课时作业2：2.1.1 合情推理

2.1合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
一、基础达标
1．数列5，9，17，33，x，…中的x等于() A．47 B．65 C．63 D．128
答案 B
解析5＝22＋1，9＝23＋1，17＝24＋1，33＝25＋1，归纳可得：x＝26＋1＝
65.
2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
…
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
答案 B
解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.
3．设0<θ<π
2，已知a1＝2cos
θ，a n＋1＝2＋a n，猜想a n＝()
A．2cos θ
2n B．2cos
θ
2n－1
C．2cos
θ
2n＋1
D．2 sin
θ
2n
答案 B
解析法一∵a1＝2cos θ，
a2＝2＋2cos θ＝21＋cos θ
2＝2cos
θ
2，
a3＝2＋a2＝2 1＋cos
θ
2
2＝2cos
θ
4，…，
猜想a n＝2cos
θ2n－1
.
法二验n＝1时，排除A、C、D，故选B.
4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的() A．一条中线上的点，但不是中心
B．一条垂线上的点，但不是垂心
C．一条角平分线上的点，但不是内心
D．中心
答案 D
解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心．
5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________．
答案13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)
解析观察前3个等式发现等式左边分别是从1开始的两个数、三个数、四个数的立方和，等式右边分别是这几个数的和的平方，因此可得第四个等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.
6．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
…
照此规律，第n 个等式为________．
答案 n ＋(n ＋1)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
7．在△ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，用类比的方法，猜想三棱锥的类似性质，并证明你的猜想．
解 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥P －ABC 中，三个侧面P AB ，PBC ，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos β＋cos 2γ＝1”．
证明 设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记PO ＝h ， 由PC ⊥P A ，PC ⊥PB 得PC ⊥面P AB ，从而PC ⊥PM ，又∠PMC ＝α，
cos α＝sin ∠PCO ＝h PC ，cos β＝h P A ，cos γ＝h PB
∵V P －ABC ＝16P A ·PB ·PC ＝13⎝
⎛12P A ·PB cos α＋ 12PB · ⎭
⎪⎫PC cos β＋12PC ·P A cos γ·h ， ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos αPC ＋cos βP A ＋cos γPB h ＝1 即cos 2 α＋cos 2 β＋cos 2 γ＝1.
二、能力提升
8．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S a ＋b ＋c
，类比这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S －ABC 的体积为V ，则r ＝ ( ) A.V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2V S 1＋S 2＋S 3＋S 4
C.3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4
D.4V S 1＋S 2＋S 3＋S 4 答案 C
解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四
个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶
点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则
四面体的体积为V 四面体A －BCD ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4
. 9．(2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2
＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：
三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n
正方形数 N (n ，4)＝n 2
五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n
六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n
……
可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．
答案 1 000
解析 由归纳推理可知：n 2和n 前面的系数，一个成递增的等差数列，另一
个成递减的等差数列，所以N (n ，k )＝k －22n 2－12n (k －4)，
所以N (10，24)＝24－22×102－12×10(24－4)＝1 100－100＝1 000.
10．(2013·陕西)观察下列等式：
12＝1
12－22＝－3
12－22＋32＝6
12－22＋32－42＝－10
…
照此规律，第n 个等式可为________．
答案 12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝（－1）n ＋12
n (n ＋1) 解析 分n 为奇数、偶数两种情况．
当n 为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝ －n （n ＋1）2
. 当n 为奇数时，第n 个等式＝－n （n －1）2＋n 2＝n （n ＋1）2
.
综上，第n 个等式：12－22＋32－…＋(－1)n －1n 2＝（－1）n ＋12
n (n ＋1)． 11．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；
②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；
③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；
④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下：
sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.
(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2
(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34. 证明如下：
sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34
sin 2α＋34cos 2α＝34.
12．(1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是椭圆C 上异于
A 、
B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于点M 、N ，求证：AN
→·BM →为定值b 2－a 2.
(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A 、B 两点，点P 是双曲线C 上异于A 、B 的任意一点，直线P A 、PB 分别与y 轴交于
点M 、N ，求证AN
→·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)． 解 (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)，(x 0≠±a )，
依题意，得A (－a ，0)，B (a ，0)，
所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a
(x ＋a )．
令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a ， 同理得y N ＝－ay 0x 0－a ，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20
. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，
因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)，所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20
＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M
)， 所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N
＝b 2－a 2. (2)－(a 2＋b 2)．
三、探究与创新
13. 如图，在长方形ABCD 中，对角线AC 与两邻边所成的角分别为α、β，则cos 2α＋cos 2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想．
解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2
β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c 2c 2＝1. 于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2
γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l 2＝1.。