山东省济宁市高考数学一轮复习第一讲直线与圆习题理新人教A版

第一讲 直线与圆
1、已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，则实数a 的值是________．
【解析】 因为直线l 1：ax －y ＋2a ＝0，l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，故有a (2a －1)＋a (－1)＝0，可知a 的值为0或1.
【答案】 0或1
2．圆x 2＋y 2
－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为( ) A ．x ＋3y －2＝0 B ．x ＋3y －4＝0 C ．x －3y ＋4＝0 D ．x －3y ＋2＝0
【解析】 圆的方程为(x －2)2＋y 2
＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，设切线方程为y －3＝k (x －1)，
即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2
＋1
＝2，解得k ＝3
3. ∴切线方程为y －3＝
3
3
(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 【答案】 D
3．过点(－4，－8)作圆(x ＋7)2＋(y ＋8)2
＝9的切线，则切线的方程为________． 【解析】 设切线的方程为y ＋8＝k (x ＋4)，
圆心(－7，－8)到直线的距离等于半径即|－3k ＋0|
k 2
＋1
＝3无解，故切线斜率不存在，x ＝－4是切线．
【答案】 x ＝－4
4．(2009·上海高考)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0，与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( )
A ．1或3
B ．1或5
C ．3或5
D ．1或2
【解析】 当k ＝3时，两直线平行，当k ≠3时，由两直线平行，斜率相等，得：
3－k
4－k
＝k －3，解得：k ＝5.
【答案】 C
5．(2009·课标全国卷)若直线m 被两平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)
【解析】 两平行线间的距离为d ＝|3－1|
1＋1
＝2，由图知直线m 与l 1的夹角为30°，
l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填写①⑤.
【答案】 ①⑤ 6、（2012山东）圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离
【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为
17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，选B.
【答案】B
7．[2014·安徽卷] 过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2
＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 答案：D [解析] 易知直线l 的斜率存在，所以可设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －1＝0.因为直线l 圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l 的距离
|3k －1|1＋k
2
≤1，即k 2
－3k ≤0，解得0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.
8．[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2
＋(y ＋
1)2
＝4截得的弦长为________．
答案：2
5 55 [解析] 由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝
|2－2－3|12＋2
2
＝35 5，所以弦长为2r 2－d 2
＝2 4－95＝2
5
55 . 9、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2
＋y 2
＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．
答案；43
[解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥PA ，OA ＝2，OP ＝10，所以PA ＝OP 2－OA
2
＝2 2，所以tan ∠OPA ＝OA PA ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OPA 1－tan 2
∠OPA ＝4
3
，即l 1与l 2的夹角的正切值等于4
3
.
10．[2014·重庆卷] 已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2
＋y 2
＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．
10．0或6 [解析] ∵圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2
＝9，∴圆心为C (－1，2)，
半径为3.∵AC ⊥BC ，∴|AB |＝3 2.∵圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋a |2＝|a －3|
2，∴|AB |
＝2r 2
－d 2
＝2
9－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a －3|22
＝3 2，即(a －3)2
＝9，∴a ＝0或a ＝6.
9．、[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的取值范围是( )
A ．[5，2 5 ]
B ．[10，2 5 ]
C ．[10，4 5 ]
D ．[25，4 5 ]
9．B [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直， 则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，
所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2
＝10，即|PA |＋|PB |≥|AB |＝10.
又|PA |＋|PB |＝（|PA |＋|PB |）2
＝
|PA |2＋2|PA ||PB |＋|PB |2
≤
2（|PA |2＋|PB |2
）＝2 5，
所以|PA |＋|PB |∈[10，2 5]，故选B.
20．、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2
－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．
20．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2
＝16， 所以圆心为C (0，4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)，MP ＝(2－x ，2－y )．
由题设知CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2
＝2.
由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2
＝2.
(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．
由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－1
3，
故l 的方程为y ＝－13x ＋8
3
.
又|OM |＝|OP |＝2 2，O 到直线l 的距离为410
5
，
故|PM |＝4105，所以△POM 的面积为16
5
.
备选12．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2
＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )
A. [－1，1]
B. ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 C. [－2，2] D. ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－
22，22 12．A [解析] 点M (x 0，1)在直线y ＝1上，而直线y ＝1与圆x 2
＋y 2
＝1相切．据题意可设点N (0，1)，如图，则只需∠OMN ≥45°即可，此时有tan ∠OMN ＝|ON |
|MN |≥tan 45°，得
0<|MN |≤|ON |＝1，即0<|x 0|≤1，当M 位于点(0，1)时，显然在圆上存在点N 满足要求，综上可知－1≤x 0≤1.。