(完整版)三角形的中线例题

每日一题《三角形的中线》
10 月 1 日课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ ADC≌△ EDB的理由是
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是．
A．6<AD<8 B．6≤AD≤8C．1<AD<7 D．1≤AD≤7
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：AC=BF．
10 月 2 日
1
如图， AD 是△ ABC 中 BC 边上的中线，求证： AD < （ AB+AC ）．
2
10 月 3 日
如图， AD 是△ ABC 的中线， BE 交 AC 于 E ，交 AD 于 F ，且 AE=EF ，求证： AC=BF （请用两种方法 证明）
10 月 4 日
如图，已知△ ABC中，AB>AC，AD是中线，AE是角平分线．求证：（1）2AD<AB+AC；
（2）∠ BAD<∠ DAC；
3）AE< AD．
证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图），易证△
ADC≌△ FDB，所以AC=BF，
（1）在△ ABF中，AB+BF> AD+DF，所以2AD<AB+AC；
（2）因为△ ADC≌△ FDB，所以∠ CAD=∠ F，因为AB> AC，所以AB>BF，所以∠ F>∠ BAD，所以∠ CAD>∠ BAD；
1
（3）由（2），∠ BAD<∠ DAC及∠ BAE=∠EAC= ∠BAC，
2 所以∠ BAD<∠ EAC，因为AB>AC所以∠ C>∠ B，所以∠ BAD+∠B<∠ EAC+∠ C，所以∠ ADE<∠ AED，所以AE< AD．
如图，AD是△ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且
AE=EF，求证：AC=BF
10 月 5 日
如图，AD是△ ABC的中线，E、F 分别在AB、AC上，且DE⊥DF 求证：BE+CF>EF．
10 月 6 日
如图，AD为△ ABC的中线，∠ ADB和∠ ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．
求证：BE+CF> EF．
10 月 1 日。