2020-2021学年广东省东莞市高二下学期期末考试数学试题及答案

2020-2021学年广东省东莞市高二下学期期末考试
数学试题
★祝考试顺利★ (含答案)
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1.已知函数()cos sin f x x x =-，则()f x '=（ ） A.sin cos x x -+
B.sin cos x x -
C.sin cos x x +
D.sin cos x x --
2.设随机变量x 服从正态分布()3,16N ，若()()3P X c P X >=<，则c =（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
3.A ，B ，C ，D ，E 等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）.已知学生A 和B 都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有（ ） A.18种
B.36种
C.48种
D.54种
4.某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率
分别为
14和1
5，则恰有一套机制失效的概率为（ ） A.35 B.920 C.720
D.
1
20
5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，毎一卦由六爻组成.有一种“金钱起卦法”，其做法为：取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻.两枚钱币全部正面向上称为变爻，若每一枚钱币正面向上的概率为
1
2
，则一卦中恰有两个变爻的概率为（ ） A.56534
⨯
B.6434
C.
6
152 D.
6
12 6.5
112x x x x ⎛
⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的常数项为（ ）
A.-40
B.-20
C.20
D.40
7.某放射性同位素在衰变过程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系()24
0t N t N e
-=，其中0N 为0t =时该同位素的含量.已知24t =时，该同位素含量的时变化率
为1e --，则()120N =（ ） A.24贝克
B.524e -贝克
C.1贝克
D.5e -贝克
8.已知函数()2x f x e -=，()1ln g x x =+，若存在实数1t ，2t 使得()()12f t g t =，则12t t -的最大值为（ ） A.ln 2
B.1
C.1ln 2+
D.2ln 2e +-
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑 9.下列结论正确的是（ ）
A.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r 的绝对值r 越接近于1
B.样本()()()()112233,,,,,,
,,n n x y x y x y x y 的回归直线ˆˆˆy
bx a =+至少经过其中一个样本点 C.在回归方程ˆ0.20.8y
x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加0.2个单位
D.在线性回归模型中，用相关指数2R 刻画拟合效果，2R 的值越小，模型的拟合效果越好 10.已知复数z 满足1z =，则1z i --的可能取值有（ ） A.0
B.1
C.2
D.3
11.图1是函数()f x 的导函数()f x '的图象，则下列结论正确的是（ ）
A.()()01f f >
B.1x =是()f x 的极小值点
C.1x =-是()f x 的极小值点
D.3x =-是()f x 的极大值点
12.将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用ξ表示空盒子的个数，则下列结论正确的是（ ）
A.()3
18
P ξ==
B.()3216
P ξ==
C.()1364
P ξ==
D.()2716
E ξ=
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13.在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率为_________________. 14.若复数
22a i
i
+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a =______________. 15.已知图2是“杨辉三角”，图3是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性.已知
“杨辉三角”中第n 行第1r +个数为r
n C ，则“莱布尼茨三角”中第n 行第1r +个数为______________；已知“杨辉三角”中第n 行和第1n +行中的数满足关系式111r r r n n n C C C ++++=，
类比写出“莱布尼茨三角”中第n 行和第1n +行中的数满足的关系式________________.
16.若()f x ax =与()ln x
g x x
=的图象有且仅有两个公共点，则实数a 的取值范围为_____________.
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 17.（本小题满分10分） 已知函数()3222f x x x x =+++. （1）求函数()f x 的极值；
（2）若对任意的2,13x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
都有()f x c <成立，求c 的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知复数()1,z a bi a b R =+∈，()2,z c di c d R =+∈.
（1）当1a =，1b =-，1c =，2d =时，求1z ，2z ，12z z ⋅；
（2）根据（1）的计算结果猜想12z z ⋅与12z z ⋅的关系，并证明该关系的一般性； （3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）. 19.（本小题满分12分）
为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查.调查结果如图4所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为10%和30%.
（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期；
（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成22⨯列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？
附：
()
()()()()
2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
20.（本小题满分12分） 已知函数()ln f x x ax =+. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若0a >，且()()sin g x f x x =-在,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有且仅有1个极值点，求a 的取值范围.
21.（本小题满分12分）
共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段.某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下：
（1）（i ）根据上表，画岀散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数
y 与季度序号x 之间的关系，如果能，求出y 关于x 的线性回归方程；如果不能，请说明理由.
（ii ）如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由. （2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：A 型单车每辆500元，第一年收入500元，以后逐年递减80元；B 型单车每辆300元，第一年收入500元，以后逐年递减100元.经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如下表：
不考虑除釆购成本以外的其它成本，假设毎辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？ 参考数据：()()5
1
3i i i x x y y =--=∑，()5
2
1
10i i x x =-=∑.
参考公式：()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 22.（本小题满分12分）
已知函数()2ln f x x x x x =--，()33g x x ax e =-+. （1）证明()0f x ≥恒成立；
（2）用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值.已知函数()()
2f x h x x x
=-+，记函数()()(){}max ,x h x g x ϕ=，若函数()x ϕ在()0,+∞上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.
2020-2021学年广东省东莞市高二下学期期末考试
数学参考答案
一、单项选择题
二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
三、填空题（15题第一空2分，第二空3分） 13.
34
14.1 15.
()11n r n C +；()()()111111
221r r
n n n
r n C n C n C ++++=+++ 16.10,2e ⎛⎫
⎪⎝⎭
四、解答题
17.解：（1）因为()3222f x x x x =+++，所以()2341f x x x '=++，.…………………………1分
令()0f x '=，解得1
3x =-或1x =-，
当()0f x '>，即13x >-或1x <-；当()0f x '<，即1
13
x -<<-， (3)
分
故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和1,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，单调递减区间为11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， (4)
分
所以，1x =-时，()f x 有极大值()12f -=，.………………………………………………5分
当1
3
x =-时，()f x 有极小值
150
327f ⎛⎫-=
⎪⎝⎭
.……………………………………………………6分 （2）由（1）知()f x 在21,33⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
上单调递减，在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，.…………………7分
又252327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()16f =，.………………………………………………………8分
所以2,13x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，
()max 6f x =，.……………………………………………………………………9分
因为对任意的2,13x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
都有()f x c <成立，所以
6c >.………………………………………………10分
18.解（1）由题知
1z ==
2z ==.………………………………2分
()()121123z z i i i ⋅=-⨯+=+，.…………………………………………………………3分
所以12z z ⋅==4分 （2）猜想1212z z z z ⋅=⋅，.………………………………………………………………5分
证明：因为1z =
2z =，.………………………………………………6分
所以12 z z ⋅==.…………………………7分 因为()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i ⋅=+⨯+=-++，.……………………………………8分 所以
12z z ⋅=
=9分
所以1212z z z z ⋅=⋅成立.…………………………………………………………10分
（3）I 122
z z z z =，或123123z z z z z z ⋅⋅=⋅-，或1212n n z z z z z z ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅.
说明：只要写出复数模运算相关的一个正确结论即可给2分.…………………………12分 19.解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数110010%10n =⨯=人，.…………………1分 由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，
从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数X 的所有可能取值为0，1，2，.…………………2分
()383107015C P X C ===，()21823107115C C P X C ===，()12823101
215
C C P X C ===，
随机变量X 的分布列为
.………………………………………………………………………………………5分 随机变量X 的期望
()7713
0121515155
E X =⨯
+⨯+⨯=.………………………………………………6分 （2）由题知，样本中中年员工占比为110%30%60%--=，人数210060%60n =⨯=人，青年员工人数310040%40
n =⨯=人，.………………………………………………………………………………7分 结合图3得到如下22⨯列联表，
.…………………………………………………………………………………………9分 假设“有岀游意愿与年龄段无关”，则
()2
1003020401050
0.794 3.8417030406063k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，
.……………………………………………11分 ∴不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关.………………12分
20.解：（1）由题得，函数定义域为()0,+∞，()1
f x a x
'=+，.……………………………1分 ①当0a ≥时，()0f x '>在()0,+∞上恒成立，
所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增；.…………………………………………3分 ②当0a <时，由()10f x a x '=
+=，得1
x a
=-，
当()0f x '>时，10x a <<-
；当()0f x '<时，1x a
>-， 所以()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，.………………………………5分
综上所述，当0a ≥时，()f x 在()0,+∞上单调递增；
当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.………………………6分
（2）由题得()()1cos 0g x x x a a '=
-+>，令()0g x '=，得1
cos a x x
+=，.………………7分 因为()g x 在,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有且仅有1个极值点，
所以()10y a a x =+>与cos y x =在,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
的图象有且仅有一个交点，.………………8分 ①当32
2x π
π<≤
时，10cos a x x +>>，此时1
y a x
=+与cos y x =没有交点，.………………9分 ②当
322x ππ<<时，由前面的分析得，两个函数图象在3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有且仅有一个交点，则1cos 212a ππ+<=，即112a π
<-，.……………………………………………………11分 综上所述，a 的取值范围为2,101π-
⎛
⎫
⎪⎝⎭
.………………………………………………12分 21.解：（1）（i ）散点图如图所示：
根据散点图，可以用线性回归模型拟合使用次数y 与次季度序号x 之间的关系，
设回归方程为ˆˆˆy
bx a =+，
则()()
()
1
2
1
3
ˆ0.310
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑， 由3x =， 1.54y =，得ˆˆ 1.540330.64a
y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.30.64y
x =+. （ii ）开放型答案，根据学生理由叙述情况，酌情给分. 参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由：
①由（i ）中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨；
②由（i ）中使用次数y 关于季度序号x 的线性回归方程ˆ0.30.64y
x =+可知，下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨0.3万次左右，因此需要向市场增加投放共享单车. 说明：答岀一种理由即可给满1分，其他理由酌情给分.………………………………………………5分
参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由：
题中只给岀了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的区域分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行进一步调查过后才能决定. 说明：答岀一种理由即可给满1分，其他理由酌情给分.……………………………………………………5分
（2）设1辆A 型单车产生的毛利润为随机变量1X ，则1X 的所有可能取值为500，920，1260，1520，.…….……………………………………………………………………………………6分 用频率估计概率，则1辆A 型单车产生毛利润的分布列为
.………………………………………………………………………………………7分 则1辆A 型单车毛利润的数学期望()11132
500920126015201220105105
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故1辆A 型单车纯利润的数字期望为
1220500720-=，.………………………………………………………………8分
设1辆B 型单车产生的毛利润为随机变量2X ，则2X 的所有可能取值为500，900，1200，1400，.……9分
用频率估计概率，则1辆B 型单车产生毛利润的分布列为
.………………………………………………………………………………………………………………10分
则1辆B 型单车毛利润的数学期望()21731
5009001200140010751020104
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故1辆B 型单车纯利润的数学期望为
1075300775-=，.…………………………………………………………11分
因为1辆B 型单车纯利润的数学期望大于1辆A 型单车的，所以选择B 型单车.……………………分
22.解：（1）由题得()f x 的定义域为()0,+∞，
则2ln 0x x x x --≥在()0,x ∈+∞上恒成立等价于1ln 0x x --≥在()0,x ∈+∞上恒成立，.……1分
记()1ln x x x φ=--，则()11
1x x x x
φ-'=-
=，.…………………………………………2分 当()0x φ'<时，01x <<；()0x φ'>时，1x >， 故()x φ在()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递
增，.……………………………………………………3分 所以()()10x φφ≥=，即()0f x ≥恒成
立.………………………………………………………………4分 （2）由题得()1ln h x x =-，
①当0x e <<时，()()0x h x ϕ≥>，此时无零点.…………………………………………5分 ②当x e =时，()0h e =，()33g e e ae e =-+
a.当()3
30g e e ae e =-+≤，即21
3
e a +≥时，x e =是()x ϕ的一个零点；
b.当()3
30g e e ae e =-+>，即21
3
e a +<时，x e =不是()x ϕ的一个零
点；.…………………………6分
③当x e >时，()0h x <恒成立，因此只需考虑()g x 在(),e +∞上的零点情况. 由()233g x x a '=-
a.当2a e ≤时，()0g x '>，()g x 在(),e +∞上单调递增，且()33g e e ae e =-+，
当213e a +<时，()0g e >，则()g x 在(),e +∞上无零点，故()x ϕ在()0,+∞上无零点；
当213e a +=时，()0g e =，则()g x 在(),e +∞上无零点，故()x ϕ在()0,+∞上有1个零点；
当221
3
e a e +<≤时，由()0g e <，()333286860g e e ae e e e e =-+≥-+>，得()g x 在(),e +∞上仅有一个零点，故()x ϕ在()0,+∞上有2个零点；
所以221
3
e a e +<≤，.…………………………………………………………………………9分
b.当2a e >时，由()0g x '=得x =
由()0g x '<时，e x <<()0g x '>时x >()0g x '<，
故()g x 在(e 上单调递减，()g x 在
)
+∞上单调递增；
由()0g e <，()32228620g a a a e a e =-+≥+>，得()g x 在(),e +∞上仅有一个零点，故()x ϕ在
()0,+∞上有2个零点；
所以2a e >，.………………………………………………………………………11分
综上所述，21
3
e a +>时，()x ϕ在()0,+∞上恰有两个零
点.………………………………………………12分。