多面体欧拉定理

多面体欧拉定理
欧拉定理（euler theorem），也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理，是一个关于同余
的性质，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。

该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一，在西方经济学中又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模
收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。

欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬
不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生
产的总产品。

该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。

如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。

在完全竞争的条件下，厂商和消
费者都被动地接受市场形成的价格。

定理推论
在完全竞争的条件下，厂商使用要素的原则是：要素的边际产品价值等于要素价格。

即:
p*mpl=w (1)
p*mpk=r (2)
由式1和2只须：
mpl=w/p (3)
mpk=r/p(4
p为产品的价格，w/p和r/p分别表示了劳动和资本的实际报酬。

因为在完全竞争的
条件下，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。

假定整个社会
的劳动总量和资本总量为l和k，而社会总产品为q,由在市场均衡的条件下，所有生产要
素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品,得:
q=l*mpl+k*mpk(5)
式5称为欧拉分配定理。

它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。

定理证明
假设生产函数为：q=f(l.k)(即q为齐次生产函数),定义人均资本k=k/l
方法1:根据齐次生产函数中相同类型的生产函数展开分类探讨
(1)线性齐次生产函数
n=1,规模报酬维持不变,因此存有:
q/l=f(l/l,k/l)=f(1,k)=g(k)
k为人均资本，q/l为人均产量，人均产量就是人均资本k的函数。

让q对l和k求偏导数,有:
由上面两式，即可得欧拉分配定理：
(2)非线性齐次生产函数
1.当n〉1时，规模报酬递减，如果按照边际生产力分配，则产品比较分配给各个生
产要素，即为：
2.当n\uc1时，规模报酬递减，如果按边际生产力进行分配，则产品在分配给各个生
产要素之后还有剩余，即：
方法2：设立一个通常的齐次生产函数q=f(l,k)为n齐次（即n任一的齐次生产函数，既可以就是线性的，也可以就是非线性的），则存有：
q=l *g(k)
将该函数对k，对l谋略偏导数，得：
综合上述两式，有：
当n=1时，规模报酬维持不变，该式即为欧拉分配定理
当n〉1时，规模报酬递增，故有：
当n\uc1时，规模报酬递增，故存有：
实例
在技术经济学中，欧拉定理属一次齐次函数的一个关键性质，它就是说道一次齐次函
数的数值都可以则表示为各自变量和因变量对适当自变量一阶偏导的乘积之和。

在理论上，这句话变得很艰涩，可以用一个很形象的例子去表述。

假设有两个人，他们一个有十个胡萝卜的种子，另外一个有种胡萝卜的经验，他们打
算合作，前者出种子，后者出劳力，用十天的时间来种植胡萝卜。

在这过程中，风调雨顺，没有什么意外，种子全部茁壮成长，拥有种植经验的人也尽职尽责，最后得到的胡萝卜的
产量是最大化的，有十公斤。

而每个种子的在自然状态下能产出0.5公斤的胡萝卜，劳动
者每一天能辛劳能使胡萝卜在最终增加0.5公斤，所以最后的产量也是10=0.5*10+0.5*10，即种子(资本)的边际产出乘以资本量加上劳动的边际产出乘以劳动量等于总产出。

上边就是对欧拉定理在经济学中一次齐次生产函数的表述。

但是它又存有什么深刻地含义呢?在宏观经济中，上述的欧拉定理可以被表述为总收入的分配，也就是在胡萝卜的
例子中，前五公斤的萝卜就是由资本所做出的贡献，后五公斤就是由劳动所做出的贡献，如果社会这种很理想定量的贡献去分配生产量，那么社会的分配时公平也富于效率的，也就是能自动将生产量市场出清的。

这样看来，一个社会的产出如果能用欧拉定理将各种生产要素的贡献清晰量化，按贡献分配产出，那么这个社会是如此的美好啊，至少每个劳动者，每个资本拥有者用了生产的动力，不会像人民公社中的按需分配的成员那样随处搭便车，产生囚徒困境的窘境，也不会像如今这样劳动者到处诉苦说自己的贡献在社会分配中被低估，而国家有制定最低工资制度，结果造成在位者的得利，失业者的痛苦。

也有人一定会批评欧拉定理的理想状态，确实可以说道，这样的话整个社会的生产量就被当期消费掉下来了，没遗留下盈余沦为资本去在将来扩大再生产，我们的后代怎么办?饿肚子么?其实这个问题也就是应该考量的，吃掉了的，甚至把种子都喝了，将来当然可
以一命呜呼，但是盈余使劳动者，资本所有者们在当期放纵，总比把当期的盈余变为各种“白宫”不好吧?。