非内点同伦方法求解双层规划问题

i=1
Ω
w ∈ Rn+m × Rm ++2 : g˜(w) ≤ 0 , Ω 0
w ∈ Rn+m × Rm ++2 : g˜(w) < 0 ,
m1
Ω1 Ω × Rm ++1 × Rm+m2 , Ω10 Ω 0 × Rm ++1 × Rm+m2 , ∂Ω
w ∈ Ω : g˜i(w) = 0 ,
i=1
I(w) {i ∈ {1, · · · , m1} : g˜i(w) = 0} , IG(x, y) {i ∈ {1, · · · , m2} : Gi(x, y) = 0} .
§1 引 言
双层规划问题(BLPP)是一种优化问题, 它受到另一层优化问题的约束. 其通用形式如下: minx,y f (x, y) s.t. g(x, y) ≤ 0, miny F (x, y) s.t. G(x, y) ≤ 0,
其中(x, y) ∈ Rn+m和f, F : Rn+m → R, g = (g1, · · · , gm1 )T : Rn+m → Rm1 , G = (G1, · · · , Gm2 )T : Rn+m → Rm2 .
当t = 0时, 方程(2)对应于BLPP∇的f˜(KwK) T+系∇统g˜(:w)v + ∇wh(w, t)λ = 0
h(w, t) = 0 V g˜(w) = 0, v ≥ 0, g˜(w) ≤ 0.
为方便起见, 将H(θ, θ(0), t), 表示为Hθ(0) , 同伦方程的解集用下式表示
H −1
双 层 规 划 也 称 为 双 层 优 化, 是 指 模 型 约 束 中 包 含 子 目 标 函 数 和 子 约 束 条 件 的 数 学 规 划. Bracken和McGill[1]在研究不平衡经济市场竞争中首次提出的. Cander和Norton[2]在科学报 告中正式提出了双层规划. 自1980年以来, 双层规划在理论和算法上得到了广泛的关注和迅速 的发展, 并逐渐形成了一个新的运筹学分支. 目前, 双层规划问题在工程设计, 生态, 经济等领域 有着广泛的应用, 例如农业信贷分配[3], 经济规划[4], 交通运输[5], 优化交通信号[6-7]等.
义如下:
Ω (t)
Ω1(t) w ∈ Rn+m × Rm ++2 : g˜(w) < 0, h(w, t) = 0 ,
Ω 1(t) w ∈ Rn+m × Rm ++2 : g˜(w) ≤ 0, h(w, t) = 0 ,
m1
Ω1(t) × Rm ++1 × Rm+m2 , ∂Ω1(t)
w ∈ Ω 1(t) : g˜i(w) = 0, h(w, t) = 0 ,
在文献[18]中, 构造的组合同伦方程如下:
H(θ, θ(0), t) =
(1 − t)[∇f˜(w) + ∇g˜(w)v] + ∇wh(w, t)λ + t(w − w(0)) h(w, t)
= 0,
(1)
V g˜(w) − tV (0)g˜(w(0))
范晓娜等: 非内点同伦方法求解双层规划问题
=
+∞,
x∈C
那么称F 满足C中的强制性条件. 假设2(A6)与以下条件一致.
定义3[23] 存在z(0) ∈ X, 使得集合X(z(0)) = {x ∈ X : (x − z(0))TF (x) ≤ 0}是有界的, 即
存在M > 0, 使得∀x ∈ X(z(0)), x ≤ M . 这样, 映射F : Rn → Rn在点z(0)被认为是正常的. 引理4 对任意给定点θ(0) = w(0), v(0), λ(0) T ∈ Ω 0 × Rm ++1 × Rm+m2 , 方程H θ, θ(0), 1 =
h(w, t) = ∇yF (x, y) + ∇yG(x, y)u = 0, U G(x, y) + te
其中w = (x, y, u)T, e = (1, · · · , 1)T ∈ Rm2 , t ∈ (0, 1]. 设f˜(w) = f (x, y), g˜(w) = g(x, y). 符号定
自20世纪70年代以来, 研究人员提出了许多求解双层规划的算法. 算法主要有几种类型: (1)极点算法. 它主要用于求解线性双层规划问题. 其基本思想是: 线性双层规划问题的最优解 必须在约束域的极点处得到. 实际上, 这是顶点枚举法, 可以用单纯形法[8]解决; (2)分枝定界算 法. 它主要用于求解凸和线性双层规划问题. 其基本思想是用问题的KKT条件代替底层问题, 构 造一个等价于双层规划问题的KKT模型, 然后利用分枝定界技术处理KKT问题的互补项, 从而
θ(0)
(0)
=
{(θ,
t)
∈
Ω1
×
(0,
1]
:
Hθ(0) (θ,
t)
=
0}.
下面来介绍几种适用于同伦方法的引理.
定义1
设U ∈ Rn为开集, φ : U → Rp为Cα(α > max{0, n−p})映射.
若值域Range
∂φ(x) ∂x
= Rp, ∀ x ∈ φ−1(y), 则y ∈ Rp是φ的一个正则值.
高校应用数学学报 2021, 36(2): 169-178
非内点同伦方法求解双层规划问题
范晓娜, 陈 燕, 闫庆伦
(南京邮电大学 理学院, 江苏南京 210023)
摘 要: 提出了一种非内点同伦方法来解决无界集上的双层规划问题, 并在适当的假 设条件下，证明了同伦路径的存在性和全局收敛性. 这种方法放宽了对初始点的要 求, 使数值计算更加便利. 数值结果表明, 该方法与现有的解双层规划问题的同伦方法 相比, 计算效率更高. 关键词: 双层规划问题; 非内点同伦方法; 法锥条件; 全局收敛 中图分类号: O221 文献标识码: A 文章编号: 1000-4424(2021)02-0169-10
(C2) {∇yGi(x, y), i ∈ IG(x, y)}是列满秩;
(C3) 对于t ∈ (0, 1], w ∈ Ω 1(t), {∇g˜i(w), i ∈ I(w), ∇wh(w, t)}是列满秩;
(C4) ∀w ∈ Ω 1(1), w + i∈I(w) vi∇g˜i(w) + ∇wh(w, 1)λ ∩ Ω 1(1) = {w};
§2 BLPP的同伦方程和一些基本结果
考虑BLPP的f, g, F, Gi, i = 1, 2, · · · , m2 为三次连续可微的凸函数, 从而G也是凸函数. 首
先, 考虑下层最优化问题:
miny F (x, y)
s.t. G(x, y) ≤ 0.
假设对于给定的x ∈ Rn, 集合{y ∈ Rm : G(x, y) < 0} = ∅, 下层优化问题相应地转化为以
171
其 中θ = (w, v, λ)T, w(0) ∈ Ω1(1), w = (x, y, u) ∈ Rn+m × Rm + 2 , v ∈ Rm + 1 , λ ∈ Rm+m2 以 及U = diag(u), V = diag(v). 在[18]中, 假设条件如下:
假设1 (C1) ∀t ∈ [0, 1], Ω1(t)是非空有界的;
下的KKT系统[18]. ∇yF (x, y) + ∇yG(x, y)u = 0 , U G(x, y) = 0, u ≥ 0, G(x, y) ≤ 0
其中u ∈ Rm +2 , U = diag(u), 这里diag(·)表示以u中分量为对角元的对角矩阵, 下文中所出现的
该符号均是表示该含义. 因此下层的同伦方程可表示为如下方程组来求解:
个困难, 根据公式(1)构造一个新的同伦方程:
H(θ, θ(0), t) =
(1 − t)[∇f˜(w) + ∇g˜(w)v + ∇wh(w, t)λ] + t(w − w(0)) h(w, t) − tλ
= 0,
(2)
V g˜(w) − tV (0)g˜(w(0))
其中θ = (w, v, λ)T, θ(0) = w(0), v(0), λ(0) T ∈ Ω 0 × Rm ++1 × Rm+m2 , t ∈ (0, 1], w = (x, y, u) ∈ Rn+m × Rm + 2 , v ∈ Rm + 1 , λ ∈ Rm+m2 以 及U = diag(u), V = diag(v). 从 同 伦 方 程(2)知 道
收稿日期: 2020-08-11 修回日期: 2020-12-25 基金项目: 国家自然科学基金项目(No.11671004), 南京邮电大学校基金(NY217097; NY218061; NY218079)
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高校应用数学学报
第36卷第2期
将该问题转化为求解一个含有等式和不等式约束的一般优化问题[9-14]; (3)罚函数算法. 该算法 主要将惩罚函数原理应用到非线性规划理论中, 通过使用不同的惩罚项将下层问题转化为无约 束的数学规划问题, 然后在上层目标函数中加入惩罚项, 将问题转化为具有惩罚参数的单层问 题[15-17]; (4)K-T方法. 该算法的基本思想是用其Kuhn-Tucker条件代替低层规划问题, 并将双层 规划问题转化为单层的非线性规划问题. 这个想法可以参考[18], 这是解决BLPP的同伦方法. 同 伦方法的显著优点是它生成的算法在一定的较弱条件下具有全局收敛性. 本文仍然考虑用同伦 方法求解双层规划问题. 主要任务是放宽对初始点的要求, 并在无界集合上求解BLPP.
(A4) ∀w ∈ Ω , w + i∈I(w) vi∇g˜i(w) + ∇wh(w, 1)λ ∩ Ω = {w};
(A5) 对 于 任 意(x,y)∈{(x,y):g(x,y)≤0,G(x,y)≤0},∇2yyF (x,y)+
( )是 正 m2
i=1
∇2yy Gi(x,y)+∇y Gi(x,y)∇y Gi(x,y)T
引理3[20](一维光滑流形分类定理) 一维光滑流形与单位圆或单位区间同胚.
假设2 (A1) ∀t ∈ [0, 1], Ω 0是非空的, ∇yF (x, y)和∇yG(x, y)是凸函数;
(A2) {∇yGi(x, y), i ∈ IG(x, y)}是列满秩;
(A3) 对于t ∈ (0, 1], w ∈ Ω , {∇g˜i(w), i ∈ I(w), ∇wh(w, t)}是列满秩;
(C5) 对于任意的(x,y)∈{(x,y):g(x,y)≤0,G(x,y)≤0}, ∇2yyF (x,y)+
( )是 m2
i=1
∇2yy Gi(x,y)+∇y Gi(x,y)∇y Gi(x,y)T
正定Байду номын сангаас.
在[18]中, 要求起始点w(0) ∈ Ω1(1)满足h(w, 1) = 0, 这导致找到该点非常困难. 为了克服这
本文的其余部分安排如下: §2构造了BLPP的同伦方程以及得到一些基本结果; §3在适 当 条 件 下, 证 明 了 同 伦 曲 线 的 有 界 性 以 及 同 伦 路 径 的 点 全 局 收 敛 于BLPP的KKT点; §4使 用Euler-Newton算法[19]对同伦路径进行了数值跟踪, 给出一些数值结果, 验证了所论方法的有 效性.
如果集合Ω 是有界的, 则可以忽略条件(A1)和(A6). 并且(A5)可以确保BLPP的下层问题具有唯
一的解.
备注2 假设2(A6)是文献中的常见条件, 它比以下强制性条件弱.
定义2[22]
令C为Rn的圆锥, F : C → Rn为连续映射. 如果存在u ∈ C使得
lim
x →∞
(x
−
u)TF (x) x
定的;
(A6) ∃z ∈ Ω 1(t), 使得lim w →∞(w − z)T∇f˜(w) > 0.
备注1 对于(A1), 由于G是凸函数以及U = diag(u), u ≥ 0, 故若∇yF (x, y)和∇yG(x, y)是
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高校应用数学学报
第36卷第2期
凸函数, 则h(w, t)必须是凸函数. (A1)和(A6)可以保证BLPP的同伦方法在无界集上的收敛性.
引 理1[19](参数化Sard定理) 设V˜ ⊂ Rn, U˜ ⊂ Rm为开集, φ : V˜ × U˜ → Rk为Cα(α >
max{0, n − k})映射; 若0 ∈ Rk是φ的一个正则值, 则对于几乎所有的a ∈ V˜ , 0是φa = φ(a, ·)的一
个正则值.
引理2[20](逆像定理) 设φ : U ∈ Rn → Rp是Cα (α > max{0, n − p})映射, 若0是φ的正则 值, 则φ−1(0)包含若干(n − p)-维的光滑流形.