2021版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练 六 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析

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课时分层提升练六
函数的奇偶性与周期性
……………………30分钟60分
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.下列函数既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=-x2
B.y=x3
C.y=log2x
D.y=-3-x
【解析】选B.A.函数y=-x2为偶函数,不满足条件.
B.函数y=x3为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,满足条件.
C.y=lo g2x的定义域为(0,+∞),为非奇非偶函数,不满足条件.
D.函数y=-3-x为非奇非偶函数,不满足条件.
2.已知f(x)是R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x3+ln(1+x),则当x<0时,f(x)=
( ) A.-x3-ln(1-x) B.x3+ln(1-x)
C.x3-ln(1-x)
D.-x3+ln(1-x)
【解析】选C.当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+ln(1-x),因为f(x)是R 上的奇函数,
所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)3+ln(1-x)],
所以f(x)=x3-ln(1-x).
3.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-2)=
( )
A.-3
B.-
C.
D.3
【解析】选A.因为f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,
即f(0)=20+m=0,解得m=-1,
则f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.
4.(2020·贵阳模拟)定义在[-7,7]上的奇函数f(x),当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,则不等式f(x)>0的解集为( )
A.(2,7]
B.(-2,0)∪(2,7]
C.(-2,0)∪(2,+∞)
D.[-7,-2)∪(2,7]
【解析】选B.当0<x≤7时,f(x)=2x+x-6,所以f(x)在(0,7]上单调递增,因为f(2)=22+2-6=0,所以当0<x≤7时,f(x)>0等价于f(x)>f(2),即2<x≤7;因为f(x)是定义在[-7,7]上的奇函数,所以-7≤x<0 时,f(x)在[-7,0)上单调递增,且f(-2)=-f(2)=0,所以f(x)>0等价于f(x)>f(-2),即-2<x<0,所以不等式f(x)>0的解集为(-2,0)∪(2,7].
5.已知函数f(x)为奇函数,当x>0时,f(x)=x2-x,则当x<0时,函数f(x)的最大值为( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选B.设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+x,
又函数f(x)为奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x2-x=-+,
所以当x<0时,函数f(x)的最大值为.
6.函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f的值为( )
A. B. C.- D.-
【解析】选A.因为f(x+1)=-f(x),
所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)的周期为 2.所以f=f= f=2××=.
7.(2020·大理模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f=f,并且当0≤x≤时,f(x)=16x-1,则f(100)= ( )
A.-
B.-1
C.-
D.-2
【解析】选 B.因为f=f,且f(x)为奇函数,所以f=f(-x)=-f(x),
所以f(x)= f,所以函数的周期为,f(100)=f=f(1)= f=f=f=-f,又当0≤x≤时,f(x)=16x-1,
所以f(100)=-f=-(2-1)=-1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
8.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a=________.
【解析】因为ln2>0,所以-ln2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln2)= -f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.
答案:-3
9.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是________.
【解析】由题意f(x)在(0,+∞)上递减,
又f(x)是偶函数,则不等式f(2|a-1|)>f(-)可化为f(2|a-1|)>f(),则2|a-1|<,|a-1|<,解得<a<.
答案:
三、解答题
10.(15分)(2020·曲靖模拟)已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求m的值.
(2)求使不等式f(1-a)+f(1-2a)>0成立的a的取值范围.
【解析】(1)由题意知f(x)为奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
所以=-,
所以10-x+m·10x=-(10x+m·10-x),
整理得(1+m)(10-x+10x)=0恒成立,
所以1+m=0,解得m=-1.
(2)由(1)知f(x)===1-,
所以函数f(x)在R上为增函数.因为f(1-a)+f(1-2a)>0,所以f(1-a)>-f(1-2a),又f(x)为奇函数,所以f(1-a)>f(2a-1),所以1-a>2a-1,解得a<.所以实数a的取值范围为.
……………………20分钟40分
1.(5分)若函数f(x)=+log a(a>0,a≠1),f(m)=n,m∈(-1,1),则f(-m)= ( )
A.n
B.-n
C.0
D.不存在
【解析】选B.因为f(-x)=+lo g a=-lo g a=-f(x), 所以函数y=f(x)是奇函数,
由f(m)=n可知f(-m)=-f(m)=-n.
2.(5分)(2020·昆明模拟)已知奇函数f(x)的导函数为f′(x),x∈R.当x∈(0,+∞)时,xf′(x)+f(x)>0.若af(a)≥2f(2-a)+af(a-2),则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)
B.[-1,1]
C.(-∞,-1]∪[1,+∞)
D.[1,+∞)
【解析】选D.设g(x)=xf(x)⇒g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,所以当x∈(0,+∞)时,g(x)是增函数,
因为f(x)是奇函数,所以有f(-x)=-f(x),
因此有g(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=g(x),
所以g(x)是偶函数,而2f(2-a)+af(a-2)=2f(2-a)-af(2-a)=(2-a)f(2-a),af(a)≥2f(2-a)+af(a-2)可以化为af(a)≥(2-a)f(2-a)⇒g(a)≥g(2-a),g(x)是偶函数,所以有g(a)≥g(2-a)⇒g(|a|)≥g(|2-a|),当x∈(0,+∞)时,g(x)是增函数,所以有|a|≥|2-a|⇒a≥1.
3.(5分)若函数f(x)=是偶函数,则该函数的定义域是________.
【解析】因为函数f(x)=是偶函数,
则f(-x)=f(x),即=,
所以2ax=0,依题意a=0,f(x)=,
函数f(x)=的定义域为4-x2≥0,
解得-2≤x≤2, 故函数f(x)的定义域为[-2,2].
答案:[-2,2]
4.(5分)设奇函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,且f(2)=0,则不
等式≤0的解集为________.
【解析】因为函数f(x)在(0,+∞)上为单调递减函数,且f(2)=0,所以函数f(x)在(0,2)上的函数值为正,在(2,+∞)上的函数值为负,当x>0时,
不等式≤0等价于3f(-x)-2f(x)≤0,
又f(x)是奇函数,所以有f(x)≥0,所以有0<x≤2,
同理当x<0时,可解得-2≤x<0.综上,不等式≤0的解集为[-2,0)∪(0,2].
答案:[-2,0)∪(0,2]
5.(10分)已知函数f(x)=-x.
(1)判断f(x)的奇偶性.
(2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上为减函数.
【解析】(1)函数f(x)=-x的定义域为{x|x≠0},
又f(-x)=+x=-=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
(2)设x1,x2是(0,+∞)上的任意两数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-x1-+x2
=+(x2-x1)=(x2-x1).
因为x1>0,x2>0且x1<x2,
所以(x2-x1)>0,
即f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上为减函数.
6.(10分)已知函数f(x)=
(1)判断函数f(x)的奇偶性.
(2)对任意两个实数x1,x2,求证:当x1+x2>0时,f(x1)+f(x2)>0.
(3)对任何实数x,f(e2x-a)+f(3-2e x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】(1)任取x>0,则-x<0,
f(-x)=lo(1+x)=-lo g 2(1+x)=-f(x),
任取x<0,则-x>0,
f(-x)=lo g 2(1-x)=-lo(1-x)=-f(x),
又f(0)=0,所以对于任意的x∈R,均有f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为R上的奇函数.
(2)任取x1,x2∈R,当x1+x2>0时,不妨令x1≥x2,
有下列两种情形:①若x1>0,x2≥0,
则f(x1)+f(x2)=lo g2(1+x1)+lo g2(1+x2)>2lo g21=0.
②若x 1>0,x2≤0,f(x1)+f(x2)=lo g2(1+x1)+lo(1-x2)=lo g2,
因为x1+x2>0,所以x1>-x2,1+x1>1-x2>0,
所以lo g2=>lo g21=0,即f(x1)+f(x2)>0.
综上,当x1+x2>0时,f(x1)+f(x2)>0.
(3)由(1)(2)得:
对任意两个实数x1,x2,
当x1>-x2时,f(x1)>-f(x2)=f(-x2),
则对任意两个实数t1,t2,当t1>t2时,f(t1)>f(t2),
所以函数f(x)为R上的单调递增函数,
f(e2x-a)+f(3-2e x)≥0即为
f(e2x-a)≥f(2e x-3),
所以e2x-a≥2e x-3.
所以原题意等价于对于任何实数x,a≤e2x-2e x+3恒成立,只需a≤(e2x-2e x+3)min,而e2x-2e x+3=(e x-1)2+2∈[2,+∞),所以a≤2.
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