
0 0 10
20
30
40
50 60
70
80
90
θ
/(°)
200 150
100
50
10
20
30
40
50
60
70
80
90
θ
/(°)
(a) SH-SH 波反射系数
2
1.5 1
0.5 0 0 10 20 30 40
50 60 70 80 90
θ
/(°)
1
0.5
本项研究受到国家自然科学基金（40974078）资助。

0.5
1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
θ
/(°)
(b) SH -SH 波折射系数
钙质砂岩与
Wills Point 页岩之间的界面 图 4 Mesaverd 由图 4a 可以看出，R ss 存在一个零点，θ = ，
在 θ < 85.42 的入射角范围内，R 的相角为 0 ，所以
ss R ss 为正值， 随着入射角的增大而减小。

在 R ss θ > 85.42 的入射角范围内， R 的相角为180 ，所以
ss
R ss 为负值， R ss 随着入射角的增大而增大。

在整个
入射角范围内， R 均为实数。

ss
由图 4b 可以看出， T ss 在整个入射角范围内， 随着入射角的增大而减小，其相位不发生变化始终 为 0 ，即 T 为正值。

ss 4 结论
（1）影响 A VO 属性的因素有很多，其反演的 多解性很强，将 P-P 波的反射系数和 P-SV 的反射 系数的 A VO 属性综合起来应用，就会大大减少多 解性。

文中的计算结果为为层状各向同性岩层中的 P 波的 A VO 分析反演以及 P 波/SV 波的 A VO 的联 合分析反演提供了一个有效的解释图板；
φ
/(°
) ∣R
∣
φ
/(°)
∣T ∣。